Exercicis: Vectors en el pla

Donats els punts $A(2, -1)$ i $B(5, 3)$, calcula les components del vector $\vec{AB}$ i el seu mòdul.

Considera els vectors $\vec{u} = (3, -2)$ i $\vec{v} = (-1, 4)$. Calcula les components del vector resultant de l'operació $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Determina les coordenades del punt mitjà $M$ del segment els extrems del qual són els punts $P(-4, 7)$ i $Q(2, -3)$.

El punt $M(1, 2)$ és el punt mitjà del segment $AB$. Si coneixem les coordenades de l'extrem $A(-3, 5)$, troba les coordenades de l'extrem $B$.

Observa els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ representats a la quadrícula. Escriu les seves components i calcula analíticament les coordenades del vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Indica si els vectors $\vec{a} = (6, -9)$ i $\vec{b} = (-2, 3)$ són paral·lels (tenen la mateixa direcció). Justifica la teva resposta matemàticament.

Calcula el producte escalar dels vectors $\vec{p} = (4, 5)$ i $\vec{q} = (-2, 3)$. A partir del resultat, indica si són perpendiculars.

Troba els possibles valors de $x$ perquè el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tingui un mòdul exactament igual a $10$.

En una prova de Geometria analítica, en Marcos ha de calcular les components del vector $\vec{AB}$ que uneix l'origen $A(3, -2)$ amb l'extrem $B(-1, 4)$, així com el seu mòdul exacte. Al seu full d'examen escriu el següent:

1) $\vec{AB} = (3 - (-1),\ -2 - 4) = (4, -6)$

2) $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 - 6^2} = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20}$

Després d'observar el resultat, en Marcos conclou que «el vector no existeix en el pla real perquè l'arrel quadrada d'un nombre negatiu no és un nombre real».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos en el seu plantejament.
2. b) Corregeix l'exercici pas a pas: troba les components correctes de $\vec{AB}$, calcula el seu mòdul exacte mitjançant radicals i dona també el seu valor aproximat amb un decimal.

Un agent forestal recorre un sender en línia recta des de la base de vigilància situada al punt $P(2, 1)$ fins a un mirador ubicat a $Q(9, 5)$ (coordenades en quilòmetres).

1. a) Abans de calcular el mòdul exacte, observa el desplaçament que es produeix en l'eix horitzontal ($x$) i en el vertical ($y$). Tenint en compte que la hipotenusa d'un triangle rectangle és sempre més gran que el més gran dels seus catets i més petita que la suma de tots dos, i comparant la suma dels quadrats de tots dos desplaçaments amb els quadrats perfectes més propers, fes una estimació raonada i acota entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de trobar la distància total recorreguda (el mòdul del vector $\vec{PQ}$).
2. b) Calcula les components del vector $\vec{PQ}$ i troba el seu mòdul exacte en forma d'arrel quadrada.
3. c) Obtén l'aproximació decimal d'aquest mòdul amb dues xifres decimals, comprova si la teva estimació de l'apartat a) era encertada i raona si el resultat obtingut és coherent amb la situació física.

Un dron de repartiment vola amb una velocitat pròpia representada pel vector $\vec{v}_d = (12, 5)$ km/h. En aquest instant, el vent bufa amb una velocitat $\vec{v}_v = (-3, 2)$ km/h. Calcula el vector velocitat real del dron i la seva rapidesa (el mòdul del vector resultant).

Per instal·lar un panell solar amb forma de paral·lelogram $ABCD$, els tècnics han fixat tres dels seus vèrtexs en les coordenades $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ i $C(6, 6)$ (en metres). Calcula les coordenades del quart vèrtex $D$ utilitzant operacions amb vectors.

En el disseny d'un pont, tres pilars han d'estar perfectament alineats. En el plànol de l'arquitecte, les bases dels pilars estan situades en les coordenades $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ i $R(8, k)$. Determina el valor de $k$ perquè l'alineació sigui correcta.

En un experiment de física, s'apliquen dues forces $\vec{F}_1 = (2, -1)$ N i $\vec{F}_2 = (-1, 3)$ N. Volem obtenir una força resultant $\vec{R} = (4, 3)$ N combinant les dues primeres mitjançant un sistema que multiplica la seva intensitat. Troba els valors dels escalars $a$ i $b$ tals que $\vec{R} = a\vec{F}_1 + b\vec{F}_2$.

Una canonada rectilínia connecta una estació de bombeig $A(-15, 20)$ amb un dipòsit $B(45, -12)$ (coordenades en metres). Es vol instal·lar una vàlvula de control exactament al punt mitjà del trajecte. Calcula les coordenades on s'ubicarà la vàlvula i la longitud total de la canonada.

En una taula de billar, una bola és colpejada i segueix la trajectòria del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Després de rebotar en la banda, la seva nova trajectòria ve donada pel vector $\vec{v} = (-3, k)$. Calcula el valor de $k$ perquè la trajectòria de rebot formi un angle de $90^\circ$ amb la trajectòria d'arribada.

Un raig làser surt d'una font situada a $F(-3, -2)$ i es reflecteix en un mirall pla que coincideix amb l'eix d'abscisses (eix X). Si el punt exacte d'impacte al mirall és $I(1, 0)$, troba les coordenades del punt simètric de $F$ respecte al mirall i escriu les components del vector que defineix la trajectòria reflectida.

Esbrina si el triangle format per les antenes de telecomunicacions situades en les coordenades $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ i $C(9, -1)$ és un triangle rectangle. Utilitza el producte escalar dels vectors que formen els seus costats per justificar la teva resposta.

El centre de coordinació de Salvament Marítim a Tarifa monitora una taca de combustible que avança a la deriva a l'estret de Gibraltar. Les dades indiquen que el vessament es desplaça en la direcció i el sentit del vector $\vec{v} = (6, -2)$ (en milles nàutiques per hora). Per contenir la marea negra, un vaixell d'intervenció ha de desplegar una barrera flotant en una direcció rigorosament perpendicular a l'avanç del vessament.

1. a) Modela el problema i calcula el valor de la coordenada $x$ perquè el vector $\vec{u} = (x, 12)$ sigui perpendicular a la direcció del vessament $\vec{v}$, aplicant la condició del producte escalar.
2. b) El vaixell compta amb trams de barrera que sumen una longitud total de $15$ milles nàutiques. Calcula el mòdul del vector $\vec{u}$ obtingut en l'apartat anterior i determina si la barrera disponible és més curta, igual o més llarga que $|\vec{u}|$.
3. c) Per quin nombre real positiu $k$ s'ha de multiplicar el vector $\vec{u}$ per obtenir un vector amb la seva mateixa direcció i sentit, però la longitud del qual coincideixi exactament amb les $15$ milles nàutiques de la barrera disponible?

En el disseny d'un logotip amb estètica tècnica, dos traços rectilinis vénen representats pels vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Se sap que el vector $\vec{u}$ té l'origen al punt $A(-2, 1)$ i l'extrem a $B(2, 4)$. El segon vector té components $\vec{v} = (k, -8)$, el seu origen se situa al punt $C(5, -1)$ i ha de ser obligatòriament perpendicular a $\vec{u}$.

1. a) Planteja l'equació corresponent i calcula el valor del paràmetre real $k$ perquè tots dos vectors siguin perpendiculars.
2. b) Amb el valor de $k$ ja determinat, troba les coordenades del punt $D$, que és l'extrem del vector $\vec{v}$.
3. c) Compara les longituds de tots dos traços: calcula els mòduls $|\vec{u}|$ i $|\vec{v}|$ i indica quina és la relació de proporcionalitat exacta entre la longitud del vector $\vec{v}$ i la del vector $\vec{u}$.

Una biga d'acer els extrems de la qual estan en les coordenades $A(-4, 2)$ i $B(8, 14)$ s'ha de tallar en tres parts idèntiques per fabricar suports. Calcula les coordenades dels dos punts de tall $P$ i $Q$ que divideixen el segment $AB$ en tres parts de la mateixa longitud.

Determina les coordenades d'un punt $P$ situat sobre l'eix d'ordenades (eix Y) que es trobi a la mateixa distància dels punts $A(2, 5)$ i $B(-4, 1)$.

Considera els vectors dependents d'un paràmetre $\vec{u} = (m, 2)$ i $\vec{v} = (3, m-1)$. Troba els valors del paràmetre $m$ en dos casos geomètrics diferents:

1. a) Perquè $\vec{u}$ i $\vec{v}$ siguin perpendiculars.
2. b) Perquè $\vec{u}$ i $\vec{v}$ siguin paral·lels.

Quatre boies delimiten una zona de reserva marina en els punts $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 5)$ i $D(-1, 3)$. Demostra en primer lloc, utilitzant vectors, que la figura formada és un paral·lelogram. A continuació, calcula el producte escalar de les seves diagonals per comprovar si es tracta específicament d'un rombe.

Troba les components d'un vector $\vec{w}$ que sigui perpendicular al vector $\vec{u} = (-5, 12)$ i el mòdul del qual sigui exactament la meitat del mòdul de $\vec{u}$. Quantes solucions matemàtiques hi ha per a $\vec{w}$? Escriu-les totes.

Dos remolcadors tiren d'un vaixell avariat situat a l'origen de coordenades. El primer remolcador exerceix una força definida pel vector $\vec{F}_1 = (6, 8)$ kN. El segon remolcador exerceix una força $\vec{F}_2$. Sabent que la força resultant $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ té la direcció de l'eix X positiu i un mòdul de $12$ kN, determina les components del vector $\vec{F}_2$ i calcula el seu mòdul.

Els punts $A(-1, 3)$ i $B(5, -5)$ representen dos vèrtexs oposats d'un terreny amb forma de quadrat $ABCD$. Calcula la longitud de la diagonal del quadrat i l'àrea total del terreny. A continuació, troba les coordenades del centre exacte del quadrat.

El baricentre $G$ (centre de gravetat) d'un triangle sempre es troba a una distància de $\frac{2}{3}$ des de qualsevol vèrtex fins al punt mitjà del costat oposat. Si els vèrtexs d'una placa triangular metàl·lica són $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ i $C(4, 8)$, troba primer el punt mitjà $M$ del costat $BC$. Després, usant el vector $\vec{AM}$, calcula les coordenades exactes del baricentre $G$.

Una cooperativa agrícola adquirirà una parcel·la triangular els vèrtexs de la qual en el plànol cadastral són $A(-2, 1)$, $B(2, 4)$ i $C(-1, 8)$ (coordenades expressades en hectòmetres). Abans d'escripturar la compra, els tècnics han de certificar si la parcel·la conté un angle recte ($90^\circ$) per poder ubicar un cobert d'eines en aquesta cantonada.

Dos tècnics proposen camins diferents:

• Mètode mètric (Marta): Trobar les longituds dels tres costats mitjançant els mòduls $|\vec{AB}|$, $|\vec{BC}|$ i $|\vec{AC}|$, i comprovar si verifiquen la igualtat del teorema de Pitàgores.

• Mètode vectorial (Carlos): Calcular les components dels vectors dels costats que conflueixen a cada vèrtex i efectuar els seus productes escalars per comprovar si algun val zero.

1. a) Resol el problema aplicant tots dos mètodes de manera completa i confirma en quin vèrtex es troba l'angle recte.
2. b) Avalua críticament tots dos procediments: quin dels dos mètodes és més eficient i directe des del punt de vista del càlcul algebraic? Justifica la teva resposta analitzant la necessitat de calcular arrels quadrades i el risc d'arrossegar errors d'arrodiment en cada cas.

Un estudi d'arquitectura dissenya una pèrgola rectangular $ABCD$ en un parc de Zaragoza. En el projecte s'han fixat les coordenades de tres dels seus vèrtexs: $A(1, 2)$, $B(5, 5)$ i $C(2, 9)$.

1. a) Demostra analíticament que els costats contigus representats pels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BC}$ formen un angle recte utilitzant el producte escalar.
2. b) Per situar el quart vèrtex $D(x, y)$ de manera que la figura sigui un paral·lelogram rectangle, s'ha de verificar la igualtat vectorial $\vec{AD} = \vec{BC}$. Dedueix a partir d'aquesta les coordenades exactes del punt $D$.
3. c) S'instal·laran dos cables d'acer com a tensors和田agonals que uniran els vèrtexs oposats: un entre $A$ i $C$, i un altre entre $B$ i $D$. Calcula els mòduls $|\vec{AC}|$ i $|\vec{BD}|$ i demostra analíticament que totes dues diagonals tenen la mateixa longitud.
4. d) Calcula el producte escalar dels vectors和田agonals $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ i interpreta geomètricament el resultat: quina propietat addicional té aquest rectangle pel que fa als seus costats?