Exercicis: Operacions amb vectors

Donats els punts $A(3, -2)$ i $B(5, 4)$, calcula les coordenades del vector $\vec{AB}$ i del vector $\vec{BA}$.

Calcula el mòdul del vector $\vec{v} = (-6, 8)$.

Donats els vectors $\vec{u} = (4, -1)$ i $\vec{v} = (-2, 5)$, calcula les coordenades del vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ i del vector diferència $\vec{u} - \vec{v}$.

Donat el vector $\vec{w} = (3, -7)$, calcula les coordenades dels vectors $2\vec{w}$ i $-\frac{1}{2}\vec{w}$.

Calcula les coordenades del punt mitjà del segment d'extrems $P(-4, 7)$ i $Q(8, -1)$.

Comprova si els vectors $\vec{a} = (2, -5)$ i $\vec{b} = (-6, 15)$ tenen la mateixa direcció, és a dir, si són paral·lels.

Troba les coordenades del punt simètric de $A(1, 4)$ respecte del punt $M(3, -2)$.

El vector $\vec{v} = (5, 2)$ té l'origen al punt $A(-3, 1)$. Determina les coordenades del seu extrem $B$.

Per obtenir un vector unitari amb la mateixa direcció i sentit que $\vec{v} = (-6, 8)$, en Marcos raona així al seu examen:

«Com que les components sumen $-6 + 8 = 2$, perquè el vector mesuri $1$ només he de dividir cada component entre $2$. Així obtinc el vector $\vec{u} = \left(\frac{-6}{2}, \frac{8}{2}\right) = (-3, 4)$, que ja és unitari».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals greus comesos per en Marcos en calcular el mòdul i en definir què és un vector unitari.
2. b) Demostra analíticament que el vector $(-3, 4)$ no és unitari calculant el seu mòdul real.
3. c) Corregeix el procediment i obtén les components exactes del veritable vector unitari $\vec{u}$ amb la mateixa direcció i sentit que $\vec{v}$, comprovant que el seu mòdul val exactament $1$.

Donats els vectors $\vec{u} = (4, -1)$ i $\vec{v} = (-1, 3)$:

1. a) Abans de fer comptes en paper, analitza l'efecte de multiplicar $\vec{u}$ per $2$ i $\vec{v}$ per $3$, i estima raonadament en quin quadrant del pla cartesià quedarà el vector $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$. Justifica la teva previsió fixant-te en els signes dominants de cada component.
2. b) Compara visualment les magnituds de $2\vec{u}$ i $3\vec{v}$ i fes una estimació: el mòdul de $\vec{w}$ serà més gran o més petit que $10$?
3. c) Calcula amb precisió les components de $\vec{w}$ i el seu mòdul exacte $|\vec{w}|$.
4. d) Contrasta els teus càlculs amb les estimacions dels apartats a) i b) i explica si les teves conjectures inicials eren coherents amb el resultat obtingut.

Un robot de magatzem fa el recorregut següent des de la seva base a l'origen de coordenades: primer es desplaça segons el vector $\vec{d_1} = (4,5; 2,1)$ m, després segueix el vector $\vec{d_2} = (-1,2; 3,4)$ m i finalment avança segons $\vec{d_3} = (0; -1,5)$ m. Determina el vector de posició final del robot i a quina distància en línia recta es troba de la base.

En el disseny d'un videojoc, el moviment d'un personatge ve donat pel vector $\vec{u} = (x, 12)$, i el d'un projectil pel vector $\vec{v} = (5, -4)$. Calcula el valor de $x$ perquè tots dos vectors tinguin la mateixa direcció i esbrina si tenen el mateix sentit.

Expressa el vector $\vec{w} = (1, 11)$ com a combinació lineal dels vectors $\vec{u} = (2, 3)$ i $\vec{v} = (-1, 5)$. És a dir, troba els valors de $a$ i $b$ tals que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

Dues ciutats estan situades en un mapa en les coordenades $A(-15, 20)$ i $B(35, -4)$ (en quilòmetres). Es vol instal·lar una antena de telecomunicacions exactament al punt mitjà entre totes dues. Calcula les coordenades on s'ha de situar l'antena i la longitud del cable de fibra òptica necessari per connectar-la en línia recta amb la ciutat $A$.

En una obra d'enginyeria civil, s'han d'alinear tres pilars. En el plànol, les seves posicions són $P(1, -2)$, $Q(4, 2)$ i $R(10, k)$. Esbrina el valor de $k$ perquè els tres pilars estiguin perfectament alineats.

Calcula les coordenades d'un punt $P$ que divideix el segment d'extrems $A(-2, 5)$ i $B(7, -1)$ de manera que la distància de $A$ a $P$ sigui el doble que la distància de $P$ a $B$. És a dir, es compleix la relació vectorial $\vec{AP} = 2\vec{PB}$.

Sobre un cos actuen dues forces representades pels vectors $\vec{F_1} = (15, -8)$ N i $\vec{F_2} = (-5, 12)$ N. Calcula el vector força resultant $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ i determina la magnitud (mòdul) d'aquesta força resultant.

Els vèrtexs d'una parcel·la triangular són $A(0, 0)$, $B(8, 6)$ i $C(12, -3)$ (mesurats en decàmetres). Calcula el perímetre de la parcel·la.

Un dron de rescat ha d'assolir una posició prefixada pel vector desplaçament total $\vec{d}_{\text{total}} = (7, -1)$. Per navegar, el seu sistema disposa de dos moviments elementals calibrats: $\vec{u} = (3, 1)$ i $\vec{v} = (-1, 3)$. El pilot automàtic ha de determinar dos escalars $a$ i $b$ tals que $\vec{d}_{\text{total}} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

1. a) Planteja el sistema de dues equacions lineals que relaciona les components horitzontal i vertical dels vectors.
2. b) Resol el sistema per trobar els valors exactes dels coeficients $a$ i $b$.
3. c) Interpreta el significat geomètric i físic dels valors i signes trobats per a $a$ i $b$: s'ha estirat, encongit o invertit el sentit de cada vector base? Justifica la teva resposta a partir del que expliquen els apunts sobre el producte per un escalar.

Un dron de vigilància de la DGT sobrevola un tram de l'autovia A-3 a la província de Cuenca. Els seus motors l'impulsen amb un vector de velocitat pròpia respecte a l'aire de $\vec{v}_p = (45, 60)\text{ km/h}$. No obstant això, l'estació meteorològica d'AEMET a la zona registra un vent constant amb vector velocitat $\vec{v}_w = (-15, 20)\text{ km/h}$.

1. a) Modela la velocitat resultant del dron respecte a terra com la suma vectorial $\vec{v}_r = \vec{v}_p + \vec{v}_w$ i determina les seves components.
2. b) Calcula la rapidesa pròpia del dron ($|\vec{v}_p|$) i la rapidesa resultant sobre terra ($|\vec{v}_r|$). Comparant tots dos mòduls, raona si el vent està afavorint o frenant l'avanç global del dron.
3. c) Si el dron manté aquest vol durant $15$ minuts ($0,25\text{ h}$), determina el seu vector desplaçament net $\vec{d} = 0,25\cdot \vec{v}_r$ i calcula a quina distància en línia recta es trobarà respecte al punt de partida.

Un robot explorador a Mart parteix del punt $A(-3, 2)$ i fa un desplaçament descrit pel vector $\vec{u} = (5, 4)$ fins a arribar a un punt $B$. Des de $B$, es mou cap a un punt $C$ tal que $\vec{BC} = -2\vec{u} + \vec{w}$, essent $\vec{w} = (1, -6)$. Determina les coordenades dels punts $B$ i $C$, i calcula el mòdul del vector desplaçament total $\vec{AC}$.

Tres dels vèrtexs d'un panell solar amb forma de paral·lelogram $ABCD$ estan situats en els punts $A(-1, 3)$, $B(5, 1)$ i $C(6, 4)$. Calcula les coordenades del quart vèrtex $D$ sabent que els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{DC}$ són equipol·lents. Comprova el teu resultat calculant el punt mitjà de totes dues diagonals.

En física de partícules, un feix de protons segueix una trajectòria rectilínia amb vector director $\vec{v} = (3, -4)$. Troba un vector unitari (de mòdul 1) que tingui la mateixa direcció i sentit que $\vec{v}$, i un altre vector que tingui la mateixa direcció, sentit oposat i mòdul 10.

Donats els punts $A(1, 2)$, $B(3, -1)$ i $C(0, 4)$, troba les coordenades d'un punt $D$ que compleixi l'equació vectorial $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sabent que el vector $\vec{v}$ té coordenades $(-5, 2)$.

El centre d'un hexàgon regular es troba a l'origen de coordenades $O(0,0)$ i un dels seus vèrtexs és el punt $A(4, 0)$. Utilitzant les propietats dels vectors i sabent que l'hexàgon es pot dividir en 6 triangles equilàters idèntics, determina les coordenades dels altres cinc vèrtexs.

Demostra analíticament que el quadrilàter de vèrtexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$, $C(6, -1)$ i $D(0, -3)$ és un paral·lelogram. Per a fer-ho, comprova que els costats oposats són vectors equipol·lents.

Un avió vola amb una velocitat pròpia representada pel vector $\vec{v_m} = (250, 150)$ km/h. El vent bufa amb una velocitat $\vec{v_v} = (-30, 40)$ km/h. La velocitat real de l'avió respecte del terra és la suma de tots dos vectors. Es vol modificar la velocitat dels motors sumant un vector de correcció $\vec{c} = a\vec{u} + b\vec{w}$, on $\vec{u} = (1, 0)$ i $\vec{w} = (0, 1)$, perquè la velocitat real final de l'avió sigui exactament $\vec{v_r} = (300, 0)$ km/h. Planteja l'equació vectorial i troba els valors de $a$ i $b$.

Troba les coordenades d'un punt $P$ situat sobre l'eix d'ordenades de manera que el triangle format pels punts $A(-3, 2)$, $B(1, 4)$ i $P$ sigui isosceles, essent els costats $AP$ i $BP$ de la mateixa longitud. És a dir, s'ha de complir que $|\vec{AP}| = |\vec{BP}|$.

Es vol dividir el segment d'extrems $A(-4, 7)$ i $B(5, -2)$ en tres parts exactament iguals introduint dos punts interiors, $P$ i $Q$ (amb $P$ situat més proper a $A$). A classe sorgeixen tres propostes:

• Proposta d'Alba: Calcular el punt mitjà $M$ entre $A$ i $B$, i després trobar el punt mitjà entre $A$ i $M$.

• Proposta de Bruno: Calcular el vector pas $\vec{u} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ i obtenir consecutivament $P = A + \vec{u}$ i $Q = P + \vec{u}$.

• Proposta de Carmen: Plantejar dues equacions vectorials independents utilitzant proporcions: $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{PB}$ i $\vec{AQ} = 2\vec{QB}$, resolent les coordenades $(x, y)$ de cada punt.

1. a) Explica mitjançant un argument geomètric per què la proposta d'Alba és conceptualment errònia i quina divisió del segment generaria en realitat.
2. b) Compara les propostes de Bruno i Carmen: argumenta quin dels dos mètodes vàlids és més eficient, té menys risc d'error en el maneig de signes i permet generalitzar millor a divisions en $5$ o més parts.
3. c) Aplica el mètode més eficient per calcular les coordenades exactes dels punts $P$ i $Q$.

En el pla cartesià es consideren els punts $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(2, 7)$, vèrtexs d'un triangle.

1. a) Troba les coordenades del punt mitjà $M$ del costat $BC$ i, utilitzant la relació vectorial de simetria $A' = 2M - A$, calcula les coordenades del punt $A'$, simètric de $A$ respecte de $M$.
2. b) Calcula les components dels vectors $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ i $\vec{AA'}$, i comprova numèricament si es compleix la relació $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$.
3. c) Demostra algebraicament per què la relació $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$ es compleix sempre per a qualsevol triangle del pla, substituint de forma genèrica les expressions $M = \frac{B + C}{2}$ i $A' = 2M - A$ en el vector $\vec{AA'} = A' - A$, sense fer servir coordenades numèriques. A partir d'aquest resultat, justifica quin tipus de quadrilàter formen els punts $A$, $B$, $A'$ i $C$.