Ecuaciones de segundo grado
Quieres una alfombra cuadrada de $144$ m² para tu habitación. ¿Cuánto debe medir el lado? Buscas un número $x$ tal que $x^2 = 144$. Es una ecuación distinta a las que conocías: la incógnita está elevada al cuadrado. Se llaman ecuaciones de segundo grado, y hoy aprendes a resolverlas todas, incluso las que no se pueden "ver" a simple vista.
Forma general
Gráficamente, $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola. Las soluciones de la ecuación son los puntos donde la parábola corta al eje X. Mueve $a$, $b$ y $c$ y observa:
Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbelas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indica el valor de…
Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Para aquellas que lo sean, escríbelas en su forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) e indica el valor de sus coeficientes $a$, $b$ y $c$:
- a) $3x^2 - 5 = x + 2$
- b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$
- c) $5x - 3 = 0$
- d) $(x + 2) \cdot (x - 2) = 0$
Ecuaciones incompletas
Cuando falta un término, se resuelven sin fórmula y más rápido:
Calcula la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerda que pueden tener dos soluciones, una o ninguna): a) $x^2 - 49 = 0$…
Calcula la solución de estas ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$ (recuerda que pueden tener dos soluciones, una o ninguna):
- a) $x^2 - 49 = 0$
- b) $2x^2 - 32 = 0$
- c) $x^2 + 25 = 0$
- d) $5x^2 = 0$
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvides que una de las soluciones siempre es $x = 0$: a) $x^2 - 7x = 0$ b)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas extrayendo factor común. No olvides que una de las soluciones siempre es $x = 0$:
- a) $x^2 - 7x = 0$
- b) $3x^2 + 12x = 0$
- c) $x^2 = 5x$
- d) $4x^2 - 2x = 0$
Queremos diseñar una alfombra cuadrada para una habitación. Si sabemos que el área total que debe ocupar es de $144$ $m^2$, ¿cuánto debe medir el lado de la alfombra?…
Queremos diseñar una alfombra cuadrada para una habitación. Si sabemos que el área total que debe ocupar es de $144$ $m^2$, ¿cuánto debe medir el lado de la alfombra? Escribe la ecuación de segundo grado correspondiente y resuélvela.
La fórmula general
Para una ecuación completa (con $b$ y $c$ distintos de cero), hay una fórmula que funciona siempre:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$El símbolo $\pm$ da dos soluciones: una sumando la raíz y otra restándola.
Sin resolver las ecuaciones, calcula el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indica si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real: a)…
Sin resolver las ecuaciones, calcula el valor del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) e indica si tienen dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $x^2 - 5x + 4 = 0$
- c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
El ayuntamiento de un pueblo quiere instalar una lona publicitaria cuadrada en la fachada de un polideportivo para anunciar un evento de eSports. Si la superficie total…
El ayuntamiento de un pueblo quiere instalar una lona publicitaria cuadrada en la fachada de un polideportivo para anunciar un evento de eSports. Si la superficie total que ocupa la lona es de $144 m^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula cuánto mide el lado de dicha lona.
El discriminante: ¿cuántas soluciones?
Lo que hay dentro de la raíz, $\Delta = b^2 - 4ac$, se llama discriminante y permite saber cuántas soluciones tiene la ecuación sin resolverla:
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Soluciones |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos soluciones distintas |
| $\Delta = 0$ | Una solución (doble) |
| $\Delta < 0$ | Ninguna solución real |
Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. Para que la rampa sea segura y tenga un único punto de apoyo sobre el suelo, el discriminante de la…
Se va a construir una rampa parabólica para un nuevo skatepark. Para que la rampa sea segura y tenga un único punto de apoyo sobre el suelo, el discriminante de la ecuación que describe su trayectoria, $x^2 - 10x + k = 0$, debe ser igual a cero.
¿Qué valor debe tener el coeficiente $k$ para que la rampa tenga una única solución (solución doble)? Una vez hallado $k$, resuelve la ecuación para encontrar el punto de apoyo.
Problemas de segundo grado
Al resolver un problema, descarta las soluciones que no tengan sentido: una longitud negativa, un número de personas con decimales…
En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utiliza el discriminante…
En el laboratorio de matemáticas, estamos analizando el comportamiento de diferentes proyectiles. Sin resolver las siguientes ecuaciones, utiliza el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) para indicar cuántas soluciones reales tiene cada una:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
- c) $x^2 - 5x + 4 = 0$
El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor más $10$ unidades. Plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y halla cuáles…
El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor más $10$ unidades. Plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y halla cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja de números que cumpla la condición?