Exercicis: Distància entre dos punts

Calcula la distància exacta entre els punts $A(2, 3)$ i $B(5, 7)$ en el pla cartesià.

Un vaixell es troba en les coordenades $P(-4, 1)$ i un far en $Q(2, -7)$. Si cada unitat del pla equival a un quilòmetre, a quina distància en línia recta es troba el vaixell del far?

Troba la longitud del segment els extrems del qual són l'origen de coordenades $O(0, 0)$ i el punt $M(-8, 6)$.

Els vèrtexs d'un triangle són $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ i $C(1, 5)$. Calcula el perímetre d'aquest triangle sumant les longituds dels seus tres costats.

En una pantalla de radar bidimensional, dos avions estan localitzats en els punts $R(-3, -2)$ i $S(9, 3)$. Determina la distància lineal entre tots dos en les unitats del radar.

Calcula la longitud de la diagonal d'un rectangle si saps que dos dels seus vèrtexs oposats tenen les coordenades $V_1(-1, 4)$ i $V_2(5, -4)$.

Comprova matemàticament si els segments $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ tenen exactament la mateixa longitud, essent les coordenades dels punts $A(0, 2)$, $B(3, 6)$, $C(-2, -1)$ i $D(2, 2)$.

Un topògraf marca dos punts en un terreny pla: $T_1(12, 5)$ i $T_2(24, 10)$. Si les coordenades estan expressades en metres, quants metres de cable necessita per a unir-los en línia recta?

En Marcos vol calcular la distància entre els punts $A(-1, 5)$ i $B(3, 2)$ en un pla cartesià. A la seva llibreta escriu el desenvolupament següent:

1. a) Assenyala amb precisió l'error conceptual i algebraic que comet en Marcos en l'últim pas i explica per què la rel quadrada d'una suma no és igual a la suma de les rels.
2. b) Corregeix el procediment i calcula el valor numèric exacte de la distància euclidiana entre $A$ i $B$.

Considera els punts $A(1, 2)$ i $B(7, 10)$ en el pla cartesià.

1. a) Abans d'aplicar la fórmula de la distància, analitza els desplaçaments horitzontal ($\Delta x = |7 - 1| = 6$) i vertical ($\Delta y = |10 - 2| = 8$). Raona per què el valor de $d(A,B)$ ha de ser forçosament més gran que $8$ i més petit que $14$ recolzant-te en les propietats geomètriques dels catets i la hipotenusa d'un triangle rectangle (desigualtat triangular).
2. b) Calcula ara el valor analític exacte de $d(A,B)$ i comprova si la teva estimació i intervals inicials eren correctes.

La distància entre els punts $A(1, 2)$ i $B(x, 5)$ és d'exactament $5$ unitats. Troba els dos possibles valors de la coordenada $x$.

Un repartidor en bicicleta surt de la botiga situada a $O(0,0)$, va en línia recta fins a la primera entrega a $A(6, 8)$ i després canvia de rumb per a adreçar-se a la segona entrega a $B(15, -4)$. Si cada unitat del pla representa $100$ metres, quina és la distància total recorreguda en quilòmetres?

En un plànol d'arquitectura, tres columnes principals es situaran en les coordenades $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ i $R(5, 0)$. Demostra matemàticament si el triangle que formen aquestes tres columnes és isoscele.

Una antena de telecomunicacions té un abast circular màxim de $10\text{ km}$. Si l'antena està ubicada en el punt $C(3, -2)$ d'un mapa (on $1$ unitat de coordenada equival a $1\text{ km}$), esbrina si un usuari situat en la posició $U(-4, 5)$ es troba dins de la zona de cobertura.

Troba les coordenades de tots els punts situats sobre l'eix d'abscisses (eix X) que es trobin a exactament $10$ unitats de distància del punt $M(-6, 8)$.

En una jugada assajada de futbol, un jugador situat a $J_1(10, 20)$ fa una passada de ras al seu company a $J_2(34, 27)$, que sense aturar la pilota xuta directament cap al centre de la porteria a $P(50, 15)$. Calcula la distància total que recorre la pilota. (Les coordenades estan donades en metres).

Demostra, calculant les longituds dels tres costats i utilitzant el teorema de Pitàgores, que el triangle de vèrtexs $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ i $C(2, 4)$ és un triangle rectangle.

L'estació base d'un telefèric està a $B(0, 0)$ i el cim de la muntanya a $C(120, 50)$ en un pla bidimensional. Cal instal·lar una torre de suport exactament en el punt mitjà del trajecte lineal. Calcula les coordenades d'aquest punt mitjà i la distància des de la base fins a la torre.

Dissenya les coordenades de tres punts diferents del pla cartesià, $A$, $B$ i $C$, situats tots en el primer quadrant i amb coordenades enteres no nul·les, que compleixin alhora les condicions següents:

1. La distància entre $A$ i $B$ ha de ser exactament de $\sqrt{13}$ unitats.

2. La distància entre $B$ i $C$ ha de ser exactament de $\sqrt{52}$ unitats.

3. Els tres punts han d'estar alineats, verificant la relació $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Explica el raonament que has seguit per construir les seves coordenades i demostra analíticament, calculant la distància $d(A,C)$, que els punts estan efectivament alineats sense recolzar-te en cap dibuix.

El centre de coordinació de Salvament Marítim de Tarifa monitora dues embarcacions en emergència a l'estret de Gibraltar. A la pantalla del radar (on cada unitat de quadrícula representa $1\text{ milla nàutica}$), un pesquer avariat està a la posició $P(2, 5)$ i un veler a $V(8, -3)$. Una patrullera ràpida de rescat es troba a la costa al punt $C(2, -1)$.

1. a) Si la patrullera navega en línia recta a velocitat constant, determina a quina de les dues embarcacions auxiliarà abans. Justifica la teva conclusió calculant les distàncies exactes des de $C$ fins a cadascuna d'elles.
2. b) Una embarcació de suport es troba en el punt intermedi $M(5, 1)$. Comprova numèricament, aplicant la condició mètrica d'alineació de punts, si aquesta embarcació es troba exactament en el rumb directe que uneix el pesquer $P$ amb el veler $V$.

Troba les coordenades d'un punt $P$ situat sobre la bisectriu del primer quadrant (la recta $y = x$) que equidisti dels punts fixos $A(2, 0)$ i $B(0, 4)$.

Els punts $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ i $C(2, -2)$ són tres vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram $ABCD$. Troba les coordenades del quart vèrtex $D$ i calcula la longitud exacta de totes dues diagonals del paral·lelogram.

En un simulador de vol espacial en 3D, una nau es mou des de la coordenada $P_1(2, -1, 4)$ fins a l'estació orbital a $P_2(5, 3, 16)$. Calcula la distància lineal exacta que recorre la nau en l'espai.

Una canonada recta ha de connectar un pou situat en el punt $A(-3, 2)$ amb una bomba d'aigua $P$ que obligatòriament s'ha d'instal·lar sobre l'eix d'ordenades (eix Y). Si per restriccions de pressió la longitud de la canonada ha de ser d'exactament $\sqrt{29}$ unitats, troba les possibles coordenades per a la bomba $P$.

Els vèrtexs d'un terreny amb forma triangular són $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ i $C(6, 3)$. Demostra primer que el terreny forma un triangle rectangle i, a continuació, calcula el seu perímetre i la seva àrea exacta.

Un sistema de reg automatitzat consta d'un aspersor circular amb centre a $C(x, y)$ que ha de regar per igual tres arbres situats en les coordenades $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ i $T_3(0, 8)$. Determina les coordenades en què s'ha de col·locar l'aspersor $C$ i quin serà el seu radi d'abast exacte.

Determina si els punts $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ i $C(7, 7)$ estan perfectament alineats. Per a fer-ho, calcula les distàncies $d(A,B)$, $d(B,C)$ i $d(A,C)$, i comprova si es compleix la igualtat $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Una empresa de telecomunicacions vol instal·lar un cable de fibra òptica que connecti dos edificis $E_1(0, 0)$ i $E_2(21, 0)$. El cost d'instal·lació és de $150\text{ \euro}$ per cada unitat de longitud. Si decideixen afegir un node intermedi a $N(16, 12)$ i connectar $E_1$ amb $N$, i després $N$ amb $E_2$, quants diners extra costarà aquesta desviació respecte de la connexió directa entre tots dos edificis?

Per comprovar si els punts $A(-1, -2)$, $B(1, 2)$ i $C(3, 6)$ estan alineats en una mateixa recta, es plantegen dues estratègies matemàtiques diferents:

• Mètode 1 (Mètric): Calcular les tres distàncies $d(A,B)$, $d(B,C)$ i $d(A,C)$ mitjançant el mòdul dels desplaçaments i verificar si la suma de les dues menors iguala la major.

• Mètode 2 (Vectorial): Calcular les components dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BC}$ i verificar si són directament proporcionals.

1. a) Aplica el Mètode 1 simplificant els radicals al màxim per operar amb valors exactes.
2. b) Aplica el Mètode 2.
3. c) Compara els dos camins i argumenta quin dels dos és preferible des del punt de vista de l'economia de càlcul i de la seguretat per evitar errors d'arrodoriment quan les distàncies resulten ser nombres irracionals.

Una empresa de telecomunicacions projecta instal·lar una torre repetidora per donar cobertura a dos pobles rurals representats en un mapa comarcal pels punts $A(-3, 2)$ i $B(5, 6)$ (coordenades mesurades en quilòmetres). Per motius tècnics d'accés, l'estació s'ha de construir sobre una carretera recta el traçat de la qual respon a l'equació $y = 3x - 4$. A més, per equilibrar la potència de senyal rebuda en ambdós municipis, l'estació $P(x, y)$ ha d'equidistar de tots dos ($d(P,A) = d(P,B)$).

1. a) Modela la condició d'equidistància desenvolupant la igualtat $d(P,A)^2 = d(P,B)^2$ i obtén l'equació lineal general de la recta mediatriu del segment que uneix els dos pobles.
2. b) Planteja i resol el sistema d'equacions per trobar les coordenades exactes de la ubicació de l'antena.
3. c) Calcula la distància exacta en quilòmetres des de l'antena fins a cadascun dels dos municipis comprovant que coincideixen.