Exercicis: Simetria

Observa les gràfiques de les funcions representades en els panells A i B. Indica quin tipus de simetria (parell, senar o cap) presenta cadascuna d'elles, justificant la teva resposta en funció de la seva forma visual.

Donada la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultat, indica si la funció presenta simetria parell, senar o cap.

Donada la funció $g(x) = -2x^3$, calcula l'expressió de $g(-x)$. Quin tipus de simetria té aquesta funció?

Considera la funció afí $f(x) = 2x + 1$. Comprova algebraicament si compleix la condició de simetria parell ($f(-x) = f(x)$) o la de simetria senar ($f(-x) = -f(x)$).

En una classe de 4t d'ESO, Mateo ha de determinar si la funció $f(x) = x^3 - 5x + 3$ és parella, imparella o no té simetria. Mateo escriu al seu quadern el següent:

«Com que el grau principal és 3 i els exponents de la variable $x$ són imparells ($3$ i $1$), la funció és imparella. Per comprovar-ho, calculo $f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) + 3 = -x^3 + 5x + 3$, que en tenir signes diferents respecte a la fórmula original demostra que és imparella».

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que ha comès Mateo (un en jutjar la funció només pels exponents de $x$ oblidant el terme independent, i un altre en interpretar què significa canviar de signe una funció).
2. b) Recolza't en el valor de la funció a l'origen, $f(0)$, per justificar de manera immediata per què aquesta funció no pot ser imparella.
3. c) Corregeix l'exercici realitzant la comprovació algebraica adequada per determinar la simetria real de $f(x)$.

Una funció $g$, el domini de la qual és tot $\mathbb{R}$, posseeix simetria imparella i en coneixem únicament tres dades: $g(3) = -12$, $g(-1) = 4$ i que la seva gràfica talla l'eix vertical en el punt $(0, k)$.

1. a) Dedueix raonadament el valor numèric de la constant $k$ i calcula els valors de $g(-3)$ i $g(1)$ aplicant la definició algebraica de funció imparella.
2. b) Escriu l'expressió analítica d'un polinomi de tercer grau amb simetria imparella, de la forma $p(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x$, que compleixi simultàniament que $p(1) = -4$ i el coeficient principal del qual sigui $a = 2$.
3. c) Comprova de manera algebraica que la fórmula que has obtingut a l'apartat b compleix rigorosament la condició $p(-x) = -p(x)$ per a qualsevol valor de $x$.

Comprova de forma algebraica el tipus de simetria que presenta la funció racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.

El cable d'un pont penjant adopta la forma d'una paràbola descrita per l'equació $y = 0,05x^2 + 10$. Verifica algebraicament si aquesta funció presenta simetria parell, senar o cap, i interpreta el resultat geomètricament.

La gràfica següent mostra la variació de temperatura $T$ en un experiment químic en funció del temps $t$, registrada a partir de l'instant $t = 0$. Si el model matemàtic $T(t)$ que regeix aquest experiment és una funció parell en tot el seu domini real, quina serà la temperatura en l'instant $t = -3$? Justifica la teva resposta.

Sabent que $f(x)$ és una funció senar i que està definida al punt $x = 0$, quin ha de ser obligatòriament el valor de $f(0)$? Demostra-ho utilitzant la definició de funció senar.

Per esbrinar si la funció racional $f(x) = \frac{3x^2 - 6}{x^4 + 2}$ és parella, imparella o no té simetria, dos estudiants proposen camins diferents:

• Candela proposa el mètode numèric: «Calculo $f(2)$ i $f(-2)$. Si ambdós resultats coincideixen exactament, queda demostrat al $100\,\%$ que la funció és parella».

• Hugo proposa el mètode analític: «Calculo l'expressió general de $f(-x)$ substituint formalment $(-x)$ a la variable, opero i la comparo amb $f(x)$ i $-f(x)$».

1. a) Avalua la fiabilitat del mètode de Candela: calcula $f(2)$ i $f(-2)$ i explica per què verificar una igualtat en una sola parella de nombres oposats no constitueix una demostració matemàtica vàlida per a tot el domini.
2. b) Aplica el mètode d'Hugo desenvolupant amb claredat cada pas algebraic i conclou amb certesa quin tipus de simetria presenta $f(x)$.
3. c) En quina circumstància concreta un mètode numèric com el de Candela sí que resultaria concloent per resoldre el problema de la simetria? Justifica la teva resposta.

Una estació de l'AEMET a la província de Guadalajara registra la temperatura en una jornada hivernal anticiclònica i sense vent. Prenent com a instant de referència ($t = 0$) les $14{:}00\text{ h}$ (moment de radiació solar màxima), els meteoròlegs modelitzen la temperatura $T$ (en graus Celsius) durant les hores diürnes centrals mitjançant la funció:

$T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 8$, per a $t \in [-4, 4]$

(on $t$ indica les hores transcorregudes respecte a les $14{:}00\text{ h}$; per exemple, $t = -3$ correspon a les $11{:}00\text{ h}$ i $t = 3$ correspon a les $17{:}00\text{ h}$).

1. a) Demostra algebraicament quina simetria presenta la funció $T(t)$ a l'interval donat calculant $T(-t)$.
2. b) Interpreta quin significat físic té aquesta simetria en el context meteorològic real: quina relació tenen les temperatures a les $11{:}00\text{ h}$ i a les $17{:}00\text{ h}$? I a les $12{:}00\text{ h}$ respecte a les $16{:}00\text{ h}$?
3. c) Si un informe complementari proposa modelitzar la rapidesa de canvi de la temperatura mitjançant la funció $v(t) = -1,0 \cdot t$, analitza la seva simetria i interpreta què representa físicament el signe de $v(t)$ abans de les $14{:}00\text{ h}$ ($t < 0$) en comparació amb després de les $14{:}00\text{ h}$ ($t > 0$).

Troba el valor que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè la funció $f(x) = x^2 + kx + 5$ sigui una funció parell. Justifica la teva resposta algebraicament.

La potència generada per un aerogenerador es modelitza mitjançant la funció $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, on $v$ representa la velocitat del vent. Estudia analíticament la simetria de $P(v)$. Si considerem velocitats de vent negatives com vent bufant en direcció contrària, quin significat físic té la simetria obtinguda respecte a la potència generada?

Un estudiant afirma que la funció $f(x) = \frac{1}{x-2}$ és senar perquè la $x$ del denominador està elevada a un exponent senar (1). És correcta aquesta afirmació? Demostra-ho o refuta-ho mitjançant una anàlisi algebraica.

Suposa que existeix una funció $f(x)$ que és simultàniament parell i senar en tot el seu domini. Planteja el sistema d'equacions que es deriva de les definicions de totes dues simetries i resol per trobar quina és l'única funció que compleix aquesta condició.

Donades dues funcions amb domini a tot $\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 4x$ (funció imparella) i $g(x) = x^2 + 3$ (funció parella), es defineixen dues noves funcions a partir d'elles: el seu producte $P(x) = f(x) \cdot g(x)$ i la seva suma $S(x) = f(x) + g(x)$.

1. a) Estima raonadament, abans d'efectuar càlculs de desenvolupament algebraic, quin tipus de simetria esperaries que tingui el producte $P(x)$ (pensant en la regla dels signes de factors parells i imparells) i quina simetria esperaries que tingui la suma $S(x)$ en combinar termes de diferent comportament enfront del signe oposat.
2. b) Comprova les teves estimacions calculant algebraicament les expressions desenvolupades de $P(-x)$ i $S(-x)$, i classifica de manera rigorosa cadascuna de les dues funcions en parella, imparella o sense simetria.
3. c) Raona la següent qüestió teòrica: si sumem qualsevol funció parella no nul·la amb qualsevol funció imparella no nul·la, podria el resultat ser alguna vegada una funció parella? Justifica la teva resposta utilitzant la igualtat matemàtica que defineix les funcions parelles.

Un equip de disseny industrial modelitza el perfil corbat d'una peça mitjançant una funció polinòmica de tercer grau: $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$.

Per integrar-se en el mecanisme, la peça ha de complir tres condicions tècniques:

1. La seva gràfica ha de ser estrictament simètrica respecte a l'origen de coordenades $(0,0)$.

2. La corba ha de tallar l'eix horitzontal en el punt $(3, 0)$.

3. En el punt d'abscissa $x = 1$, la funció ha de prendre el valor $y = -8$.

1. a) Dedueix raonadament els valors obligats dels coeficients $b$ i $d$ sense plantejar sistemes d'equacions, basant-te exclusivament en la definició analítica i geomètrica de simetria imparella.
2. b) Planteja el sistema d'equacions lineals corresponent a les condicions 2 i 3, resol-lo i escriu la fórmula analítica definitiva de la funció $f(x)$.
3. c) Demostra que, per a qualsevol funció imparella $f$ i per a qualsevol punt $x_0 \neq 0$ del seu domini, la recta secant que uneix el punt $A(x_0, f(x_0))$ amb el seu simètric $B(-x_0, f(-x_0))$ passa de manera necessària per l'origen de coordenades $(0,0)$.