Simetría de una función
Antes de representar una función conviene preguntarse si tiene alguna simetría: ahorra la mitad del trabajo y, en Bachillerato, es el primer dato que se analiza al estudiar cualquier función. La simetría no se decide mirando un dibujo, sino demostrándola con una sustitución algebraica.
Simetría par: reflejo respecto al eje $Y$
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indica si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indica si la función presenta simetría par, impar o ninguna.
Considera la función afín $f(x) = 2x + 1$. Comprueba algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Considera la función afín $f(x) = 2x + 1$. Comprueba algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).
Simetría impar: simetría central respecto al origen
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcula la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcula la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demuéstralo utilizando la…
Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demuéstralo utilizando la definición de función impar.
Funciones sin simetría
La mayoría de las funciones no son pares ni impares: basta con que mezclen exponentes pares e impares, o que tengan un término constante distinto de cero junto a términos de exponente impar.
Observa las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indica qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando tu…
Observa las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indica qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando tu respuesta en función de su forma visual.
Utilidad práctica de conocer la simetría
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo…
La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo matemático $T(t)$ que rige este experimento es una función par en todo su dominio real, ¿cuál será la temperatura en el instante $t = -3$? Justifica tu respuesta.
Encuentra el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifica tu respuesta algebraicamente.
Encuentra el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifica tu respuesta algebraicamente.
Supón que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantea el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas…
Supón que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantea el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas simetrías y resuelve para encontrar cuál es la única función que cumple esta condición.
Simetría en funciones racionales
En una función racional, $f(-x)$ se calcula sustituyendo por separado en numerador y denominador, prestando atención al signo que introduce cada potencia impar.
Comprueba de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
Comprueba de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudia…
La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudia analíticamente la simetría de $P(v)$. Si consideramos velocidades de viento negativas como viento soplando en dirección contraria, ¿qué significado físico tiene la simetría obtenida respecto a la potencia generada?
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación?…
Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación? Demuéstralo o refútalo mediante un análisis algebraico.