Patrones y regularidades

Observa las siguientes secuencias numéricas y escribe los dos términos siguientes de cada una, explicando la regla que siguen:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

La sucesión de Fibonacci empieza así: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Escribe los cuatro términos siguientes.

Observa la secuencia $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escribe los tres términos siguientes.

• ¿Cuál es el término que ocupa el lugar $25$? ¿Es positivo o negativo?

Una manualidad consiste en construir triángulos en cadena con palillos, como se muestra en la figura.

• ¿Cuántos palillos se necesitan para construir la figura 4?

• ¿Y para la figura 5?

Observa la secuencia de figuras formadas por puntos de la imagen.

• ¿Cuántos puntos tendrá la figura 4? ¿Y la figura 5?

• ¿Qué relación hay entre el número de la figura y la cantidad de puntos?

Una empresa de construcción apila bloques formando escaleras, como se muestra en la figura.

• Cuenta los bloques de las figuras 1, 2 y 3 y calcula cuántos bloques tendrá la figura 4.

• ¿Cuántos bloques tendrá la figura 10?

• Escribe una expresión general para el número de bloques de la figura $n$. (Pista: une cada escalera con su simétrica para formar un rectángulo.)

La sucesión $a_n$ tiene por término general $a_n = 4n - 1$. Calcula los términos $a_1$, $a_5$ y $a_{20}$.

Considera la sucesión $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Halla su término general $a_n$.

• Comprueba si $157$ es un término de la sucesión y, en caso afirmativo, indica qué lugar ocupa.

• ¿Pertenece $200$ a la sucesión? Razona la respuesta.

Un alumno afirma que el término general de la sucesión $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ es $a_n = 2n$. Indica si la afirmación es verdadera o falsa, razona tu respuesta y escribe el término general correcto.

Una sucesión se define por recurrencia así: $a_1 = 2$ y $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcula los cinco primeros términos.

• Compara cada término con las potencias de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) y describe el patrón que observas.

• A la vista del patrón, ¿cuál será el valor de $a_{10}$?

En su libro Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, planteó este problema: una pareja de conejos recién nacida tarda un mes en hacerse adulta; a partir de entonces, cada mes tiene una nueva pareja de crías, que a su vez siguen la misma regla. Ningún conejo muere.

• Partiendo de una única pareja recién nacida, completa una tabla con el número de parejas al final de cada uno de los seis primeros meses.

• Escribe la ley de recurrencia que sigue la sucesión.

• ¿Cuántas parejas habrá al cabo de $10$ meses?

Dos compañeros discuten sobre el término general de la sucesión que empieza $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana dice que es $a_n = 2^n$.

• Bruno dice que puede ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Comprueba que ambas expresiones generan los tres primeros términos.

• Calcula el cuarto término según cada una de las dos expresiones. ¿Coinciden?

• Saca conclusiones: ¿los tres primeros términos de una sucesión determinan su término general de forma única?

Los números triangulares son $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (puntos que forman un triángulo) y los cuadrados son $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Comprueba con los cuatro primeros casos que cada número cuadrado (a partir del $4$) es la suma de dos números triangulares consecutivos.

• Escribe esa propiedad con una igualdad algebraica usando los términos generales $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ y $C_n = n^2$, y demuéstrala.

• Ilustra con un dibujo de puntos por qué es cierta la propiedad para $C_4 = 16$.

La conjetura de Collatz, propuesta en 1937 y aún sin demostrar, parte de cualquier número natural y aplica esta regla: si el número es par, se divide entre $2$; si es impar, se multiplica por $3$ y se suma $1$. La conjetura afirma que siempre se acaba llegando a $1$.

• Aplica la regla partiendo de $7$ y escribe la secuencia completa hasta llegar a $1$.

• Haz lo mismo partiendo de $11$.

• Comprueba la conjetura para tres números elegidos por ti, uno de ellos mayor que $50$. ¿Crees que comprobar muchos casos demuestra que la conjetura es cierta? Comenta tu respuesta.