Exercicis: Patrons i regularitats

Observa les seqüències numèriques següents i escriu els dos termes següents de cadascuna, explicant la regla que segueixen:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

Una manualitat consisteix a construir triangles en cadena amb escuradents, com es mostra a la figura.

• Quants escuradents es necessiten per construir la figura 4?

• I per a la figura 5?

La successió $a_n$ té per terme general $a_n = 4n - 1$. Calcula els termes $a_1$, $a_5$ i $a_{20}$.

Una successió comença a $7$ i cada terme s'obté sumant $6$ a l'anterior. Escriu els seus cinc primers termes i calcula el terme que ocupa el lloc $10$.

Observa la seqüència de figures formades per punts de la imatge.

• Quants punts tindrà la figura 4? I la figura 5?

• Quina relació hi ha entre el número de la figura i la quantitat de punts?

La successió de Fibonacci comença així: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada terme s'obté sumant els dos anteriors. Escriu els quatre termes següents.

Martina comença el curs amb $10\ \text{€}$ a la seva guardiola i, a partir d'aleshores, guarda $3\ \text{€}$ cada setmana.

• Escriu la seqüència dels diners acumulats al final de cadascuna de les primeres cinc setmanes.

• Quants diners tindrà al final de la setmana $12$?

Observa la seqüència $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escriu els tres termes següents.

• Quin és el terme que ocupa el lloc $25$? És positiu o negatiu?

Lucía observa un patró de torres construïdes amb blocs quadrats: la torre 1 té 5 blocs, la torre 2 té 8 blocs i la torre 3 té 11 blocs. En adonar-se que a cada pas s'afegeixen 3 blocs, afirma: «Com que se sumen 3 blocs en cada etapa i la primera en té 5, el terme general que dóna el total de blocs de la torre $n$ és $a_n = 3 \cdot n + 5$».

1. a) Calcula els valors que proporciona la fórmula de Lucía per a $n = 1$, $n = 2$ i $n = 3$, i comprova'ls amb els blocs reals de cada torre.
2. b) Localitza l'error de raonament que comet Lucía en relacionar la part fixa del patró amb la part que va augmentant a cada pas.
3. c) Dedueix l'expressió correcta del terme general $a_n$ a partir de la descomposició estructural de la figura (identificant quants blocs fixos hi ha i quants se n'afegeixen segons el número de pas) i comprova que coincideix amb els tres casos coneguts.

Un principi clau a l'hora d'estudiar regularitats és que uns pocs termes inicials no determinen una única successió.

1. a) Escriu els quatre primers termes de la successió el terme general de la qual és $a_n = 2^n$.
2. b) Dissenya el terme general o el criteri de formació d'una altra successió diferent, $b_n$, que compleixi exactament les dues condicions següents: que comparteixi amb $a_n$ els tres primers valors ($b_1 = 2$, $b_2 = 4$ i $b_3 = 8$), però que el seu quart terme sigui estrictament diferent ($b_4 \neq 16$).
3. c) Recolzant-te en aquest exemple, raona per què comprovar que una fórmula funciona per a $n = 1$, $n = 2$ i $n = 3$ no serveix com a demostració matemàtica que sigui vàlida per a tot $n \in \mathbb{N}$.

Una empresa de construcció empila blocs formant escales, com es mostra a la figura.

• Compta els blocs de les figures 1, 2 i 3 i calcula quants blocs tindrà la figura 4.

• Quants blocs tindrà la figura 10?

• Escriu una expressió general per al nombre de blocs de la figura $n$. (Pista: uneix cada escala amb la seva simètrica per formar un rectangle.)

Considera la successió $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Troba el seu terme general $a_n$.

• Comprova si $157$ és un terme de la successió i, en cas afirmatiu, indica quin lloc ocupa.

• Pertany $200$ a la successió? Raona la resposta.

La figura mostra com es pot construir un quadrat de $4 \times 4$ punts afegint capes en forma de «L».

1. a) Escriu la suma que representa la figura a partir del nombre de punts de cada capa i comprova el resultat.
2. b) Formula una conjectura: quant sumen els $n$ primers nombres senars?
3. c) Comprova la teva conjectura per a $n = 6$.

L'amfiteatre d'un institut té $12$ seients a la primera fila, i cada fila posterior té $3$ seients més que l'anterior.

• Escriu el nombre de seients de les quatre primeres files.

• Troba el terme general $a_n$ que dona els seients de la fila $n$.

• Si l'amfiteatre té $15$ files, quants seients té l'última fila?

Una successió es defineix per recurrència així: $a_1 = 2$ i $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcula els cinc primers termes.

• Compara cada terme amb les potències de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) i descriu el patró que observes.

• A la vista del patró, quin serà el valor de $a_{10}$?

Observa la successió $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Calcula les diferències entre termes consecutius. Quin patró segueixen aquestes diferències?

• Compara els termes amb els quadrats perfectes i troba el terme general $a_n$.

• Calcula $a_{15}$.

En un torneig de pàdel del barri, cada parella juga una vegada contra cadascuna de les altres.

• Completa una taula amb el nombre de partits del torneig si hi participen $2,\ 3,\ 4$ i $5$ parelles.

• Troba una expressió general per al nombre de partits amb $n$ parelles. (Pista: cada parella juga contra $n - 1$ rivals, però així cada partit es compta dues vegades.)

• Quants partits es juguen si hi participen $12$ parelles?

Un alumne afirma que el terme general de la successió $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ és $a_n = 2n$. Indica si l'afirmació és vertadera o falsa, raona la teva resposta i escriu el terme general correcte.

En un passeig marítim s'instal·len bancs continus acoblant mòduls hexagonals regulars de formigó en línia recta. Si es col·loca un únic mòdul hexagonal aïllat, els seus 6 costats exteriors queden lliures per asseure-s'hi. Si s'uneixen dos mòduls en filera, comparteixen un costat comú interior (que queda inutilitzat), deixant 10 costats lliures en total. Si s'uneixen tres mòduls en fila, queden 14 costats lliures per asseure-s'hi.

1. a) Sense utilitzar fórmules encara, fes una estimació intuïtiva i justificada: si s'uneixen 25 mòduls hexagonals seguits, el nombre total de costats lliures estarà més proper a 80, a 100 o a 150? Explica en què et bases per descartar els altres valors.
2. b) Modela la situació deduint el terme general $L_n$ que determina el nombre de costats lliures en funció del nombre $n$ de mòduls units, separant algebraicament els costats que aporten els extrems dels que aporta cada mòdul intermedi.
3. c) Calcula el valor exacte de $L_{25}$, compara'l amb la teva estimació prèvia i valora si el resultat numèric confirma que el teu raonament inicial era encertat.

El servei municipal de préstec de bicicletes elèctriques d'una ciutat amplia les seves instal·lacions al llarg d'una avinguda. La primera estació que es col·loca compta amb 14 ancoratges de recàrrega. Per respondre a l'increment previst d'usuaris cap a la perifèria, el pla de mobilitat dicta que cada nova estació tingui 4 ancoratges més que l'estació anterior immediata (és a dir, l'estació 2 té 18 ancoratges, la 3 en té 22, etc.).

1. a) Defineix mitjançant una fórmula per recurrència el nombre d'ancoratges $a_n$ de l'estació $n$, indicant explícitament el terme inicial $a_1$ i la relació que permet obtenir $a_n$ a partir d'$a_{n-1}$.
2. b) Dedueix el terme general explícit $a_n$ que permet calcular directament quants ancoratges tindrà qualsevol estació $n$ sense necessitat de calcular totes les estacions intermèdies.
3. c) L'ajuntament rep una partida pressupostària tancada amb exactament 70 ancoratges per dotar una única estació de l'avinguda. Planteja l'equació corresponent amb el terme general i resol per comprovar si existirà alguna estació que utilitzi exactament aquests 70 ancoratges o si sobrarà material; interpreta el resultat en el context del problema.

El menjador d'un campament uneix taules quadrades en fila per asseure els participants, com es mostra a la figura.

• Quantes persones s'hi poden asseure si s'uneixen $4$ taules?

• Troba el terme general que dona el nombre de comensals amb $n$ taules.

• Per al sopar de cloenda hi assisteixen $42$ persones. Quantes taules s'han d'unir, com a mínim, perquè hi capiguin tots?

Dos companys discuteixen sobre el terme general de la successió que comença $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana diu que és $a_n = 2^n$.

• Bruno diu que pot ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Comprova que totes dues expressions generen els tres primers termes.

• Calcula el quart terme segons cadascuna de les dues expressions. Coincideixen?

• Extreu conclusions: els tres primers termes d'una successió determinen el seu terme general de manera única?

Observa la successió de fraccions $\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots$

• Troba el seu terme general $a_n$.

• Calcula $a_{10}$ i $a_{100}$ amb tres xifres decimals.

• Els termes creixen cada vegada més, però pot ser que algun terme arribi a ser més gran que $1$? Raona la resposta observant l'expressió del terme general.

Zenó d'Elea (segle V a. C.) es preguntava per les sumes infinites. Imagina un quadrat de costat $1$ del qual es sombreja la meitat; després, la meitat de la part que queda; després, la meitat del que queda, i així successivament.

• Escriu la fracció del quadrat que s'ha sombrejat després de cadascun dels quatre primers passos.

• Troba el terme general $s_n$ de la fracció sombrejada després de $n$ passos. (Pista: observa que a cada pas falta per sombrejar $\frac{1}{2^n}$ del quadrat.)

• Si el procés continués indefinidament, a quin valor s'acostaria la superfície sombrejada?

En el seu llibre Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conegut com a Fibonacci, va plantejar aquest problema: una parella de conills nounada triga un mes a fer-se adulta; a partir d'aleshores, cada mes té una nova parella de cries, que a la vegada segueixen la mateixa regla. Cap conill no mor.

• Partint d'una única parella nounada, completa una taula amb el nombre de parelles al final de cadascun dels sis primers mesos.

• Escriu la llei de recurrència que segueix la successió.

• Quantes parelles hi haurà al cap de $10$ mesos?

El triangle de Tartaglia (o de Pascal) es construeix col·locant uns a les vores i omplint cada casella interior amb la suma de les dues que té a sobre:

• Suma els nombres de cadascuna de les cinc files i escriu la seqüència d'aquestes sumes.

• Troba el terme general d'aquesta seqüència.

• Quant sumen els nombres de la fila $12$?

Els nombres triangulars són $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (punts que formen un triangle) i els quadrats són $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Comprova amb els quatre primers casos que cada nombre quadrat (a partir del $4$) és la suma de dos nombres triangulars consecutius.

• Escriu aquesta propietat amb una igualtat algebraica utilitzant els termes generals $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ i $C_n = n^2$, i demostra-la.

• Il·lustra amb un dibuix de punts per què és certa la propietat per a $C_4 = 16$.

La conjectura de Collatz, proposada el 1937 i encara sense demostrar, parteix de qualsevol nombre natural i aplica aquesta regla: si el nombre és parell, es divideix entre $2$; si és senar, es multiplica per $3$ i es suma $1$. La conjectura afirma que sempre s'acaba arribant a $1$.

• Aplica la regla partint de $7$ i escriu la seqüència completa fins a arribar a $1$.

• Fes el mateix partint de $11$.

• Comprova la conjectura per a tres nombres triats per tu, un d'ells més gran que $50$. Creus que comprovar molts casos demostra que la conjectura és certa? Comenta la teva resposta.

Per a l'enllumenat decoratiu d'un auditori es dissenya un panell triangular de bombetes: la primera fila té 1 bombeta, la segona fila té 2 bombetes, la tercera té 3 bombetes, i així successivament fins a la fila $n$, que conté $n$ bombetes. Es vol calcular la quantitat total de bombetes, $T_n$, que componen una estructura triangular de $n$ files.

Dos tècnics proposen mètodes diferents per resoldre l'encàrrec:

• Marcos suggereix una relació per recurrència: prendre $T_1 = 1$ i $T_n = T_{n-1} + n$, calculant fila per fila de forma acumulativa.

• Elena proposa un mètode geomètric: duplicar mentalment la figura amb un altre triangle idèntic i invertit per formar entre tots dos un rectangle de dimensions $n \times (n+1)$ bombetes, calculant $T_n$ com la meitat del total d'aquest rectangle.

1. a) Desenvolupa algebraicament la proposta d'Elena per obtenir l'expressió explícita de $T_n$ en funció de $n$.
2. b) Aplica tots dos mètodes per calcular quantes bombetes es necessiten en un panell de $n = 60$ files i comprova si tots dos condueixen al mateix resultat.
3. c) Compara críticament les dues alternatives: si l'ajuntament disposa d'un lot de 1830 bombetes i et demana esbrinar quantes files exactes tindrà el panell que es pot construir, quin dels dos mètodes és més eficaç i directe per respondre? Justifica també en quin escenari de disseny o programació pas a pas el plantejament de Marcos resultaria més pràctic que el d'Elena.

Una empresa de telecomunicacions desplega una xarxa de repetidors en un parc tecnològic. Per garantir la seguretat de l'enllaç davant possibles avaries, cada repetidor s'ha de connectar amb tots els altres mitjançant un canal directe de fibra òptica independent.

• Amb 2 repetidors cal 1 canal directe.

• Amb 3 repetidors calen 3 canals directes.

• Amb 4 repetidors calen 6 canals directes.

• Amb 5 repetidors calen 10 canals directes.

Un instal·lador observa aquestes quatre dades i afirma: «Com que la pauta funciona per a 2, 3, 4 i 5 repetidors, conjecturo que la fórmula per a $n$ repetidors és $C_n = \dfrac{n^2 - n}{2}$, però no puc estar segur de si fallarà quan tinguem 30 repetidors».

1. a) Demostra algebraicament que la conjectura és certa per a qualsevol nombre natural $n \ge 2$: raona quants canals parteixen de cadascun dels $n$ repetidors i justifica amb claredat per què és imprescindible dividir entre 2 la multiplicació obtinguda.
2. b) A partir de la teva demostració, explica la diferència entre una comprovació numèrica de casos particulars i una demostració algebraica rigorosa d'un patró per a tot $n$.
3. c) Si el pressupost tècnic assignat només permet finançar com a màxim 136 canals de fibra òptica, planteja una equació de segon grau i calcula el nombre màxim de repetidors que poden quedar completament interconnectats entre si sense sobrepassar el límit econòmic.