Exercicis: Estudiar una funció

A partir d'una funció la gràfica de la qual està formada per dos trams continus:

• El primer tram va des del punt $(-3, 2)$ (inclòs) fins al punt $(1, 4)$ (no inclòs), i té un màxim relatiu a $(-1, 5)$.

• El segon tram va des del punt $(1, -1)$ (inclòs) fins al punt $(8, 3)$ (inclòs), i té un mínim relatiu a $(4, -2)$.

Determina el seu domini i el seu recorregut.

Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció $f(x) = 2x^2 - 3x$ en l'interval $[-1, 2]$.

Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.

Determina analíticament si la funció $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ és simètrica parell, simètrica senar o no té simetria.

A partir de la gràfica següent, indica els intervals de monotonia (creixement i decreixement) i les coordenades dels seus extrems relatius.

Calcula el domini de definició de la funció irracional $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Estudia la continuïtat de la funció següent definida a trossos al punt $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Identifica les equacions de l'asímptota vertical i l'asímptota horitzontal de la funció $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.

Marcos ha d'estudiar els punts de tall amb els eixos de la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. En el seu examen escriu el procediment següent:

«1. Tall amb l'eix $Y$: calculo $f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2$, per tant la gràfica talla en el punt $(0, 2)$.

1. Talls amb l'eix $X$: resolc $f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ i $x = -2$. Per tant, la gràfica talla l'eix $X$ en dos punts: $(2, 0)$ i $(-2, 0)$».

1. a) Localitza l'error conceptual comès per Marcos: quin pas fonamental del guió d'estudi d'una funció ha omès abans de buscar els talls i per què aquest oblit invalida una de les seves conclusions?
2. b) Determina el domini real de la funció $f(x)$ i escriu la llista corregida dels punts de tall que realment existeixen.
3. c) A partir de l'anterior, raona si en el punt $x = 2$ hi ha una asímptota vertical o si la funció presenta un altre comportament, simplificant la fórmula per a $x \neq 2$.

Considera la funció racional $f(x) = \frac{6x - 2}{2x + 1}$.

1. a) Abans de fer cap càlcul precís, fes una estimació: quan els valors de $x$ es fan extremadament grans (per exemple, $x$ proper a un milió), els termes independents ($-2$ i $+1$) amb prou feines influeixen en el resultat. Tenint això en compte, a quin valor numèric simple creus que s'aproximaran les imatges $f(x)$? Quina recta sospites que serà l'asímptota horitzontal?
2. b) Comprova numèricament si la teva estimació era encertada calculant amb exactitud els valors de $f(10)$, $f(100)$ i $f(1\,000)$ (arrodoneix amb tres xifres decimals si cal).
3. c) A partir de les teves comprovacions, dedueix l'equació de l'asímptota horitzontal tant quan $x \to +\infty$ com quan $x \to -\infty$, i explica quina informació visual aporta aquesta asímptota sobre el traçat de la corba als extrems del paper.

La gràfica que mostra l'evolució del nombre d'espectadors setmanals (en milers) d'una pel·lícula d'estrena al llarg del temps (en setmanes) parteix del punt $(0, 10)$, creix fins a $(5, 80)$, es manté constant entre la setmana $5$ i la $7$, decreix fins a $(10, 30)$ i es manté constant entre la setmana $10$ i la $12$, on finalitza a $(12, 30)$. Estudia el domini i el recorregut en el context del problema, i indica en quins intervals l'audiència creix, decreix o es manté constant.

Troba el domini de definició de la funció racional $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Estudia la simetria de la funció $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ i calcula els seus punts de tall amb els eixos de coordenades.

La posició d'un objecte en moviment rectilini ve donada per la funció $e(t) = 5t^2 + 2t$, on $e$ és l'espai en metres i $t$ el temps en segons. Calcula la velocitat mitjana (taxa de variació mitjana) en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$, i indica en quin interval l'objecte es va moure més ràpid.

Expressa la funció amb valor absolut $f(x) = |2x - 4|$ com una funció definida a trossos i determina els seus intervals de creixement i decreixement.

La variació del nivell d'un embassament $v$ (en metres respecte del seu nivell mitjà) en funció del mes $x$ de l'any ve donada per la funció $v(x) = -0,5x^2 + 10x - 18$. Determina en quin mes el nivell de l'embassament està més alt, a quant ascendeix aquesta diferència màxima respecte del nivell mitjà i en quins mesos l'embassament està exactament al nivell mitjà ($v = 0$).

Determina les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

Descriu el comportament de la funció $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analitzant el seu domini, els seus punts de tall amb els eixos, la seva simetria i les seves asímptotes horitzontals i verticals.

A partir dels registres d'una estació de l'AEMET situada a la meseta castellana durant un dia clar de tardor, la temperatura $T$ (en graus Celsius, ºC) al llarg de les $24$ hores del dia ve modelitzada per la funció quadràtica:

$T(t) = -0,05 \cdot (t - 15)^2 + 14$, on $t$ és el temps transcorregut en hores des de la mitjanit ($0 \leq t \leq 24$).

1. a) Justifica quin és el domini de definició d'aquesta funció atenent al context físic del problema.
2. b) Sense necessitat de derivar, a partir de l'estructura del vèrtex de la paràbola, identifica raonadament l'interval d'hores en què la temperatura puja, l'interval en què baixa i les coordenades completes $(t, T)$ de l'extrem relatiu (màxim diari).
3. c) Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la temperatura en el tram del matí comprès entre les $t = 7$ hores i les $t = 11$ hores. Interpreta el significat real del signe i de les unitats de la magnitud obtinguda.
4. d) Planteja i resol l'equació necessària per esbrinar si en algun moment de la jornada es van assolir els $0$ ºC (punts de tall amb l'eix horitzontal de les hores).

Per estudiar si la funció racional $g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}$ presenta algun tipus de simetria (parella, imparella o cap), tres estudiants proposen camins diferents:

• Alba proposa comprovar-ho mitjançant valors numèrics: calcular parells d'imatges oposades com $g(1)$ i $g(-1)$, $g(2)$ i $g(-2)$, $g(4)$ i $g(-4)$, i comprovar si coincideixen o canvien de signe.

• Bruno proposa aplicar la definició algebraica formal: substituir $x$ per $-x$, calcular l'expressió de $g(-x)$, simplificar-la i comparar-la directament amb $g(x)$ i amb $-g(x)$.

• Carlos proposa descompondre la funció: analitzar per separat que el numerador és una funció imparella i el denominador és una funció parella, i deduir la simetria global aplicant una regla de signes anàloga a la multiplicació i divisió de nombres.

1. a) Analitza amb sentit crític els tres mètodes: quin o quins constitueixen una demostració matemàtica vàlida per a tots els nombres del domini i quin només serveix com a indici o comprovació experimental?
2. b) Aplica el mètode algebraic de Bruno per demostrar amb rigor quina simetria té $g(x)$.
3. c) Explica detalladament de quina manera el resultat de la simetria et permet estalviar la meitat de la feina en estudiar les asímptotes verticals i el signe de la funció en el seu domini.

Donada la funció següent definida a trossos, estudia el seu domini, la seva continuïtat, els seus punts de tall amb els eixos i els seus intervals de monotonia:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

En un triangle isòsceles de base $12$ cm i altura $10$ cm, s'inscriu un rectangle la base $x$ del qual descansa sobre la base del triangle, com mostra la figura. Expressa l'àrea del rectangle en funció de la seva base $x$ i determina el domini d'aquesta funció en el context geomètric del problema.

La funció racional $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ passa pel punt $(0, 1)$, té una asímptota vertical a la recta $x = 2$ i una asímptota horitzontal a la recta $y = 3$. Planteja un sistema d'equacions i troba els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

La concentració d'un determinat fàrmac en la sang d'un pacient, en mg/L, després de $t$ hores des de la seva administració ve donada pel model $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calcula la taxa de variació mitjana en la primera hora (interval $[0, 1]$) i interpreta el resultat. A més, raona matemàticament quina és la tendència de la concentració del fàrmac a llarg termini (quan $t \to \infty$).

Esboça al teu quadern la gràfica d'una funció $f(x)$ que compleixi simultàniament totes les condicions següents:

• El seu domini és $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• És una funció amb simetria senar.

• Té asímptotes verticals a $x = -2$ i $x = 2$, i una asímptota horitzontal a $y = 0$.

• Presenta un màxim relatiu al punt $(-4, 1)$ i un mínim relatiu a $(4, -1)$.

• Passa per l'origen de coordenades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 4x$, obtén l'expressió analítica com a funció a trossos de $g(x) = |x^2 - 4x|$. Representa mentalment la situació i determina els intervals de concavitat i convexitat de $g(x)$.

Un projectil és llançat cap amunt i segueix una trajectòria descrita per la funció $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, on $h$ és l'altura en metres i $t$ el temps en segons des del llançament. Determina el domini de la funció restringit a la durada real del vol (fins que impacta contra el terra), l'altura des de la qual va ser llançat, l'altura màxima que assoleix i el temps total de vol.

Demostra analíticament si la funció $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ és simètrica parell, senar o cap de les dues. A continuació, calcula els seus punts de tall amb els eixos i determina les equacions de les seves asímptotes verticals i horitzontals.

Troba l'expressió analítica d'una funció racional de la forma $f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x - c}$, on $a$, $b$ i $c$ són nombres reals que has de determinar, sabent que compleix simultàniament les tres condicions següents:

1. La seva gràfica presenta una asímptota vertical a la recta $x = 3$.

2. Talla l'eix d'abscisses ($X$) en el punt $(-2, 0)$.

3. Quan els valors de la variable independent creixen sense límit ($x \to +\infty$), les imatges s'aproximen a la recta horitzontal d'equació $y = 4$.

1. a) Dedueix pas a pas i de manera justificada el valor dels coeficients $a$, $b$ i $c$. Comprova que el numerador de la funció resultant no s'anul·la en $x = 3$.
2. b) Troba el punt de tall de la gràfica amb l'eix d'ordenades ($Y$).
3. c) Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció en els intervals $[4, 5]$ i $[5, 8]$. En vista d'aquests resultats i de l'asímptota vertical trobada, raona si és possible que la funció tingui algun màxim o mínim relatiu a l'interval $(3, +\infty)$ o si la seva monotonia hi és constant.

Una cooperativa agrària a Espanya adquireix una nova envasadora mitjançant lloguer comercial. La màquina genera uns costos fixos mensuals de $1\,200$ € (assegurança i quota) i un cost variable de $25$ € per cada tona de fruita processada. La funció que expressa el cost mitjà unitari per tona (en euros per tona) en processar $x$ tones en un mes és:

$\bar{C}(x) = \frac{1\,200 + 25x}{x}$

1. a) Determina el domini de definició de $\bar{C}(x)$ en el marc real del problema i explica per què no tenen sentit operatiu els valors $x \leq 0$.
2. b) Analitza la tendència i l'asímptota vertical de la funció quan la producció es fa molt propera a zero per la dreta ($x \to 0^+$). Quina interpretació econòmica té que el valor de $\bar{C}(x)$ creixi cap a $+\infty$ quan es processa una quantitat minúscula de fruita?
3. c) Calcula analíticament l'asímptota horitzontal de la funció quan $x \to +\infty$. Raona si la cooperativa podrà alguna vegada reduir el seu cost mitjà per sota de $25$ € per tona augmentant indefinidament el volum de producció.
4. d) Demostra que la funció és estrictament decreixent en tot el seu domini provant que $TVM[a, b] = -\frac{1\,200}{ab} < 0$ per a qualssevol $0 < a < b$; després, avalua la TVM en dos intervals d'igual longitud però diferent escala de producció (per exemple, $[10, 30]$ i $[100, 120]$) i interpreta quina conclusió pràctica ha d'extreure la gerència de la cooperativa sobre l'amortització de costos fixos.