Exercicis: Mitjana i variància

Donada la llista següent de dades numèriques: $4, 6, 8, 10, 12$. Calcula la mitjana aritmètica i la variància de la distribució.

Les notes obtingudes per cinc alumnes en un examen de matemàtiques són $5, 7, 6, 8$ i $9$. Calcula la nota mitjana i la desviació típica.

En una setmana, les temperatures màximes registrades de dilluns a dijous van ser $20$ ºC, $22$ ºC, $x$ ºC i $24$ ºC. Sabent que la temperatura mitjana d'aquests quatre dies va ser de $22$ ºC, troba el valor desconegut de $x$.

El següent diagrama de barres mostra el nombre de germans que tenen els alumnes d'una classe. A partir del gràfic, calcula la mitjana de germans per alumne.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi estadístic amb $N = 10$ dades, se sap que la suma de totes les dades és $\sum x_i = 50$ i la suma dels seus quadrats és $\sum x_i^2 = 300$. Calcula la variància de la distribució.

Un grup d'atletes té un pes mitjà de $70$ kg amb una desviació típica de $7$ kg. Un altre grup de gimnastes té un pes mitjà de $50$ kg amb una desviació típica de $6$ kg. Calcula el coeficient de variació de tots dos grups i indica quin dels dos té un pes més dispers en termes relatius.

S'ha preguntat a un grup de persones pel nombre de vegades que van al cinema al mes. Els resultats mostren que $3$ persones hi van $1$ vegada, $5$ persones hi van $2$ vegades i $2$ persones hi van $3$ vegades. Calcula la mitjana d'aquesta distribució.

La mitjana de les edats d'un grup de $15$ amics és actualment de $16$ anys. Quina serà la mitjana de les seves edats d'aquí a $4$ anys? Justifica la teva resposta aplicant les propietats de la mitjana aritmètica.

En un examen de 4t d'ESO qualificat sobre $10$ punts, la mitjana del grup ha estat $\bar{x} = 5,4$ i la desviació típica $\sigma = 1,6$. El professor decideix transformar les notes a una escala sobre $100$ i sumar a tothom $5$ punts addicionals per treball cooperatiu, aplicant la fórmula $y_i = 10 \cdot x_i + 5$ a la nota $x_i$ de cada estudiant. En assabentar-se'n, la Lucía calcula: «Aleshores la nova mitjana serà $\bar{y} = 10 \cdot 5,4 + 5 = 59$ punts, i la nova desviació típica serà $\sigma_y = 10 \cdot 1,6 + 5 = 21$ punts». Identifica l'error conceptual que ha comès la Lucía en el càlcul de la dispersió, explica de manera raonada per què el terme $+5$ no altera la separació de les dades respecte a la seva mitjana, i calcula els valors correctes de la nova mitjana $\bar{y}$, la nova desviació típica $\sigma_y$ i la nova variància $\sigma_y^2$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) ha registrat les següents temperatures mínimes (en $^{\circ}\text{C}$) durant cinc dies consecutius d'hivern a Soria: $-3$, $-1$, $0$, $2$ i $7$.

1. a) Abans de fer càlculs per escrit, fes una estimació raonada: indica entre quins dos valors enters intueixes que estarà la mitjana aritmètica i raona si consideres que la desviació típica serà menor que $1^{\circ}\text{C}$, estarà entre $2^{\circ}\text{C}$ i $5^{\circ}\text{C}$, o serà major que $8^{\circ}\text{C}$, fixant-te en el rang i dispersió aparent de les dades.
2. b) Calcula ara el valor exacte de la mitjana $\bar{x}$ i de la variància $\sigma^2$, i obtén la desviació típica $\sigma$ arrodonida a les dècimes.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada i explica quina informació pràctica aporta el valor de $\sigma$ sobre la variabilitat tèrmica d'aquests dies en comparació amb conèixer únicament la mitjana.

S'ha realitzat una enquesta a $40$ famílies sobre el nombre de mascotes que tenen a casa, i s'han obtingut els resultats següents: $10$ famílies no tenen mascotes, $15$ famílies tenen $1$ mascota, $10$ famílies tenen $2$ mascotes, i $5$ famílies tenen $3$ mascotes. Organitza les dades en una taula i calcula la mitjana, la variància i la desviació típica.

El temps (en minuts) que triguen $50$ estudiants a arribar a l'institut des de casa seva s'agrupa en la taula de freqüències següent:

• $[0, 10)$: $10$ estudiants

• $[10, 20)$: $25$ estudiants

• $[20, 30)$: $15$ estudiants

Calcula el temps mitjà que triguen a arribar a l'institut i la desviació típica de la distribució.

Per comparar la dispersió de dues variables diferents en un mateix grup de persones, es va mesurar el pes i l'alçada. El pes mitjà és de $65$ kg amb una desviació típica de $5$ kg. L'alçada mitjana és de $170$ cm amb una desviació típica de $10$ cm. Quina variable presenta una dispersió relativa més gran? Justifica la teva resposta.

Els salaris mensuals dels treballadors d'una empresa petita tenen una mitjana de $1200$ € i una desviació típica de $150$ €. Per a l'any vinent, la direcció decideix aplicar un augment del $10\%$ a tots els sous i, a més, afegir un plus fix de $50$ €. Calcula la nova mitjana i la nova desviació típica dels salaris.

En un institut de secundària, la classe de 4t A té $20$ alumnes amb una nota mitjana en Matemàtiques de $6$. La classe de 4t B té $30$ alumnes amb una nota mitjana de $7$. Si calculem la nota de tots els alumnes de totes dues classes en conjunt, quina serà la nota mitjana global?

El següent histograma mostra el temps en minuts que dediquen al dia diversos joves a llegir. A partir del gràfic, extreu la taula de freqüències (utilitzant les marques de classe) i calcula el temps mitjà de lectura.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un test ràpid de $3$ preguntes, s'ha registrat el nombre d'encerts d'un grup de persones. Se sap que $4$ persones van tenir $0$ encerts, $x$ persones van tenir $1$ encert, $5$ persones van tenir $2$ encerts i $1$ persona va tenir $3$ encerts. Si la mitjana d'encerts del grup és de $1,2$, determina quantes persones van tenir exactament $1$ encert.

Un professor va calcular que la nota mitjana dels seus $20$ alumnes en un examen era de $6,5$. Tanmateix, en revisar les correccions, es va adonar que va anotar per error un $3$ a un alumne que en realitat havia tret un $8$. Calcula quina és la nota mitjana correcta sense necessitat de tornar a sumar totes les notes individualment.

En una fàbrica de components de precisió a Navarra, un operari mesura la longitud (en mil·límetres) de cinc peces metàl·liques extretes de la cadena de muntatge i obté: $501$, $498$, $500$, $503$ i $498$.

Per calcular la variància de la mostra, disposa de dues estratègies:

• Mètode A: Aplicar directament la fórmula abreujada amb les dades brutes: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.

• Mètode B: Definir una variable traslladada $y_i = x_i - 500$, calcular la variància de $y_i$ i aplicar les propietats de la trasl·lació de dades.

Compara tots dos mètodes argumentant quin resulta més avantatjós si es vol calcular a mà sense calculadora, evitant operar amb nombres elevats i reduint el risc d'errors d'arrodoniment. A continuació, aplica el mètode que has defensat per calcular raonadament la mitjana $\bar{x}$, la variància $\sigma^2$ i la desviació típica $\sigma$ de la longitud de les peces.

En una enquesta de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre hàbits esportius, s'analitza el nombre d'hores setmanals dedicades a entrenar per quatre persones d'un mateix grup. Dues indiquen haver entrenat exactament $8$ i $12$ hores. Es desconeix el temps de les altres dues persones ($a$ i $b$), però l'informe publica que la mitjana del grup és $\bar{x} = 10\text{ hores}$ i la seva variància és $\sigma^2 = 10\text{ hores}^2$.

1. a) A partir de la propietat de la mitjana aritmètica, escriu una equació que relacioni $a$ i $b$, i aïlla una de les incògnites en funció de l'altra.
2. b) Utilitzant la fórmula de la variància a partir de les desviacions al quadrat, $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{N}$, planteja una equació i determina els valors exactes d'$a$ i $b$ (assumint $a \ge b$). Justifica raonadament per què no hauria estat possible determinar aquests valors disposant únicament de la dada de la mitjana.

En un estudi sobre el consum d'aigua diari (en litres) d'una certa població, les dades s'agrupen en tres intervals: $[0, 10)$, $[10, 20)$ i $[20, 30)$. Se sap que les freqüències absolutes dels dos primers intervals són $5$ i $f$ respectivament, i la del tercer interval és $3$. Si el consum mitjà aproximat és de $13,75$ litres, planteja una equació i troba la freqüència $f$ desconeguda.

Donades les dades $x_1, x_2, \dots, x_N$, demostra algebraicament que la suma de les seves desviacions respecte a la mitjana aritmètica sempre és igual a zero. És a dir, demostra pas a pas que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.

Un grup de $10$ nois té una alçada mitjana de $160$ cm i una variància de $20$ cm$^2$. Un grup de $10$ noies té una alçada mitjana de $150$ cm i una variància de $15$ cm$^2$. Calcula la variància conjunta dels $20$ estudiants. (Pista: calcula primer la mitjana global i després la suma dels quadrats total emprant les fórmules de la variància de cada grup).

La mitjana aritmètica de dos nombres positius desconeguts és $5$ i la seva variància és $4$. Planteja un sistema d'equacions utilitzant les fórmules de la mitjana i la variància, i determina quins són aquests dos nombres.

Les qualificacions obtingudes per tres estudiants en un treball són proporcionals al seu esforç i venen dades per les expressions $a$, $2a$ i $3a$ (on $a > 0$). Sabent que la desviació típica d'aquestes tres notes és exactament $\sqrt{\frac{2}{3}}$, calcula el valor del paràmetre $a$ i la mitjana de les qualificacions.

La temperatura màxima diària en una ciutat durant un mes té una mitjana de $25$ ºC i una desviació típica de $2$ ºC. Si convertim aquestes temperatures a graus Fahrenheit mitjançant la fórmula $F = 1,8 \cdot C + 32$, calcula el coeficient de variació en graus Fahrenheit i compara'l numèricament amb el coeficient de variació original en graus Celsius. Canvia la dispersió relativa en canviar d'escala?

En una empresa petita de $5$ treballadors, $4$ cobren exactament $1000$ € al mes, mentre que el gerent cobra $6000$ €. Calcula la mitjana i la desviació típica dels $5$ sous. A la vista dels resultats numèrics obtinguts, explica raonadament si la mitjana aritmètica és una mesura representativa per a aquest conjunt de dades.

El següent diagrama de sectors representa els resultats d'una enquesta realitzada a $40$ persones sobre el nombre de vegades que fan esport a la setmana (variable $x_i$). Sabent que el cercle complet són $360^\circ$ i observant l'amplitud de cada sector, dedueix les freqüències absolutes de cada valor i calcula la variància de la distribució.

A les proves de diagnòstic de 4t d'ESO hi participen dues aules d'un institut. El grup 4t A compta amb $N_A = 20$ alumnes, una nota mitjana de $\bar{x}_A = 7$ i una variància de $\sigma_A^2 = 2$. El grup 4t B compta amb $N_B = 30$ alumnes, una nota mitjana de $\bar{x}_B = 5$ i una variància de $\sigma_B^2 = 3$.

1. a) Calcula la mitjana conjunta ponderada $\bar{x}$ dels $50$ alumnes.
2. b) Un docent planteja que la variància total dels $50$ alumnes és simplement la mitjana ponderada de les dues variàncies: $\frac{20 \cdot 2 + 30 \cdot 3}{50} = 2,6$. Raona per què aquest plantejament és fals conceptualment, explicant quina font addicional de dispersió apareix quan les mitjanes d'ambdós grups no coincideixen.
3. c) Reconstrueix la suma dels quadrats de les notes ($\sum x_i^2$) de cada grup mitjançant la relació $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$, calcula la variància conjunta real $\sigma^2$ de l'institut i la seva desviació típica (amb dos decimals), i comprova analíticament si el valor obtingut és més gran o més petit que els $2,6$ proposats pel docent.

Un informe de l'INE sobre el nombre anual de viatges d'oci realitzats per $10$ famílies d'una comarca dona una mitjana de $\bar{x} = 4\text{ viatges}$ i una desviació típica de $\sigma = 2\text{ viatges}$. Amb posterioritat a la publicació, s'incorpora al registre una onzena família que no havia estat comptabilitzada.

1. a) Suposa primer que aquesta 11a família va realitzar exactament $4$ viatges (coincidint amb la mitjana del grup). Sense fer càlculs numèrics complets, argumenta si la nova desviació típica augmentarà, disminuirà o es mantindrà igual a $2$. A continuació, demostra-ho numèricament recuperant la suma de quadrats original $\sum x_i^2$ i calculant la nova variància.
2. b) Considera ara un cas alternatiu en què aquesta 11a família hagués realitzat $10$ viatges. Reconstrueix analíticament la nova mitjana $\bar{x}_{nou}$ i la nova variància $\sigma_{nou}^2$ per al conjunt de les $11$ famílies.
3. c) Compara l'increment relatiu que experimenta la mitjana enfront del que pateix la variància en aquest segon cas i raona matemàticament per què la presència d'una dada atípica allunyada del centre desestabilitza molt més les mesures de dispersió quadràtica que la mitjana.