Exercicis: Introducció

Per conèixer les preferències musicals dels estudiants d'un institut de $850$ alumnes, el professor de música ha preguntat als $30$ alumnes de la seva classe de 4t d'ESO. Identifica la població, la mostra, la mida de la mostra i els individus d'aquest estudi estadístic.

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues:

• El color dels ulls dels pacients d'un oftalmòleg.

• El nombre de llibres llegits en un any pels socis d'una biblioteca.

• La temperatura màxima diària registrada en una ciutat durant el mes d'agost.

• La marca de telèfon mòbil que utilitzen els professors d'una escola.

Indica en quins dels casos següents és més convenient estudiar la població sencera i en quins cal seleccionar una mostra. Raona breument la teva resposta.

• Comprovar l'estat dels frens de tots els cotxes que fabrica una marca abans de vendre'ls.

• Estudiar la durada mitjana de les bombetes que produeix una fàbrica (tenint en compte que per comprovar-ho s'han de deixar enceses fins que es fonguin).

• Conèixer l'edat dels $25$ alumnes d'una classe.

• Conèixer el nivell de colesterol dels habitants d'un país.

En un aparcament d'un centre comercial hi ha $450$ vehicles. Un empleat anota el tipus de vehicle (turisme, motocicleta, furgoneta, totterreny) de $50$ d'aquests triats a l'atzar. Identifica la variable estadística que s'està estudiant i digues de quin tipus és.

Una empresa de missatgeria lliura $5\,000$ paquets al dia. Per avaluar el temps mitjà de lliurament, el supervisor selecciona aleatòriament $100$ paquets i anota els minuts que triguen a arribar a la seva destinació. Determina la mida de la població i la mida de la mostra.

Classifica les variables quantitatives següents en discretes o contínues:

• El nombre de gols marcats per un equip de futbol a cada partit de lliga.

• El temps que triguen els corredors a completar una marató.

• La quantitat d'aigua, en litres, que consumeix una família al mes.

• El nombre de passatgers que viatgen en un avió.

Imagina que es fa un estudi estadístic sobre els ordinadors portàtils que tenen els estudiants de la teva ciutat. Escriu un exemple de variable qualitativa, un de variable quantitativa discreta i un de variable quantitativa contínua que es puguin investigar en aquest estudi.

Es vol fer un estudi sobre el grau de satisfacció dels clients d'una pizzeria. Per a això, l'encarregat decideix enquestar únicament les persones que demanen pizza amb pinya. Creus que la mostra triada és representativa de tots els clients? Justifica la teva resposta.

En una investigació sobre hàbits de vida saludable en un institut, en Lucas recull quatre dades de cada estudiant: el seu codi postal, el número que porta a la samarreta de l'equip de futbol sala, el temps en minuts que triga a arribar a classe i la valoració del menú de la cafeteria («insuficient», «acceptable», «bo» o «excel·lent»). En classificar les variables, en Lucas afirma al seu quadern: «El codi postal i el dorsal són nombres, així que totes dues són variables quantitatives discretes; a més, el menú és qualitativa nominal perquè no es pot mesurar amb un aparell». Localitza els dos errors conceptuals comesos per en Lucas, explica detalladament per què el seu raonament és erroni recolzant-te en la definició de cada tipus de variable i classifica de manera correcta les quatre variables analitzades.

L'equip directiu d'un centre educatiu amb $720$ alumnes matriculats desitja dur a terme dues investigacions estadístiques diferents: en primer lloc, conèixer el grau de satisfacció dels $45$ alumnes que utilitzen diàriament el servei de transport escolar respecte a la puntualitat de l'autobús; en segon lloc, conèixer el nombre mitjà d'hores setmanals que dediquen a les pantalles d'oci els estudiants de tot l'institut. Per a aquest segon estudi, una professora proposa situar un enquestador a la porta de la biblioteca a les 8:00 del matí i preguntar als $60$ primers estudiants que hi entrin. Per a cadascun dels dos casos, determina justificadament si és més convenient realitzar un cens o seleccionar una mostra. A més, analitza críticament la proposta de la professora per al segon estudi explicant quin tipus de biaix introdueix i per què aquesta mostra no seria representativa.

En un hospital es recullen les dades següents dels pacients ingressats a urgències: grup sanguini, nombre de pulsacions per minut, temperatura corporal en graus Celsius i nombre de vegades que han visitat urgències l'últim any. Classifica cadascuna d'aquestes quatre variables estadístiques i justifica per què la temperatura corporal i el nombre de pulsacions pertanyen a mecategories diferents.

En una empresa tecnològica treballen $300$ programadors i $200$ dissenyadors gràfics. El departament de recursos humans vol fer una enquesta sobre el clima laboral seleccionant una mostra de $50$ empleats mitjançant un mostratge aleatori estratificat proporcional. Quants programadors i quants dissenyadors han de formar part de la mostra?

Un programa de televisió d'àmbit nacional llança una enquesta a través del seu compte de Twitter preguntant: "Creus que s'hauria de prohibir l'ús de xarxes socials a menors de 16 anys?". Hi responen $15\,000$ persones. Identifica quina és la població objectiu del programa i explica detalladament per què els resultats d'aquesta mostra poden estar biaixats i no ser representatius.

A l'hora d'omplir un formulari, es demana als ciutadans que introdueixin el seu número de Document Nacional d'Identitat (DNI) i el codi postal del seu municipi. Encara que totes dues dades estan formades per xifres numèriques, des del punt de vista de l'estadística no es consideren variables quantitatives. Explica de quin tipus de variables es tracta i per què no té sentit calcular la mitjana aritmètica dels codis postals.

El director d'un institut té una llista alfabètica amb els $600$ alumnes matriculats. Vol seleccionar una mostra de $30$ alumnes mitjançant un mostratge aleatori sistemàtic.

• Calcula el coeficient d'elevació (el salt entre un individu i el següent).

• Si el primer alumne triat a l'atzar és el que ocupa la posició número $12$ a la llista, indica quines posicions ocuparan els tres alumnes següents seleccionats per a la mostra.

L'ajuntament de la teva localitat vol estudiar els hàbits de lectura dels ciutadans. Dissenya un pla d'estudi estadístic indicant:

• Quina seria la població.

• Un mètode adequat per triar una mostra representativa de $200$ persones, evitant enquestar només les persones que surten de la biblioteca municipal.

• Dues variables estadístiques qualitatives i dues variables quantitatives que incluries al qüestionari.

Els diners que una persona porta al moneder es mesuren en euros i cèntims (per exemple, $12,50\text{ \euro}$). Debat si aquesta variable estadística s'ha de considerar quantitativa discreta o quantitativa contínua. Aporta arguments a favor de totes dues classificacions i conclou quina és la més rigorosa des del punt de vista matemàtic.

En una ciutat de $120\,000$ habitants es fa una enquesta telefònica a $600$ persones.

• Quin percentatge de la població total ha estat enquestat?

• Es sap que a la ciutat el $15\,\%$ dels habitants són joves d'entre $18$ i $25$ anys. Perquè la mostra de $600$ persones sigui representativa pel que fa a l'edat, quants joves d'aquesta franja d'edat haurien d'estar inclosos en la mostra?

Un club d'atletisme compta amb $1\,500$ esportistes federats distribuïts en tres categories segons la seva edat: Infantil ($600$ atletes), Cadet ($525$ atletes) i Juvenil ($375$ atletes). La directiva desitja seleccionar una mostra representativa de $120$ esportistes mitjançant mostratge estratificat amb afixació proporcional per consultar-los sobre els nous horaris de les pistes d'entrenament. Sense realitzar encara els càlculs exactes, estima de manera aproximada quin percentatge del total de la mostra hauria de correspondre a la categoria Infantil i raona entre quines dues desenes senceres s'hauria de situar el nombre d'atletes infantils seleccionats. A continuació, calcula amb precisió matemàtica quants atletes s'han de triar de cadascun dels tres estrats. Finalment, comprova si el valor exacte de la categoria Infantil encaixa amb la teva estimació prèvia i verifica numèricament que la suma dels tres grups coincideix amb la mida total exigida per a la mostra.

En una empresa de desenvolupament de programari amb $500$ treballadors repartits en tres seus (Madrid, Barcelona i València) s'ha dut a terme un mostratge estratificat amb afixació proporcional per a una enquesta de clima laboral, seleccionant una mostra total de $80$ persones. En revisar l'arxiu de l'estudi, s'han esborrat les dades del cens original de cada seu, però es conserven les mides回收ades: en la mostra hi van participar $44$ treballadors de Madrid i $24$ de Barcelona. Determina quants treballadors de València van formar part de la mostra i reconstrueix el nombre total d'empleats ($N_i$) que té l'empresa a cadascuna de les tres seus justificant matemàticament cada pas. Finalment, si en lloc del mostratge estratificat s'hagués decidit aplicar un mostratge sistemàtic sobre la llista completa dels $500$ empleats per obtenir els $80$ enquestats, calcula el salt $k = N/n$, interpreta per què aquest quocient no és un nombre enter i reflexiona sobre quina dificultat pràctica planteja això a l'investigador.

Un municipi està dividit en tres districtes: el districte Nord té $4\,500$ habitants, el districte Sud té $2\,700$ habitants i el districte Est té $1\,800$ habitants. L'ajuntament necessita seleccionar una mostra de $200$ persones aplicant un mostratge estratificat amb afixació proporcional. Calcula pas a pas quants enquestats s'han d'extreure de cadascun dels tres districtes perquè la mostra sigui representativa.

Un diari publica el titular següent: "El $80\,\%$ dels accidents de trànsit es produeixen a menys de $20\text{ km}$ del domicili del conductor. Per tant, conduir a prop de casa és molt més perillós que fer viatges llargs". Analitza críticament aquesta afirmació des del punt de vista estadístic. Identifica l'error en la interpretació de les dades i explica quina informació addicional sobre la població de conductors faria falta per treure una conclusió vàlida.

En una sala de cinema hi ha $1\,200$ butaques numerades de l'$1$ al $1\,200$. El gerent vol enquestar $40$ espectadors.

• Explica com seleccionaries la mostra utilitzant un mostratge sistemàtic. Si el primer seient triat és el $17$, quin serà l'últim seient de la mostra?

• Si les butaques es divideixen en Platea ($800$ butaques) i Amfiteatre ($400$ butaques), explica com faries la selecció mitjançant un mostratge estratificat proporcional.

En un estudi de salut es mesura el pes (en $\text{kg}$) i l'alçària (en $\text{m}$) dels individus. A partir d'aquestes dades, es calcula l'Índex de Massa Corporal (IMC) mitjançant la fórmula $\text{IMC} = \frac{\text{Pes}}{\text{Alçària}^2}$. Posteriorment, es classifica els pacients en tres categories: "Pes baix" (IMC $< 18,5$), "Pes normal" (IMC entre $18,5$ i $24,9$) i "Sobrepes" (IMC $\geq 25$). Identifica i classifica el tipus de variable estadística en cadascuna de les fases de l'estudi: el pes, l'alçària, el valor numèric de l'IMC i la categoria final assignada al pacient.

En un institut de $800$ alumnes, el $60\,\%$ són noies. A més, es sap que el $25\,\%$ del total d'alumnes del centre cursa 4t d'ESO. Es vol seleccionar una mostra representativa de $40$ alumnes utilitzant un mostratge estratificat que tingui en compte simultàniament el sexe i el curs. Suposant que la proporció de noies a 4t d'ESO és la mateixa que a la resta de l'institut, calcula quantes noies que cursen 4t d me'ESO han d'estar incloses en la mostra.

Durant un conflicte bélic, els enginyers militars van analitzar els avions bombarders que tornaven a la base amb impactes de foc enemic. Van observar que la majoria dels impactes eren a les ales i al fuselatge, per la qual cosa van proposar reforçar el blindatge en aquestes zones. Un estadístic es va oposar a aquesta decisió argumentant un greu biaix en la mostra. Identifica quina era la població total d'avions, quina era la mostra analitzada i explica estadísticament per què la conclusió dels enginyers era errònia (el que es coneix com a "biaix de supervivència").

L'ajuntament d'una gran ciutat està avaluant la construcció d'un nou carril bici que eliminaria places d'aparcament per a cotxes. Proposa tres mètodes de disseny de mostra o recollida de dades que donarien resultats intencionadament biaixats: un que afavoreixi el "Sí" al carril bici, un altre que afavoreixi el "No", i explica per què es produeix el biaix en cada cas. Finalment, proposa un mètode rigorós per obtenir una mostra verdaderament representativa de l'opinió de la ciutat.

Dues empreses d'enquestes volen predir el resultat d'unes eleccions nacionals. L'empresa A posa una enquesta a la pàgina principal d'un conegut diari esportiu d'internet i aconsegueix $50\,000$ respostes voluntàries. L'empresa B realitza trucades telefòniques a $1\,500$ persones seleccionades mitjançant un mostratge aleatori estratificat segons edat, sexe i província del cens electoral. Argumenta detalladament, basant-te en els conceptes de població, mostra, mida i representativitat, quina de les dues enquestes proporcionarà una predicció més fiable tot i la diferència enorme en la mida mostral.

Una mancomunitat de municipis de $18\,000$ habitants en edat laboral encarrega un estudi sobre l'impacte del teletreball a la comarca. La població activa es distribueix en tres sectors econòmics: Serveis ($10\,800$ persones), Indústria ($5\,400$ persones) i Agricultura ($1\,800$ persones). L'equip tècnic disposa de recursos per enquestar $n = 600$ persones i rumia dues propostes metodològiques: la Proposta 1 consisteix a aplicar un mostratge estratificat amb afixació proporcional per sector laboral a partir del registre del padró; la Proposta 2 consisteix a difondre un qüestionari obert a xarxes socials locals i portals de notícies de la comarca fins a registrar les primeres $600$ respostes rebudes. Modela matemàticament la mostra de la Proposta 1 calculant quants treballadors s'han de seleccionar de cada sector i demostra que la proporció mostral de cada estrat coincideix amb el seu pes real en la població. Posteriorment, avalua la Proposta 2 identificant com a mínim dos biaixos de selecció greus en funció dels sectors laborals analitzats i argumenta per què, en estadística, una mostra àmplia no corregeix les deficiències d'un disseny mostral esbiaixat.

En una planta de distribució logística s'inspeccionen palets de $N = 1\,400$ paquets que avancen per una cinta automatitzada contínua. Les caixes es carreguen a la cinta en un ordre cíclic i repetitiu de $7$ tipus de producte: el 1r és fràgil, el 2n tèxtil, el 3r alimentació, el 4t electrònica, el 5è calçat, el 6è drogueria i el 7è papereria (i el 8è torna a ser fràgil, repetint-se sempre la mateixa seqüència). L'inspector de qualitat ha d'extreure una mostra de $n = 50$ paquets d'un palet i valora dos mètodes: el Mètode A (mostratge sistemàtic amb salt $k = N/n$ i arrencada aleatòria $a$ entre $1$ i $k$) i el Mètode B (mostratge estratificat amb afixació proporcional considerant cada tipus de producte com un estrat). Calcula el salt $k$ del Mètode A i determina els nombres de posició dels quatre primers paquets que es revisarien si l'arrencada aleatòria resultant fos $a = 15$. Demostra quin tipus de mercaderia tindrien absolutament tots els paquets seleccionats amb aquesta arrencada en el Mètode A i explica quin fenomen periòdic arruïna la representativitat. Finalment, compara ambdós mètodes i justifica de manera concloent quin s'ha de triar per assegurar un control de qualitat rigorós.