Exercicis: Funció trigonomètrica: sinus, cosinus i tangent.

Determina l'amplitud i el període de la funció trigonomètrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Avalua la funció $g(x) = 2\cos(x) - 1$ en els valors $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ i $x = \frac{3\pi}{2}$.

Observa la gràfica següent i determina si correspon a la funció sinus o a la funció cosinus. Justifica la teva resposta indicant el punt de tall amb l'eix Y i el tipus de simetria que presenta.

Indica el domini i el recorregut de la funció trigonomètrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Classifica les funcions elementals $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ i $h(x) = \tan(x)$ segons el tipus de simetria que presenten (parell o senar).

Calcula el període exacte de la funció $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Troba tots els punts de tall amb l'eix d'abscisses (eix X) de la funció $y = \sin(x)$ en l'interval tancat $[0, 2\pi]$.

Descriu quina transformació geomètrica pateix la gràfica de la funció $f(x) = \cos(x)$ per convertir-se en la gràfica de $g(x) = \cos(x) - 3$. Quin és el nou recorregut de la funció $g(x)$?

En Marcos està analitzant a classe la funció trigonomètrica $f(x) = -3\cos(2x)$ i anota al seu quadern les conclusions següents:

1) «L'amplitud de la funció és $-3$, perquè és el coeficient que multiplica el cosinus».

2) «El període és $4\pi$, perquè com que la $x$ està multiplicada per $2$, l'ona triga el doble a completar-se: $2 \cdot 2\pi = 4\pi$».

3) «La funció és senar, perquè té un signe menys al davant i les funcions senars porten signe negatiu».

Identifica de manera raonada l'error conceptual que comet en Marcos en cadascuna de les tres afirmacions, explica què passa geomètricament a la gràfica en cada cas i escriu els valors correctes de l'amplitud, el període i el tipus de simetria (parella o senar) de la funció.

Troba l'expressió algebraica d'una funció de la forma $f(x) = A\cos(Bx) + D$, amb paràmetres positius $A > 0$ i $B > 0$, que compleixi simultàniament les condicions següents:

1. a) El seu eix central d'oscil·lació és la recta horitzontal $y = 5$.
2. b) El valor mínim que assoleix la gràfica és $y = 1$.
3. c) El seu període fonamental de repetició és $T = \pi\text{ rad}$.

Deduïx pas a pas el valor de cadascun dels paràmetres $A$, $B$ i $D$ raonant el seu significat a partir de les transformacions de la funció elemental $\cos x$, indica quin és el recorregut complet de la funció i calcula el seu valor màxim.

L'altura en metres a la qual es troba una de les cabines d'una nòria en funció del temps en minuts ve donada per l'expressió $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcula l'altura màxima i mínima que aconsegueix la nòria, i determina el temps exacte que triga a fer una volta completa.

El nivell de l'aigua en un port varia periòdicament a causa de les marees. La gràfica següent mostra l'altura de l'aigua en metres al llarg de $24\text{ hores}$. Determina l'amplitud, el període i l'altura mitjana de l'aigua. A partir d'aquestes dades, proposa una expressió trigonomètrica del tipus $h(t) = A\sin(Bt) + D$ que s'ajusti a la gràfica mostrada.

Una ona sonora pura emesa per un diapasó es modela mitjançant la funció $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$, on $P$ representa la variació de pressió en pascals i $t$ el temps transcorregut en segons. Determina l'amplitud de l'ona i la seva freqüència (el nombre de cicles complets que fa per segon).

El voltatge d'un corrent altern en una instal·lació domèstica europea es pot expressar mitjançant la funció $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, on $V$ és el voltatge en volts i $t$ el temps en segons. Calcula el voltatge màxim aconseguit i esbrina quantes vegades per segon el voltatge pren exactament el valor de $0\text{ volts}$.

Un pes penjat de l'extrem d'una molla oscil·la verticalment. La seva posició respecte al sostre ve donada per l'equació $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, mesurada en centímetres. Indica a quina distància del sostre es troba el pes en l'instant inicial ($t=0$), quina és la seva posició més baixa (distància més gran al sostre) i quin és el període d'oscil·lació de la molla.

El nombre d'hores de llum solar en una determinada ciutat al llarg de l'any es pot aproximar mitjançant la funció $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, on $d$ representa el dia de l'any ($d=1$ és el 1 de gener). Quantes hores de llum hi ha exactament el dia $d=80$? I el dia $d=262$ (mig any després)? Interpreta el significat de tots dos resultats.

Dibuixa un esborrany de la funció $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explica pas a pas com s'obté aquesta gràfica aplicant translacions i dilatacions a la gràfica original de la funció $f(x) = \sin(x)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina el domini de la funció $f(x) = \tan(2x)$ i escriu les equacions de les seves tres primeres asímptotes verticals positives.

Una boia oceanogràfica instal·lada davant del port de València registra el pas de l'onatge. La seva alçària $h(t)$ en metres respecte al fons marí ve donada per l'expressió $h(t) = 3 + 1,2\sin(4\pi t)$, on $t$ és el temps mesurat en segons.

1. a) Abans de fer càlculs algebraics detallats, fes una estimació raonada:

• Entre quins dos valors extrems d'alçària oscil·larà la boia?

• Quantes oscil·lacions completes (ones) estimes que completarà la boia en un sol segon?

• En quina fracció aproximada de segon assolirà per primera vegada la seva alçària màxima després de començar a comptar el temps en $t = 0$?

1. b) Calcula ara amb precisió matemàtica l'amplitud, el període fonamental $T$, el recorregut de la funció i l'instant exacte $t_1 > 0$ en què es produeix el primer màxim.
2. c) Comprova si les teves estimacions inicials coincideixen amb els resultats analítics i explica per què el primer màxim s'assoleix en $t = T/4$ i no en $t = T/2$.

Es vol modelitzar la variació del nivell de l'aigua $h(t)$ (en metres) per efecte de les marees a la ria de Bilbao en funció de les hores transcorregudes $t$ des de la mitjanit ($t = 0$). Els registres oceanogràfics indiquen que el nivell mitjà de l'aigua és de $3\text{ metres}$, l'oscil·lació màxima per sobre i per sota d'aquest nivell mitjà és d'$1,5\text{ metres}$, el cicle complet de marea dura $12\text{ hores}$ i, precisament a les $00:00$ ($t = 0$), es registra la baixamar absoluta (nivell mínim d'$1,5\text{ metres}$).

Per escriure la fórmula d'$h(t)$, dos estudiants suggereixen plantejaments diferents:

• Mètode 1 (Lucía): Utilitzar un cosinus invertit sense desfasament horitzontal: $h(t) = -A\cos(Bt) + D$.

• Mètode 2 (David): Utilitzar un sinus amb desfasament horitzontal: $h(t) = A\sin(B(t - C)) + D$.

1. a) Determina els paràmetres necessaris per escriure la funció $h(t)$ seguint el mètode de la Lucía i el mètode d'en David (amb $A > 0$ i $B > 0$).
2. b) Compara tots dos camins: justifica quin dels dos mètodes és més directe i convenient en aquest cas, explicant quina relació hi ha entre el punt de partida del fenomen en $t = 0$ i l'elecció de la funció base (sinus o cosinus).
3. c) Comprova algebraicament que totes dues expressions donen exactament el mateix nivell d'aigua a les $03:00$ de la matinada ($t = 3$).

El pèndol d'un rellotge de paret oscil·la d'un costat a l'altre. El seu desplaçament horitzontal en centímetres respecte al centre es modela amb la funció $x(t) = A \cos(Bt)$. Si es sap que el pèndol aconsegueix un desplaçament màxim de $12\text{ cm}$ i completa un cicle sencer d'anada i tornada cada $2\text{ segons}$, determina els valors exactes dels paràmetres $A$ i $B$. A més, calcula en quins instants exactes durant els primers $4\text{ segons}$ el pèndol passa just per la posició central d'equilibri.

La temperatura mitjana mensual d'una ciutat es modela amb una funció trigonomètrica. Observa la gràfica que representa la temperatura $T$ en graus Celsius en funció del mes $m$ (on $m=0$ equival a principis de gener, $m=1$ a principis de febrer, etc.). Determina els valors dels paràmetres $A, B, C$ i $D$ perquè la funció $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ representi fidelment aquesta corba.

Troba analíticament tots els punts d'intersecció (coordenades $x$ i $y$) de les gràfiques de les funcions $f(x) = \sin(x)$ i $g(x) = \cos(x)$ en l'interval tancat $[0, 2\pi]$. Justifica la teva resposta utilitzant les propietats de les funcions trigonomètriques.

Segons la teoria dels biorritmes, la capacitat física d'una persona segueix un cicle sinusoïdal de $23\text{ dies}$ i la capacitat emocional un cicle de $28\text{ dies}$. Si totes dues capacitats es modelen amb funcions sinus d'amplitud $1$ que parteixen de zero el dia del naixement ($t=0$), escriu les funcions $F(t)$ i $E(t)$. Quants dies exactes han de passar des del naixement perquè totes dues capacitats tornin a creuar el valor zero simultàniament, passant totes dues a tenir valors positius?

La població de conills en una reserva natural fluctua anualment segons el model $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, on $t$ representa el temps en mesos ($t=0$ és el 1 de gener). Planteja i resol la inequació trigonomètrica corresponent per determinar exactament durant quins mesos del primer any la població es manté estrictament per sobre dels $950\text{ conills}$.

El feix de llum d'un far giratori il·lumina un penya-segat recte i llarg. La distància $d$ (en metres) des del punt més proper del penya-segat fins al punt il·luminat en l'instant $t$ (en segons) ve donada per la funció $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina el domini d'aquesta funció en el context físic del problema (per al primer gir) i interpreta què passa amb el feix de llum quan $t$ s'acosta a $2\text{ segons}$.

Demostra mitjançant l'anàlisi de translacions horitzontals que la funció $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ és equivalent a la funció $g(x) = \cos(x)$. Utilitza els conceptes de desfasament, periodicitat i la forma de les seves gràfiques per justificar la teva resposta.

El volum d'aire present als pulmons d'una persona en repòs, mesurat en litres, es modela mitjançant la funció $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, on $t$ es mesura en segons. Calcula el volum màxim i mínim d'aire als pulmons. A partir del període de la funció, determina quantes respiracions completes (cicles complets d'inhalació i exhalació) fa aquesta persona en un minut exacte.

A partir dels registres històrics de l'AEMET per a una localitat de l'interior peninsular, la temperatura mitjana diària $T(t)$ al llarg d'un any de $365\text{ dies}$ es modelitza de manera precisa mitjançant una funció periòdica del tipus $T(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, on $t$ és el dia de l'any ($t = 1$ representa l'1 de gener). El dia amb la temperatura mitjana més baixa de l'any és el 15 de gener ($t = 15$) amb $5^\circ\text{C}$, i el dia amb la temperatura mitjana més alta té lloc exactament mig any després, el 16 de juliol ($t = 197,5$), assolint $27^\circ\text{C}$.

1. a) Deduïx i justifica els valors numèrics d'$A$, $D$ i el desfasament $C$ (amb $A > 0$), explicant amb claredat el significat físic o meteorològic de cadascun d'ells en el clima de la regió.
2. b) Determina en quins dos dies de l'any prediu el model que la temperatura mitjana diària és d'exactament $16^\circ\text{C}$ i interpreta per què aquests dies resulten pròxims als equinoccis de primavera i tardor.
3. c) Tenint en compte la forma i el pendent de la gràfica de la funció cosinus, raona en quines èpoques de l'any la variació diària de la temperatura (la rapidesa amb què puja o baixa dia rere dia) és màxima i en quines èpoques és pràcticament nul·la.

Construeix l'expressió algebraica d'una funció de la forma $f(x) = A\tan(B(x - C))$, amb $A > 0$ i $B > 0$, que compleixi simultàniament els requisits geomètrics següents:

1) Dues de les seves asímptotes verticals consecutives es troben exactament en les rectes $x = -\dfrac{\pi}{4}$ i $x = \dfrac{3\pi}{4}$.

2) La gràfica interseca l'eix horitzontal $OX$ en un punt situat entre totes dues asímptotes.

3) La gràfica passa pel punt $\left(\dfrac{\pi}{2}, 3\right)$.

1. a) A partir de la distància entre dues asímptotes verticals consecutives de la tangent, calcula i justifica el valor del període de la funció i deduïx el paràmetre $B$.
2. b) Troba el valor del desfasament horitzontal $C$ raonant la posició del punt mitjà entre totes dues asímptotes, i determina després el valor de l'escala vertical $A$ utilitzant el punt donat.
3. c) Tot i que la funció elemental $\tan x$ és una funció senar (compleix $\tan(-x) = -\tan x$), demostra analíticament que la funció $f(x)$ que has obtingut no és ni parella ni senar, explicant amb precisió quin efecte geomètric ha tingut la translació horitzontal $C$ sobre la simetria original respecte a l'origen de coordenades.

Repte del tema. Imagina que dissenyaràs una pèrgola bioclimàtica per al teu institut o terrassa, optimitzant ombra i cost elèctric.

1. Mesurament geomètric: Mesura al migdia la teva ombra i la d'un pal o fanal per deduir la seva alçària real mitjançant triangles semblants. A GeoGebra, esbossa l'estructura combinant rectes paral·leles als eixos ($x = 2,5$, $y = 0$), bigues paral·leles amb polinomis de primer grau ($y = 0,4x + 2$) i suports perpendiculars ($m_1 \cdot m_2 = -1$).

2. Tarifa i consum: Entra a REE (web d'esios) i descarrega els preus horaris de la llum d'ahir. Modela en un full de càlcul el cost elèctric mitjançant una funció definida a trossos que distingeixi els trams vall, pla i punta amb funcions lineals i constants.

3. Modelització ambiental: Investiga la radiació solar o l'amortització d'una placa solar de $1,2\text{ m}^2$. Ajusta les dades amb GeoGebra utilitzant funcions elementals: proporcionalitat inversa ($k/x$) per al rendiment segons els núvols, o bé models exponencials, logarítmics, potencials o radicals per estimar l'estalvi a llarg termini.

4. Proposta raonada: Redacta un informe breu amb les gràfiques obtingudes, les fórmules algebraiques i la teva proposta d'orientació i estalvi.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul amb triangles semblants i el traçat de rectes (paral·leles, perpendiculars i als eixos).

• Correcció algebraica de la funció a trossos i ajust de les funcions elementals (inversa, radical, exponencial o logarítmica) amb dades reals.

• Qualitat tècnica de l'informe i justificació matemàtica recolzada en GeoGebra o full de càlcul.