Función trigonométrica

Determina la amplitud y el periodo de la función trigonométrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Evalúa la función $g(x) = 2\cos(x) - 1$ en los valores $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ y $x = \frac{3\pi}{2}$.

Encuentra todos los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $y = \sin(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$.

Observa la siguiente gráfica y determina si corresponde a la función seno o a la función coseno. Justifica tu respuesta indicando el punto de corte con el eje Y y el tipo de simetría que presenta.

Clasifica las funciones elementales $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ y $h(x) = \tan(x)$ según el tipo de simetría que presentan (par o impar).

Calcula el periodo exacto de la función $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Determina el dominio de la función $f(x) = \tan(2x)$ y escribe las ecuaciones de sus tres primeras asíntotas verticales positivas.

Indica el dominio y el recorrido de la función trigonométrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Describe qué transformación geométrica sufre la gráfica de la función $f(x) = \cos(x)$ para convertirse en la gráfica de $g(x) = \cos(x) - 3$. ¿Cuál es el nuevo recorrido de la función $g(x)$?

La altura en metros a la que se encuentra una de las cabinas de una noria en función del tiempo en minutos viene dada por la expresión $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcula la altura máxima y mínima que alcanza la noria, y determina el tiempo exacto que tarda en dar una vuelta completa.

Un peso colgado del extremo de un muelle oscila verticalmente. Su posición respecto al techo viene dada por la ecuación $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, medida en centímetros. Indica a qué distancia del techo se encuentra el peso en el instante inicial ($t=0$), cuál es su posición más baja (mayor distancia al techo) y cuál es el periodo de oscilación del muelle.

Dibuja un boceto de la función $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explica paso a paso cómo se obtiene esta gráfica aplicando traslaciones y dilataciones a la gráfica original de la función $f(x) = \sin(x)$.

El nivel del agua en un puerto varía periódicamente debido a las mareas. La siguiente gráfica muestra la altura del agua en metros a lo largo de $24\text{ horas}$. Determina la amplitud, el periodo y la altura media del agua. A partir de estos datos, propón una expresión trigonométrica del tipo $h(t) = A\sin(Bt) + D$ que se ajuste a la gráfica mostrada.

Una onda sonora pura emitida por un diapasón se modela mediante la función $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$, donde $P$ representa la variación de presión en pascales y $t$ el tiempo transcurrido en segundos. Determina la amplitud de la onda y su frecuencia (el número de ciclos completos que realiza por segundo).

El voltaje de una corriente alterna en una instalación doméstica europea se puede expresar mediante la función $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, donde $V$ es el voltaje en voltios y $t$ el tiempo en segundos. Calcula el voltaje máximo alcanzado y averigua cuántas veces por segundo el voltaje toma exactamente el valor de $0\text{ voltios}$.

El número de horas de luz solar en una determinada ciudad a lo largo del año se puede aproximar mediante la función $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, donde $d$ representa el día del año ($d=1$ es el 1 de enero). ¿Cuántas horas de luz hay exactamente el día $d=80$? ¿Y el día $d=262$ (medio año después)? Interpreta el significado de ambos resultados.

El péndulo de un reloj de pared oscila de un lado a otro. Su desplazamiento horizontal en centímetros respecto al centro se modela con la función $x(t) = A \cos(Bt)$. Si se sabe que el péndulo alcanza un desplazamiento máximo de $12\text{ cm}$ y completa un ciclo entero de ida y vuelta cada $2\text{ segundos}$, determina los valores exactos de los parámetros $A$ y $B$. Además, calcula en qué instantes exactos durante los primeros $4\text{ segundos}$ el péndulo pasa justo por la posición central de equilibrio.

La temperatura media mensual de una ciudad se modela con una función trigonométrica. Observa la gráfica que representa la temperatura $T$ en grados Celsius en función del mes $m$ (donde $m=0$ equivale a principios de enero, $m=1$ a principios de febrero, etc.). Determina los valores de los parámetros $A, B, C$ y $D$ para que la función $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ represente fielmente esta curva.

Según la teoría de los biorritmos, la capacidad física de una persona sigue un ciclo sinusoidal de $23\text{ días}$ y la capacidad emocional un ciclo de $28\text{ días}$. Si ambas capacidades se modelan con funciones seno de amplitud $1$ que parten de cero el día del nacimiento ($t=0$), escribe las funciones $F(t)$ y $E(t)$. ¿Cuántos días exactos deben pasar desde el nacimiento para que ambas capacidades vuelvan a cruzar el valor cero simultáneamente, pasando ambas a tener valores positivos?

La población de conejos en una reserva natural fluctúa anualmente según el modelo $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, donde $t$ representa el tiempo en meses ($t=0$ es el 1 de enero). Plantea y resuelve la inecuación trigonométrica correspondiente para determinar exactamente durante qué meses del primer año la población se mantiene estrictamente por encima de los $950\text{ conejos}$.

El haz de luz de un faro giratorio ilumina un acantilado recto y largo. La distancia $d$ (en metros) desde el punto más cercano del acantilado hasta el punto iluminado en el instante $t$ (en segundos) viene dada por la función $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina el dominio de esta función en el contexto físico del problema (para el primer giro) e interpreta qué sucede con el haz de luz cuando $t$ se acerca a $2\text{ segundos}$.

Demuestra mediante el análisis de traslaciones horizontales que la función $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ es equivalente a la función $g(x) = \cos(x)$. Utiliza los conceptos de desfase, periodicidad y la forma de sus gráficas para justificar tu respuesta.

El volumen de aire presente en los pulmones de una persona en reposo, medido en litros, se modela mediante la función $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, donde $t$ se mide en segundos. Calcula el volumen máximo y mínimo de aire en los pulmones. A partir del periodo de la función, determina cuántas respiraciones completas (ciclos completos de inhalación y exhalación) realiza esta persona en un minuto exacto.