Funciones potenciales
El área de un círculo es $A(r) = \pi r^2$, el volumen de un cubo es $V(a) = a^3$ y la intensidad de la luz decrece como $I(d) = k\cdot d^{-2}$. En los tres casos, la variable está en la base y el exponente es fijo: son funciones potenciales. Según si ese exponente es positivo, negativo o fraccionario, la gráfica cambia radicalmente de forma.
Qué es una función potencial
Identifica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función potencial: $f(x) = 3x^2$ $g(x) = 2^x$ $h(x) = \frac{5}{x^3}$ $i(x) = x^{1/2}$
Identifica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función potencial:
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$f(x) = 3x^2$
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$g(x) = 2^x$
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$h(x) = \frac{5}{x^3}$
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$i(x) = x^{1/2}$
Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real positivo su raíz cúbica, expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario.
Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real positivo su raíz cúbica, expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario.
Calcular imágenes y hallar el coeficiente
Para hallar $f(a)$, se sustituye $x=a$ y se calcula la potencia. Si se conoce un punto de la gráfica, se puede despejar el coeficiente $a$ de $f(x)=a\cdot x^n$.
Dada la función potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de sus imágenes para $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Dada la función potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de sus imágenes para $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Halla el valor del coeficiente $k$ de la función potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(2, 40)$.
Halla el valor del coeficiente $k$ de la función potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(2, 40)$.
Sabiendo que la gráfica de una función potencial de la forma $f(x) = x^n$ pasa por el punto $(3, 81)$, averigua el valor del exponente $n$.
Sabiendo que la gráfica de una función potencial de la forma $f(x) = x^n$ pasa por el punto $(3, 81)$, averigua el valor del exponente $n$.
Exponente negativo: dos asíntotas
Indica el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función potencial $f(x) = x^{-2}$.
Indica el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función potencial $f(x) = x^{-2}$.
Dada la función $f(x) = -3x^{-3}$, determina su dominio de definición, su recorrido y estudia analíticamente si presenta algún tipo de simetría (par o impar).
Dada la función $f(x) = -3x^{-3}$, determina su dominio de definición, su recorrido y estudia analíticamente si presenta algún tipo de simetría (par o impar).
Exponente fraccionario: la curva que empieza en el origen
Un exponente fraccionario $x^{p/q}$ equivale a una raíz: $x^{1/2}=\sqrt{x}$, $x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}$. Si el denominador $q$ es par, el dominio queda limitado a $x\geq0$.
Indica cuál es el dominio de definición y determina el tipo de simetría (par, impar o ninguna) de la función potencial $f(x) = x^6$.
Indica cuál es el dominio de definición y determina el tipo de simetría (par, impar o ninguna) de la función potencial $f(x) = x^6$.
Dada la función potencial con exponente fraccionario $f(x) = x^{2/3}$: Determina su dominio de definición. Calcula los valores exactos de $f(8)$ y $f(-8)$. Razona…
Dada la función potencial con exponente fraccionario $f(x) = x^{2/3}$:
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Determina su dominio de definición.
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Calcula los valores exactos de $f(8)$ y $f(-8)$.
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Razona analíticamente si la función es par, impar o ninguna de las dos.
Funciones potenciales en la ciencia
Muchas leyes físicas y biológicas tienen forma potencial: el área en función del radio, la energía cinética en función de la velocidad, la tercera ley de Kepler.
Expresa mediante una función potencial el área $A$ de un círculo en función de su radio $r$. ¿Cuál es el grado de esta función potencial?
Expresa mediante una función potencial el área $A$ de un círculo en función de su radio $r$. ¿Cuál es el grado de esta función potencial?
La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masa de un vehículo es de $1200$ kg, expresa su energía…
La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masa de un vehículo es de $1200$ kg, expresa su energía cinética como una función potencial dependiente de su velocidad $v$ (en m/s) y calcula la energía que posee cuando circula a $20$ m/s.
El volumen de una esfera en función de su radio se calcula mediante la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Despeja el radio $r$ para expresarlo como una función…
El volumen de una esfera en función de su radio se calcula mediante la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Despeja el radio $r$ para expresarlo como una función potencial dependiente del volumen $V$. Utiliza esta nueva función para calcular el radio aproximado de una esfera que tiene un volumen de $1000$ cm$^3$ (toma $\pi \approx 3,14$).
La tasa metabólica basal $T$ (en kcal/día) de los mamíferos se modeliza en función de su masa corporal $M$ (en kg) mediante la función potencial de Kleiber:…
La tasa metabólica basal $T$ (en kcal/día) de los mamíferos se modeliza en función de su masa corporal $M$ (en kg) mediante la función potencial de Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcula la tasa metabólica basal de un perro de $16$ kg. A continuación, averigua la masa aproximada de un animal cuya tasa metabólica es de $7000$ kcal/día.
La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital $T$ de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol $R$, es decir,…
La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital $T$ de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol $R$, es decir, $T^2 = k \cdot R^3$. Si para la Tierra se cumple que $T = 1$ año y $R = 1$ UA (Unidad Astronómica), expresa el período $T$ como una función potencial dependiente de $R$. Utiliza esta función para calcular el período orbital de Júpiter, sabiendo que su distancia media al Sol es de $5,2$ UA.