Potencias de números racionales

Calcula el valor numérico de las siguientes potencias. Recuerda que debes elevar tanto el numerador como el denominador al exponente indicado. Expresa el resultado como una fracción irreducible.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

Tenemos una baldosa cuadrada pequeña para un mosaico. El lado de la baldosa mide $\frac{2}{5}$ de metro. Calcula el área que ocupa esta baldosa expresando el resultado como una fracción.

Ayúdate del siguiente esquema visual:

A veces confundimos el tamaño de las fracciones cuando las elevamos a una potencia. Observa el siguiente gráfico que representa la unidad, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ y $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Basándote en la lógica anterior, ordena las siguientes potencias de menor a mayor:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

En matemáticas, a veces necesitamos cambiar el signo del exponente para poder operar. Transforma las siguientes potencias para que tengan exponente positivo, invirtiendo la base cuando sea necesario. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia transformada.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Calcula el valor de las siguientes potencias transformándolas primero en potencias de exponente positivo. Recuerda que el resultado debe ser una fracción irreducible.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Determina el signo (positivo o negativo) del resultado de las siguientes potencias sin necesidad de realizar el cálculo completo. Razona tu respuesta basándote en si la base es negativa y si el exponente es par o impar.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones. Debes dejar el resultado expresado como una única potencia (no hace falta calcular el valor final).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones y escribe el resultado como una única potencia de base racional. No hace falta que calcules el valor final, solo la potencia simplificada.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Tenemos una pelota de goma especial. Cada vez que rebota contra el suelo, alcanza una altura que es $\frac{2}{3}$ de la altura anterior.

Si dejamos caer la pelota desde una altura de 2 metros:

1. a) Expresa mediante una potencia la altura que alcanza tras el cuarto rebote.
2. b) ¿Es esa altura mayor o menor que 0,3 metros? Justifica tu respuesta usando el cálculo de la potencia.