Exercicis: Funcions potencials

Identifica quines de les expressions algebraiques següents corresponen a una funció potencial:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Dada la funció potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de les seves imatges per a $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.

Indica quin és el domini de definició i determina el tipus de simetria (parell, senar o cap) de la funció potencial $f(x) = x^6$.

Troba el valor del coeficient $k$ de la funció potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabent que la seva gràfica passa pel punt de coordenades $(2, 40)$.

Expressa mitjançant una funció potencial l'àrea $A$ d'un cercle en funció del seu radi $r$. Quin és el grau d'aquesta funció potencial?

Indica el domini de definició i les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció potencial $f(x) = x^{-2}$.

Escriu l'expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre real positiu la seva arrel cúbica, expressant-la en forma de potència amb exponent fraccionari.

Sabent que la gràfica d'una funció potencial de la forma $f(x) = x^n$ passa pel punt $(3, 81)$, esbrina el valor de l'exponent $n$.

La Lucía està analitzant les propietats de dues funcions potencials, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ i $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, i escriu a la seva llibreta:\n1. «Com que $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, la gràfica de $f$ talla l'eix $Y$ a l'origen $(0, 0)$».\n2. «Per a la funció $g$, com que l'arrel quarta de $16$ és $2$, si introduïm un valor negatiu s'obté $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, per la qual cosa el seu domini comprèn tots els nombres reals».\nIdentifica raonadament l'error conceptual comès en cadascuna de les dues afirmacions, explica per què el seu càlcul és incorrecte i indica quin és el domini real correcte de cadascuna d'aquestes funcions.

Escriu l'expressió algebraica d'una funció potencial de la forma $f(x) = a \cdot x^n$ que compleixi simultàniament les condicions següents:\na) El seu exponent $n$ és un nombre enter negatiu i la seva gràfica és simètrica respecte a l'eix $Y$ (funció parella, on $f(-x) = f(x)$).\nb) Té una asímptota vertical a $x = 0$ i una asímptota horitzontal a $y = 0$.\nc) La seva gràfica passa pel punt $P(2; 0,75)$.\nJustifica l'elecció del valor de $n$ més senzill possible que verifiqui les condicions i calcula amb detall el valor del coeficient $a$, expressant-lo en forma de fracció irreductible o nombre decimal.

La intensitat de la llum $I$ que rep un objecte és inversament proporcional al quadrat de la distància $d$ al foc lluminós, la qual cosa es modelitza mitjançant la funció potencial $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Si a una distància de $2$ metres la intensitat és de $100$ lux, troba l'expressió completa de la funció i calcula la intensitat que rebrà l'objecte a $5$ metres de distància.

Determina analíticament els punts de tall entre les gràfiques de les funcions potencials $f(x) = x^2$ i $g(x) = x^4$.

L'energia cinètica d'un cos en moviment ve donada per la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la massa d'un vehicle és de $1200$ kg, expressa la seva energia cinètica com una funció potencial dependent de la seva velocitat $v$ (en m/s) i calcula l'energia que té quan circula a $20$ m/s.

Observa la gràfica següent que mostra dues funcions potencials al primer quadrant.

Sabent que les expressions analítiques corresponen a $y = x^2$ i $y = x^3$, identifica quina és $f(x)$ i quina és $g(x)$. A partir de la gràfica i de les expressions, determina en quin interval estrictament positiu la funció cúbica pren valors menors que la quadràtica.

El radi $r$ (en cm) d'una taca circular d'oli que s'estén per l'aigua creix amb el temps $t$ (en minuts) segons la funció potencial $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Calcula el radi de la taca als $0,25$ minuts i esbrina quant de temps ha de passar perquè el radi de la taca sigui exactament de $4$ cm.

Una funció potencial ve donada per l'expressió $f(x) = a \cdot x^n$. Troba els valors exactes del coeficient $a$ i de l'exponent $n$ sabent que la gràfica passa pels punts $(1, 5)$ i $(2, 40)$.

Dada la funció $f(x) = -3x^{-3}$, determina el seu domini de definició, el seu recorregut i estudia analíticament si presenta cap tipus de simetria (parell o senar).

El volum d'una esfera en funció del seu radi es calcula mitjançant la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Aïlla el radi $r$ per expressar-lo com una funció potencial dependent del volum $V$. Utilitza aquesta nova funció per calcular el radi aproximat d'una esfera que té un volum de $1000$ cm$^3$ (pren $\pi \approx 3,14$).

En un parc eòlic d'Aragó, la potència elèctrica $P$ (en quilowatts, kW) produïda per un aerogenerador es modelitza mitjançant la funció potencial $P(v) = k \cdot v^3$, on $v$ representa la velocitat del vent (en m/s). Les dades de telemetria indiquen que amb una velocitat de vent de $5\text{ m/s}$, la potència generada és de $50\text{ kW}$.\na) Abans de fer cap càlcul algebraic, fes una estimació raonada: si la velocitat del vent es duplica fins als $10\text{ m/s}$, la potència es duplicarà ($100\text{ kW}$), es quadruplicarà ($200\text{ kW}$) o augmentarà encara més? Justifica la teva conjectura a partir de les propietats de l'exponent cúbic.\nb) Troba el valor exacte de la constant $k$ a partir de la dada inicial.\nc) Calcula analíticament la potència $P(10)$ i comprova si la teva estimació era correcta calculant la raó exacta entre $P(10)$ i $P(5)$.

Una funció potencial de la forma $f(x) = a \cdot x^n$ passa pels punts $A(2, 6)$ i $B(6, 54)$. Per determinar els valors exactes dels paràmetres $a$ i $n$, dos companys de classe plantegen camins diferents:\n- Mètode d'en Javier (Quotient directe): Planteja el sistema $\begin{cases} 6 = a \cdot 2^n \\ 54 = a \cdot 6^n \end{cases}$, divideix la segona equació entre la primera per cancel·lar el coeficient $a$ i agrupa les potències amb la mateixa base: $\frac{54}{6} = \left(\frac{6}{2}\right)^n \implies 9 = 3^n$.\n- Mètode de l'Elena (Linealització logarítmica): Pren logaritmes decimals a banda i banda de cada equació per transformar el sistema en un de lineal de dues equacions amb dues incògnites, $\log(a)$ i $n$, resolent-lo a continuació per reducció.\na) Completa els passos del mètode d'en Javier i calcula els valors de $n$ i de $a$.\nb) Compara tots dos procediments i justifica quin dels dos és més eficient en aquest cas particular.\nc) Explica quina característica haurien de tenir les coordenades dels punts perquè el mètode d'en Javier no es pogués resoldre de manera immediata a simple vista i estigués justificat recórrer al mètode de l'Elena.

La taxa metabòlica basal $T$ (en kcal/dia) dels mamífers es modelitza en funció de la seva massa corporal $M$ (en kg) mitjançant la funció potencial de Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcula la taxa metabòlica basal d'un gos de $16$ kg. A continuació, esbrina la massa aproximada d'un animal la taxa metabòlica del qual sigui de $7000$ kcal/dia.

El gràfic següent mostra tres funcions potencials les expressions de les quals són $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ i $y = x^{1/2}$.

Associa cada corba (A, B i C) amb la seva expressió analítica corresponent, justificant la teva resposta basant-te en el domini, la paritat i el comportament asimptòtic de cadascuna.

Determina analíticament els punts d'intersecció entre la funció cúbica $f(x) = 8x^3$ i la funció de proporcionalitat inversa $g(x) = x^{-1}$.

La tercera llei de Kepler estableix que el quadrat del període orbital $T$ d'un planeta és directament proporcional al cub de la seva distància mitjana al Sol $R$, és a dir, $T^2 = k \cdot R^3$. Si per a la Terra es compleix que $T = 1$ any i $R = 1$ UA (Unitat Astronòmica), expressa el període $T$ com una funció potencial dependent de $R$. Utilitza aquesta funció per calcular el període orbital de Júpiter, sabent que la seva distància mitjana al Sol és de $5,2$ UA.

La força de resistència aerodinàmica que experimenta un ciclista és proporcional al quadrat de la seva velocitat, la qual cosa s'expressa com a $F(v) = k \cdot v^2$. A una velocitat de $10$ m/s, la força mesurada és de $30$ N. Demostra analíticament per quin factor exacte es multiplica la força de resistència si el ciclista duplica la seva velocitat (passant d'una velocitat genèrica $v_0$ a $2v_0$) i calcula la nova força quan circula a $20$ m/s.

Troba l'expressió analítica de la funció potencial $f(x) = a \cdot x^n$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(2, 2)$ i $(8, 16)$. Expressa l'exponent $n$ en forma de fracció irreductible.

Dada la funció potencial amb exponent fraccionari $f(x) = x^{2/3}$:

• Determina el seu domini de definició.

• Calcula els valors exactes de $f(8)$ i $f(-8)$.

• Raona analíticament si la funció és parell, senar o cap de les dues.

El cost de producció d'un component electrònic disminueix a mesura que augmenta el nombre d'unitats fabricades segons la funció potencial $C(x) = 5000 \cdot x^{-1/2}$, on $x$ és la quantitat de components i $C(x)$ és el cost unitari en euros. Calcula el cost unitari de produir $100$ components i determina quants components s'han de fabricar en total perquè el cost unitari es redueixi a $25$ euros.

Segons estudis tècnics de la Dirección General de Tráfico (DGT), la distància de frenada $d$ (en metres) d'un turisme sobre asfalt sec fins a aturar-se completament es modelitza mitjançant una funció potencial $d(v) = a \cdot v^n$, on $v$ és la velocitat de circulació (en km/h). En les proves d'homologació s'observa que a $40\text{ km/h}$ la distància de frenada és de $8\text{ metres}$, mentre que a $80\text{ km/h}$ ascendeix a $32\text{ metres}$.\na) Determina analíticament l'expressió de la funció deduint l'exponent enter $n$ i la constant $a$.\nb) A Espanya, la velocitat màxima en travessies urbanes d'un únic carril per sentit es va reduir de $50\text{ km/h}$ a $30\text{ km/h}$. Calcula la distància de frenada associada a cada velocitat i determina el percentatge exacte de reducció que suposa aquesta mesura.\nc) Un conductor assegura: «Si circulo a $140\text{ km/h}$ per una autovia en comptes del límit de $120\text{ km/h}$, com que només vaig un $16,7\,\%$ més ràpid, la meva distància de frenada amb prou feines augmentarà aquest mateix percentatge». Refuta matemàticament el seu argument a partir del comportament de la funció potencial i calcula l'increment percentual real de la seva distància de frenada.

Es vol dissenyar la fórmula d'una funció potencial $f(x) = a \cdot x^n$ que modeli la concentració residual d'una substància i que compleixi simultàniament quatre condicions matemàtiques:

1. El seu domini no inclou valors negatius ni el zero, i està restringit de manera natural a $(0, +\infty)$.

2. Presenta com a asímptotes els eixos cartesians: una asímptota vertical a $x = 0$ i una asímptota horitzontal a $y = 0$.

3. Si multipliquem el valor de la variable independent per $9$, el valor que retorna la funció es redueix exactament a la tercera part; és a dir, $f(9x) = \frac{1}{3} \cdot f(x)$ per a tot $x > 0$.

4. La gràfica passa pel punt $P(4; 2,5)$.

1. a) A partir de les condicions 1 i 2, dedueix raonadament si l'exponent $n$ ha de ser positiu o negatiu, i per què ha de ser una fracció amb denominador parell.

1. b) Aplica la condició 3 per trobar el valor exacte de l'exponent $n$.

1. c) Determina el valor de la constant $a$ fent servir les coordenades del punt $P$ i escriu la funció final tant en forma de potència com en forma de radical.