Exercicis: Funcions de proporcionalitat inversa: k/x

Identifica en la taula següent si les magnituds $x$ i $y$ són inversament proporcionals i, en cas afirmatiu, troba la constant de proporcionalitat $k$ i escriu la funció que les relaciona.

• $x$: 1, 2, 3, 4, 6

• $y$: 24, 12, 8, 6, 4

Donada la funció de proporcionalitat inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ per a $x = 3$, $x = -9$ i $x = 0,5$.

Determina el domini, el recorregut i les equacions de les asímptotes de la funció $y = \frac{-8}{x}$.

Associa cadascuna de les funcions següents amb la descripció dels quadrants en els quals se situen les seves branques en representar-les gràficament:

1. a) $y = \frac{5}{x}$
2. b) $y = \frac{-2}{x}$
3. c) $y = \frac{0,1}{x}$

Descripcions:

1. Branques situades al primer i tercer quadrant.

2. Branques situades al segon i quart quadrant.

Un premi de loteria de $300$ € es repartirà a parts iguals entre un grup de $x$ amics. Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona els diners que rep cadascú amb el nombre d'amics i calcula quant reben si són $6$ persones.

Per recórrer una distància fixa de $120$ km, el temps $t$ emprat (en hores) i la velocitat mitjana $v$ (en km/h) són magnituds inversament proporcionals. Escriu la funció $v(t)$ i calcula a quina velocitat constant ha d'anar un cotxe si vol trigar exactament $2,5$ hores a fer el trajecte.

Indica quines són les equacions de les asímptotes vertical i horitzontal de la hipèrbola que té com a expressió algebraica $y = \frac{5}{x-4} + 3$.

Troba el domini de definició de la funció racional $y = \frac{7}{x+5}$.

La Lucía està estudiant la monotonia de la funció $f(x) = \frac{8}{x}$. Sap que la constant és $k = 8 > 0$ i el seu professor ha explicat a classe que les funcions amb $k > 0$ són decreixents. Per comprovar-ho empíricament, pren dos valors de la variable: $x_1 = -2$ i $x_2 = 4$. En calcular les seves imatges, obté $f(-2) = -4$ i $f(4) = 2$. Sorpresa, observa que $-2 < 4$ i, tanmateix, $f(-2) < f(4)$, per la qual cosa conclou que «la teoria falla, perquè en avançar cap a la dreta la funció ha pujat». Identifica i explica amb precisió l'error conceptual de la Lucía, aclareix per què el seu exemple no contradiu la teoria i redacta com s'ha d'enunciar de manera matemàticament rigorosa el decreixement de $f(x)$.

Troba l'expressió algebraica d'una funció de proporcionalitat inversa traslladada, de la forma $g(x) = \frac{k}{x-h} + v$, sabent que compleix simultàniament aquestes dues condicions: el seu centre de simetria és el punt $(-2, 3)$ i la seva gràfica passa pel punt $(1, 2)$. A partir de la funció obtinguda:

1. a) Determina el valor numèric de les constants $k$, $h$ i $v$.
2. b) Escriu les equacions de les seves asímptotes vertical i horitzontal, i indica el seu domini i el seu recorregut justificant quin valor queda exclòs en cada cas.
3. c) Raona, a partir del signe de la constant $k$, si les branques de la gràfica són creixents o decreixents en cada interval del seu domini.

Observa la gràfica següent d'una funció de proporcionalitat inversa i determina la seva constant $k$ i la seva expressió algebraica $y = \frac{k}{x}$.

Per omplir una piscina, $4$ aixetes d'igual cabal triguen $9$ hores. Escriu la funció que relaciona el temps d'ompliment $t$ (en hores) amb el nombre d'aixetes obertes $n$. Quant de temps trigarien $6$ aixetes a omplir la mateixa piscina?

Segons la llei de Boyle-Mariotte, a temperatura constant, la pressió $P$ d'un gas i el seu volum $V$ són magnituds inversament proporcionals ($P \cdot V = k$). Si un gas determinat ocupa un volum de $20$ litres a una pressió de $1,5$ atmosferes, escriu la funció $V(P)$ i calcula quin volum ocuparà a $3$ atmosferes.

La gràfica de la funció $y = \frac{8}{x}$ es traslla en el pla cartesià $4$ unitats cap a l'esquerra i $3$ unitats cap avall. Escriu l'expressió algebraica de la nova funció, determina el seu domini i troba les coordenades del punt on es tallen les seves asímptotes.

Troba analíticament els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.

Un grup de persones lloga una pista de pàdel per $24$ €. Escriu la funció $C(x)$ que expressa el cost per persona en funció del nombre de jugadors $x$. Si el cost final ha sigut de $6$ € per persona, quants jugadors van llogar la pista? Quin és el domini lògic d'aquesta funció tenint en compte el context del problema?

Escriu l'equació d'una hipèrbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sabent que les seves asímptotes són les rectes $x = -2$ i $y = 4$, i que la seva gràfica passa pel punt $(0, 5)$.

La resistència elèctrica $R$ (en ohms, $\Omega$) d'un fil conductor de longitud constant és inversament proporcional a l'àrea de la seva secció transversal $S$ (en mm$^2$). Si per a una secció de $2 \text{ mm}^2$ la resistència és de $0,02\ \Omega$, expressa $R$ en funció de $S$. Quina ha de ser la secció mínima del fil perquè la resistència sigui menor o igual a $0,01\ \Omega$?

Un grup de 20 estudiants de 4t d'ESO de Saragossa organitza un viatge de final de curs i contracta un autobús per un preu tancat de $1\,200\text{ \euro}$, a repartir a parts iguals entre els qui viatgin. Abans de formalitzar la reserva, la direcció del centre permet obrir la inscripció a més alumnes.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte: si el nombre d'assistents augmenta de 20 a 30 alumnes (un augment del $50\text{ \%}$), el cost individual es reduirà a la meitat, a més de la meitat o a menys de la meitat del preu original? Fes una estimació qualitativa i raona la teva resposta basant-te en la relació entre les magnituds.
2. b) Modela la funció $P(x) = \frac{k}{x}$ que expressa el preu per estudiant en funció del nombre total d'assistents $x$. Calcula l'import individual per a $x = 20$ i per a $x = 30$, calcula el percentatge de rebaixa real que experimenta cada bitllet i comprova si la teva estimació inicial era encertada.
3. c) Si l'autobús té una capacitat màxima de 55 places, quin és el preu mínim possible per persona? Podria arribar a ser de $0\text{ \euro}$ si viatgessin infinits alumnes? Interpreta aquest límit mitjançant l'asímptota horitzontal de la funció.

En un tram d'obres de $30\text{ km}$ en una autovia de Castella i Lleó, la DGT estableix restriccions temporals. El temps $t$ (en hores) necessari per recórrer aquest tram depèn de la velocitat mitjana $v$ (en $\text{km/h}$) a la qual circula un vehicle segons la relació $t(v) = \frac{30}{v}$.

1. a) Justifica per què $t$ i $v$ són magnituds inversament proporcionals i indica les unitats i el significat físic de la constant $k = 30$.
2. b) Analitza les asímptotes de la funció en el context d'aquest trajecte: quin significat físic tindria aproximar-se a l'asímptota vertical $v = 0$? I a l'asímptota horitzontal $t = 0$? Raona si és físicament possible assolir alguna de les dues.
3. c) Un conductor argumenta: «Si abaixo la meva velocitat de $120\text{ km/h}$ a $60\text{ km/h}$, el temps que perdo és exactament el mateix que si l'abaixo de $60\text{ km/h}$ a $30\text{ km/h}$, perquè en ambdós casos he reduït la velocitat a la meitat». Demostra quantitativament si la seva afirmació és vertadera o falsa calculant els minuts de retard en cada cas, i explica quina propietat de la hipèrbola fa que les pèrdues de temps no siguin iguals.

A partir de la gràfica d'aquesta hipèrbola traslladada, determina les equacions de les seves asímptotes, les coordenades del seu centre de simetria i dedueix la seva expressió algebraica de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.

Expressa la funció racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ fent la divisió de polinomis. A continuació, indica les equacions de les seves asímptotes i les coordenades del seu centre de simetria.

Troba analíticament els punts d'intersecció entre la hipèrbola $y = \frac{-4}{x-1}$ i la recta $y = -x + 4$.

Una fàbrica de components electrònics té unes despeses fixes diàries de $500$ € per encendre la mequinària, i produir cada unitat costa $2$ €. Escriu la funció del cost mitjà per unitat $C_m(x)$ en funció del nombre d'unitats $x$ fabricades al dia. Troba les seves asímptotes i interpreta el significat de l'asímptota horitzontal en el context del problema.

Troba el valor de la constant $k$ perquè la hipèrbola $y = \frac{k}{x}$ sigui tangent a la recta $y = -x + 6$ (és a dir, perquè es tallin en un únic punt).

Una hipèrbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ té el seu centre de simetria en el punt $(-1, 3)$ i talla l'eix d'abscisses a $x = 1$. Troba la seva expressió algebraica i calcula el punt de tall amb l'eix d'ordenades.

La distància focal d'una lent prima convergent és de $20$ cm. La relació entre la distància de l'objecte a la lent $s_o$ i la distància de la imatge $s_i$ ve donada per l'equació $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Expressa $s_i$ en funció de $s_o$. Què passa amb la distància de la imatge quan l'objecte s'acosta a $20$ cm de la lent per la dreta?

Determina el domini, el recorregut, les asímptotes i els punts de tall amb els eixos de la funció $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indica també els seus intervals de creixement i decreixement.

T'han demanat representar i analitzar detalladament la funció homogràfica $f(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}$ identificant les seves asímptotes, el seu centre de simetria i la seva monotonia. Dos companys proposen mètodes diferents:

• Mètode 1 (Marcos): Construir una taula amb 10 valors de $x$ molt grans (positius i negatius) i uns quants de molt propers a $x = 2$, per intuir gràficament per on passen les rectes a les quals s'acosta la corba.

• Mètode 2 (Sara): Efectuar la divisió polinòmica entre numerador i denominador per expressar la funció en la forma canònica $f(x) = \frac{k}{x-h} + v$, i deduir directament les seves propietats a partir de les transformacions geomètriques.

1. a) Desenvolupa el Mètode 2: efectua la divisió algebraica de $(3x - 1)$ entre $(x - 2)$ i escriu $f(x)$ en la forma $\frac{k}{x-h} + v$.
2. b) A partir de l'expressió canònica que has obtingut, indica raonadament les equacions de les dues asímptotes, les coordenades exactes del centre de simetria i dedueix si la funció és creixent o decreixent en cadascuna de les seves dues branques.
3. c) Avalua críticament ambdós mètodes: explica per què el mètode algebraic de la Sara és superior al mètode numèric del Marcos per evitar errors d'aproximació i deduir amb certesa analítica el comportament asimptòtic.

Es vol reconstruir analíticament una hipèrbola traslladada $g(x) = \frac{k}{x - h} + v$ a partir d'una sèrie de condicions geomètriques i analítiques:

1. La seva gràfica talla l'eix d'abscisses en el punt $(6, 0)$.

2. El centre de simetria de la corba és el punt $(4, -2)$.

3. La seva gràfica interseca l'eix d'ordenades en el punt $(0, -3)$.

1. a) Determina raonadament els valors numèrics dels paràmetres $h$, $v$ i de la constant $k$.
2. b) Comprova de manera algebraica la condició 1: planteja l'equació $g(x) = 0$ amb els valors obtinguts i resol-la per verificar que la seva solució és $x = 6$.
3. c) Atès que el centre de simetria és $(h, v)$, calcula les coordenades del punt de la corba que és simètric respecte a aquest centre del punt de tall amb l'eix $Y$, $(0, -3)$, i verifica analíticament que aquest punt simètric satisfà l'equació de $g(x)$.