Exercicis: Introducció

Un restaurant ofereix un menú del dia amb $4$ primers plats, $3$ segons plats i $5$ postres. De quantes maneres diferents es pot demanar un menú complet compost per un primer, un segon i unes postres?

Dibuixa el diagrama d'arbre per a l'experiment que consisteix a tirar una moneda regular i, a continuació, tirar un dau amb forma de tetraedre (amb les cares numerades del $1$ al $4$). Quants resultats possibles té aquest experiment compost?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una biblioteca d'aula hi ha $12$ novel·les de ciència-ficció, $8$ de novel·la històrica i $5$ biografies. Si només tens temps per llegir un llibre aquest cap de setmana, quantes opcions diferents tens per triar?

Calcula el valor de les expressions numèriques següents utilitzant les propietats dels factorials:

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Una marca de bicicletes fabrica un model que està disponible en $3$ mides diferents de quadre, $5$ colors i amb $2$ tipus de frens diferents. Quantes versions diferents d'aquest model de bicicleta hi ha al mercat?

Per anar de la ciutat A a la ciutat B hi ha $3$ carreteres diferents, i per anar de la ciutat B a la ciutat C hi ha $2$ carreteres diferents.

• De quantes maneres es pot viatjar de A a C passant obligatòriament per B?

• Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent a aquest viatge.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Al caixó d'una còmoda hi ha mitjons sols de $3$ colors diferents (negres, blancs i blaus). Si hi ha una apagada de llum i treus mitjons a les fosques, quin és el nombre mínim de mitjons que has d'extreure per assegurar-te de tenir almenys un parell del mateix color?

Expressa els productes següents utilitzant la notació matemàtica de factorial:

• $15 \cdot 14 \cdot 13$

• $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

En Mateo està resolent un problema de simplificació amb factorials i presenta a la pissarra el desenvolupament següent:

1. a) Assenyala amb precisió l'error algebraic que ha comès en Mateo i explica per què no és vàlid simplificar la fracció d'aquesta manera.
2. b) Resol correctament l'expressió aplicant les propietats del factorial (descomponent $7!$ en funció de $5!$ o traient factor comú) i troba el seu valor numèric final.

Per protegir una bicicleta a l'institut, s'utilitza un cadenat de combinació de $3$ rodes giratòries, cadascuna amb els dígits del $0$ al $9$. El propietari estableix que la clau no pot començar per $0$ i que les tres xifres han de ser diferents entre si.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul exacte, estima de manera intuïtiva si el nombre total de claus possibles serà menor de $300$, estarà entre $300$ i $700$, o serà major de $700$. Justifica breument en què bases la teva intuïció inicial.
2. b) Modela la situació mitjançant el principi de la multiplicació i calcula el nombre exacte de claus diferents que compleixen aquestes condicions.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada i reflexiona sobre com canvia el resultat si es permetés repetir dígits (mantenint el primer dígit diferent de $0$).

Una contrasenya per a un sistema informàtic ha d'estar formada per $2$ lletres de l'alfabet (de $26$ lletres possibles) segguides de $3$ dígits (del $0$ al $9$), o bé per $3$ lletres segguides de $2$ dígits. Si es permet repetir tant les lletres com els dígits, quantes contrasenyes diferents es poden crear en total?

Dos equips de bàsquet, Alfa i Beta, juguen una eliminatòria al millor de $3$ partits (el primer que aconsegueixi guanyar $2$ partits es classifica). Els empats no són possibles. Dibuixa el diagrama d'arbre amb tots els desenvolupaments possibles de l'eliminatòria. De quantes maneres diferents pot transcórrer la sèrie de partits?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Simplifica l'expressió algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ i, a continuació, resol l'equació $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

Utilitzant únicament els dígits del conjunt $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:

• Quants nombres de $4$ xifres diferents es poden formar?

• Quants d'aquests nombres formats són parells?

En un institut hi ha $400$ estudiants matriculats.

• Justifica matemàticament per què pots assegurar que almenys dos alumnes fan els anys el mateix dia de l'any.

• Quants alumnes es necessitarien com a mínim al centre per garantir que almenys tres d'ells comparteixen data d'aniversari? (Considera anys no de traspàs de $365$ dies).

Un examen tipus test consta de $10$ preguntes. Cada pregunta té $4$ opcions de resposta, de les quals només una és correcta.

• De quantes maneres diferents es pot contestar l'examen si és obligatori marcar una opció en totes les preguntes?

• De quantes maneres es podria contestar si es permet deixar preguntes en blanc?

En una urna hi ha $3$ boles vermelles i $2$ boles blaves. S'extreuen dues boles consecutivament i sense retornar-les a la urna (sense reemplaçament). Dibuixa el diagrama d'arbre de l'experiment i calcula quants resultats diferents es poden obtenir si tenim en compte l'ordre d'extracció i el color de les boles.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa la quadrícula de la figura. Un robot es desplaça des del punt A fins al punt B movent-se únicament cap a la dreta o cap amunt a través de les línies de la quadrícula. Quants camins diferents pot agafar el robot per arribar a la seva destinació?

En un club de lectura juvenil volen assignar a cada soci un carnet amb un codi personalitzat. El codi es compon sempre d'una vocal majúscula (triada entre el conjunt $\{A, E, I, O, U\}$) seguida d'una seqüència de $k$ dígits senars diferents (triats del conjunt $\{1, 3, 5, 7, 9\}$).

La persona encarregada de la base de dades observa que, amb les condicions fixades, es poden generar exactament $300$ codis diferents.

1. a) Planteja una expressió general en funció de $k$ per al nombre total de codis possibles aplicant el principi de la multiplicació.
2. b) Resol el problema invers: determina de manera raonada quants dígits senars ($k$) ha de contenir cada codi per obtenir exactament aquests $300$ codis.

En un institut d'Educació Secundària de Sevilla hi ha $750$ estudiants matriculats en total. Per gestionar el préstec d'ordinadors portàtils, es genera una etiqueta identificativa per a cada estudiant formada per una lletra de l'abecedari espanyol ($27$ lletres oficials, incloent-hi la Ñ) seguida d'una xifra parella que pertany al conjunt $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

1. a) Modela la situació mitjançant el principi de la multiplicació per calcular quantes etiquetes identificatives diferents es poden emetre amb aquest format.
2. b) Utilitza el principi del colomar per justificar rigorosament per què és segur que hi haurà estudiants amb etiquetes idèntiques assignades.
3. c) Determina quin és el nombre mínim d'estudiants que, amb total certesa matemàtica, compartiran exactament la mateixa etiqueta en aquest centre.

Es vol dissenyar una bandera amb $3$ franges verticals utilitzant una paleta de $5$ colors disponibles.

• De quantes maneres es pot acolorir si dues franges adjacents no poden tenir el mateix color?

• De quantes maneres es pot acolorir si, a més de la condició anterior, la primera i l'última franja també han de ser obligatòriament de colors diferents?

Resol la següent equació amb factorials, sabent que $n$ és un nombre natural:

S'elegeixen a l'atzar $5$ punts a l'interior d'un quadrat de costat $2\text{ cm}$. Demostra, utilitzant el principi del colomar, que sempre hi haurà almenys dos punts que tinguin una distància entre ells menor o igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Pista: divideix el quadrat en regions estratègiques).

En el sistema de numeració decimal, considerem tots els nombres enters compresos entre el $1000$ i el $9999$ (ambdós inclosos). Quants d'aquests nombres contenen la xifra $7$ almenys una vegada en la seva escriptura?

Dos amics, en Ionut i la Diana, juguen a un joc de taula compost per diverses rondes. El guanyador final del joc serà el primer que aconsegueixi guanyar $2$ rondes consecutives o bé $3$ rondes en total al llarg de la partida. Sabent que els empats no són possibles en cap ronda, dibuixa el diagrama d'arbre corresponent i determina el nombre màxim de rondes que poden arribar a jugar i quants desenvolupaments diferents té el joc.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una classe de $20$ alumnes s'ha d'elegir un equip directiu format per un president, un vicepresident i un secretari (càrrecs diferents que no pot ocupar la mateixa persona simultàniament). Una vegada elegit l'equip directiu, s'ha d'escollir un delegat d'esports entre els $17$ alumnes restants. De quantes maneres diferents es pot realitzar tot aquest procés de selecció?

Un nombre capicua és aquell que es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra (per exemple, el nombre $35153$).

• Quants nombres capicues de $5$ xifres existeixen en total?

• Quants d'aquests nombres capicues de $5$ xifres són nombres parells?

Demostra algebraicament la identitat següent vàlida per a qualsevol nombre natural $n \ge 1$:

Una vegada demostrada, aplica aquest resultat per simplificar i calcular el valor exacte de l'expressió $\frac{10! + 9!}{11!}$.

Al servei d'urgències d'un hospital comarcal s'han de cobrir les guàrdies del cap de setmana assignant un metge per al dissabte i un altre de diferent per al diumenge, triats entre un equip de $6$ professionals disponibles: Ana, Blas, Clara, David, Elena i Félix. Per motius de descans després d'una intervenció prèvia, Ana i Blas no poden coincidir en el mateix cap de setmana (és a dir, no pot passar que un faci guàrdia el dissabte i l'altre el diumenge).

Per calcular el nombre de torns vàlids possibles, dos residents suggereixen estratègies diferents:

• Estratègia A (Recompte directe per casos): Sumar les opcions en què no participa cap dels dos metges incompatibles i les opcions en què participa exactament un d'ells.

• Estratègia B (Recompte pel complementari): Calcular totes les assignacions possibles de metges diferents per a dissabte i diumenge sense restriccions i restar els casos prohibits en què coincideixen Ana i Blas.

1. a) Desenvolupa detalladament els càlculs pas a pas seguint l'Estratègia A i després seguint l'Estratègia B, comprovant que tots dos camins condueixen al mateix resultat numèric.
2. b) Compara tots dos procediments i justifica quin dels dos resulta més avantatjós i menys propens a errors si l'equip estigués compost per $25$ metges en lloc de $6$, mantenint la mateixa restricció entre Ana i Blas.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) classifica les observacions del vent en una estació del Pirineu aragonès segons dues variables simultànies: la direcció, que pren un dels $8$ rumbs principals (N, NE, E, SE, S, SO, O, NO), i la força, categoritzada en $3$ nivells (fluix, moderat, fort).

1. a) Cada dia es registren tres mesuraments independents: a les 08:00 h, a les 14:00 h i a les 20:00 h. Un «informe diari» consisteix en la terna ordenada d'aquests tres mesuraments complets (direcció i força en cadascun). Aplica el principi de la multiplicació per calcular quants informes diaris diferents poden arribar a registrar-se en teoria.
2. b) Una investigadora afirma: «Si analitzem únicament el mesurament de les 14:00 h al llarg d'un any de traspàs ($366$ dies), és matemàticament segur que hi haurà almenys una combinació de direcció i força que s'haurà repetit un mínim de $16$ vegades». Justifica formalment si aquesta afirmació és vertadera o falsa utilitzant el principi del colomar (identificant amb claredat quins són els objectes o coloms i quins els grups o colomars).
3. c) Quin és el nombre mínim de dies que s'haurien de registrar els mesuraments de les 14:00 h per garantir amb total certesa matemàtica que alguna combinació s'ha repetit almenys $20$ vegades? Justifica la teva resposta.