Exercicis: Proporcionalitat inversa

Indica quines de les parelles de magnituds següents són inversament proporcionals:

• La velocitat a la qual circula un tren i el temps que triga a recórrer una distància fixa.

• El nombre de quilos de pomes que compres i el preu total que pagues.

• El nombre d'obrers que treballen en una obra i els dies que triguen a acabar-la.

• L'edat d'una persona i la seva alçada.

• El cabal d'aigua que raja d'una aixeta i el temps necessari per omplir una piscina.

Completa la taula següent sabent que les magnituds $A$ i $B$ són inversament proporcionals, i calcula la constant de proporcionalitat $k$.

Un equip de $4$ pintors triga $6$ dies a pintar la façana d'un edifici. Si l'empresa decideix enviar només $3$ pintors, quants dies triguaran a fer exactament la mateixa feina?

Un cotxe circula a una velocitat constant de $90\text{ km/h}$ i triga $4$ hores a arribar a la seva destinació. Si en el viatge de tornada vol fer el mateix recorregut en $3$ hores, a quina velocitat constant ha de circular?

Una aixeta raja un cabal de $15$ litres per minut i triga $20$ minuts a omplir un dipòsit. Quant de temps trigarà a omplir el mateix dipòsit una altra aixeta el cabal de la qual és de $25$ litres per minut?

Reparteix la quantitat de $300$ € en parts inversament proporcionals als nombres $2$ i $3$.

Un engranatge de $20$ dents està connectat a un motor i fa $30$ voltes per minut. Si està acoblat a un altre engranatge més petit que té $15$ dents, quantes voltes per minut farà aquest segon engranatge?

La gràfica següent representa una relació de proporcionalitat inversa entre les magnituds $X$ i $Y$. Observa el punt destacat i determina la constant de proporcionalitat $k$. A continuació, calcula quin valor prendrà la magnitud $Y$ quan $X = 4$.

[ERROR D'ALTRI] En una cursa solidària escolar es repartiran $260\text{ euros}$ entre els tres primers classificats de manera inversament proporcional al nombre de faltes d'assistència no justificades acumulades durant el trimestre: l'Alicia va tenir $2$ faltes, en Bruno va tenir $3$ faltes i en Carlos va tenir $4$ faltes.

En Marcos, el delegat de classe, proposa resoldre-ho així:

«Com que la suma de faltes és $2 + 3 + 4 = 9$, perquè qui tingui menys faltes cobri més diners assignem a l'Alicia $\frac{4}{9}$ del premi, a en Bruno $\frac{3}{9}$ i a en Carlos $\frac{2}{9}$».

1. a) Explica amb precisió per què el mètode d'en Marcos és erroni. Per demostrar-ho, calcula el producte de les faltes pels diners que rebria cadascú segons en Marcos i comprova si es conserva la constant de proporcionalitat inversa ($x \cdot y = k$).
2. b) Planteja el repartiment correcte calculant la part que li correspon legítimament a cada participant.

[ESTIMA I COMPROVA] Per omplir l'estany de reg de l'hort escolar es poden utilitzar dues preses d'aigua: la mànega principal $A$, que omple el dipòsit buit per si sola en $3\text{ hores}$, i una presa auxiliar $B$, que triga $6\text{ hores}$ en solitari. Es decideix obrir totes dues alhora.

1. a) Abans de fer cap càlcul formal, fes una estimació raonada: per què el temps conjunt ha de ser obligatòriament menor que $3\text{ hores}$ i major que $1,5\text{ hores}$? Raona tots dos límits pensant en el ritme d'ompliment.
2. b) Calcula amb exactitud el temps que trigaran a omplir l'estany treballant juntes sumant els seus ritmes de treball per hora. Expressa el resultat en hores i minuts, i comprova si confirma la teva estimació inicial.

Una quadrilla de $12$ obrers es compromet a acabar la reforma d'un parc en $15$ dies. Al cap de $5$ dies de feina, $2$ obrers es donen de baixa per malaltia i no poden ser substituïts. Quants dies triguaran a acabar la resta de l'obra els obrers que queden?

Un avi decideix repartir $4500$ € entre els seus tres nets de manera inversament proporcional a les seves edats, que són $10$, $12$ i $15$ anys. Calcula la quantitat exacta de diners que correspon a cadascun dels nets.

Una aixeta $A$ és capaç d'omplir un dipòsit en $6$ hores, mentre que una aixeta $B$ l'ompliria en $4$ hores. Si totes dues aixetes s'obren simultàniament mentre el dipòsit està buit, quant de temps triguaran a omplir-lo? Expressa el resultat en hores i minuts.

Un tren de mercaderies fa un trajecte a una velocitat mitjana de $120\text{ km/h}$ i triga $2$ hores i $45$ minuts. Si en el viatge de tornada, amb més càrrega, el trajecte dura $3$ hores i $18$ minuts, quina ha sigut la seva velocitat mitjana en el viatge de retorn?

Per envasar la collita d'oli d'una cooperativa es necessiten $420$ garrafes de $5$ litres de capacitat. Si finalment es decideix utilitzar ampolles de vidre de $1,5$ litres, quantes ampolles seran necessàries? A més, si cada ampolla buida costa $0,20$ €, quin serà el cost total dels envasos?

Un grup d'amics vol comprar conjuntament un regal d'aniversari. La gràfica següent mostra quant ha de pagar cadascú (en euros) depenent del nombre d'amics que participin finalment. Observa els punts destacats per deduir el preu total del regal. Si al final només hi participen $3$ amics, quant pagarà cadascú?

Una fundació protectora d'animals ha de repartir $1550\text{ kg}$ de pinso entre tres refugis. Decideixen fer-ho de manera inversament proporcional a les fraccions $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{5}$ (que representen índexs de recursos propis de cada refugi). Calcula quants quilograms de pinso rebrà cadascun.

En una cursa de relleus solidària, un equip de corredors manté una velocitat mitjana de $12\text{ km/h}$ i triga $40$ minuts a completar el seu recorregut. Si en la pròxima edició entrenen per mantenir una velocitat mitjana de $15\text{ km/h}$, quant de temps guanyaran respecte a la seva marca anterior? Expressa la diferència en minuts.

[MODELITZA] La Dirección General de Tráfico (DGT) controla la velocitat al túnel de Guadarrama (autopista AP-6) mitjançant un radar de tram la longitud exacta del qual és de $3,3\text{ km}$. La velocitat màxima permesa en aquest tram és de $100\text{ km/h}$.

1. a) Modela la funció $t(v)$ que determina el temps $t$ (en segons) que triga un vehicle a recórrer el tram en funció de la seva velocitat mitjana $v$ (en $\text{km/h}$). Quin tipus de funció és i quin és el valor i les unitats de la seva constant de proporcionalitat?
2. b) Quin és el temps mínim legal, mesurat en segons amb un decimal, que ha de registrar el radar perquè el conductor no sigui sancionat?
3. c) Si un conductor circula a $80\text{ km/h}$ (un $20\,\%$ menys de velocitat que el límit legal), el seu temps de recorregut augmenta exactament un $20\,\%$? Demostra algebraicament quin percentatge augmenta en realitat i justifica aquest comportament a partir de les propietats de la proporcionalitat inversa.

[TRIA EL MÈTODE] Una convocatòria autonòmica concedeix un ajut extraordinari de $4500\text{ euros}$ per a digitalització a tres instituts d'una mateixa comarca. L'import es distribueix de manera inversament proporcional a la ràtio d'alumnes per ordinador que té cada centre: el centre $A$ té una ràtio de $6$ alumnes/pc, el centre $B$ té $8$ alumnes/pc i el centre $C$ té $12$ alumnes/pc.

Es plantegen dos procediments de resolució:

• Mètode 1 (Directe als inversos): Repartir directament a les fraccions $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{8}$ i $\frac{1}{12}$, reduint-les a comú denominador i dividint el total segons els numeradors enters resultants.

• Mètode 2 (Equació amb constant $k$): Expressar l'assignació de cada centre com a $\frac{k}{6}$, $\frac{k}{8}$ i $\frac{k}{12}$, resoldre l'equació $\frac{k}{6} + \frac{k}{8} + \frac{k}{12} = 4500$ i calcular cada assignació a partir de $k$.

1. a) Resol el repartiment emprant tots dos mètodes pas a pas i comprova que s'obté el mateix resultat.
2. b) Compara la càrrega de càlcul de tots dos mètodes i justifica quin dels dos resultaria més operatiu si haguessis de programar un full de càlcul per repartir fons entre els $85$ centres educatius de tota la província.

Un dipòsit d'aigua per a reg disposa de dues aixetes d'ompliment i un desguàs. La primera aixeta l'ompliria mentre està buit en $4$ hores, i la segona aixeta l'ompliria en $6$ hores. Per la seva banda, el desguàs és capaç de buidar el dipòsit per complet en $8$ hores. Si el dipòsit està buit i s'obren els tres conductes simultàniament, quant de temps trigarà a omplir-se? Expressa el resultat en hores, minuts i segons.

Una empresa reparteix una bonificació de $7200$ € entre tres dels seus empleats de manera inversament proporcional al nombre de faltes d'assistència que han tingut durant l'any: $2$, $3$ i $6$ faltes respectivament. Abans d'ingressar-los els diners, l'empresa aplica una retenció d'impostos escalonada: al que més cobra li reté un $15\%$, al mitjà un $10\%$ i al que menys cobra un $5\%$. Quina quantitat neta de diners rep cada empleat finalment?

Una empresa constructora calcula que una plantilla de $20$ obrers acabarà un edifici en $40$ dies. Després de $10$ dies de feina ininterrompuda, una vaga de transport de materials obliga a aturar l'obra durant $5$ dies. Per no incomplir el contracte, l'empresa decideix contractar més personal. Quants obrers addicionals caldrà contractar per acabar l'edifici en el termini total inicialment previst?

Un mecanisme industrial consta de tres engranatges $A$, $B$ i $C$ connectats en línia (el $A$ mou el $B$, i el $B$ mou el $C$). L'engranatge $A$ té $24$ dents, el $B$ té $36$ dents i el $C$ té $16$ dents. Si el motor fa girar l'engranatge $A$ a una velocitat de $120$ revolucions per minut (rpm), calcula la velocitat de gir de l'engranatge $C$. Influeix el nombre de dents de l'engranatge intermedi $B$ en la velocitat final de l'engranatge $C$? Justifica la teva resposta.

Les dues corbes del gràfic següent mostren relacions de proporcionalitat inversa del tipus $y = \frac{k}{x}$. La corba $A$ passa pel punt $(2, 6)$ i la corba $B$ passa pel punt $(3, 8)$. Troba les constants de proporcionalitat $k_A$ i $k_B$. A continuació, calcula el valor exacte de $x$ per al qual la corba $B$ pren el valor $y = 6$.

Tres socis d'un negoci s'han de repartir les despeses d'una reparació al local de manera inversament proporcional als anys d'antiguitat dels seus vehicles d'empresa, que són $2$, $4$ i $x$ anys. Si la despesa total de la reparació ascendeix a $1400$ € i es sap que el primer soci (el del vehicle de $2$ anys) ha hagut de pagar $800$ €, quina és l'antiguitat del cotxe del tercer soci i quant pagarà el segon?

Un ciclista aficionat fa una ruta de muntanya lineal (anada i tornada pel mateix camí). Durant el trajecte de pujada manté una velocitat mitjana de $12\text{ km/h}$, i durant el trajecte de baixada la seva velocitat mitjana és de $36\text{ km/h}$. Si el temps total pedalejant ha sigut exactament de $4$ hores, quina és la distància total que ha recorregut el ciclista sumant l'anada i la tornada?

Una novel·la té un total de $240$ pàgines. En el seu format original, cada pàgina conté $30$ línies i cada línia té una mitjana de $60$ caràcters. L'editorial decideix llançar una edició de butxaca, reduint la mida de la lletra de manera que ara hi caben $40$ línies per pàgina i $75$ caràcters per línia. Si a més decideixen afegir $15$ pàgines extres d'il·lustracions a color (que no porten text), quantes pàgines tindrà en total la nova edició de butxaca?

[PROBLEMA INVERS] Un professor de 4t d'ESO vol redactar un problema d'examen sobre treball combinat de màquines que tingui solucions «netes». L'esborrany diu:

«Dues impressores 3D industrials treballant simultàniament triguen exactament $6\text{ hores}$ a completar una maqueta d'urbanisme. Treballant per separat, la impressora més ràpida triga $x\text{ hores}$ i la més lenta triga $y\text{ hores}$ (amb $x \le y$)».

El professor necessita que tant $x$ com $y$ siguin nombres enters d'hores.

1. a) Planteja l'equació que relaciona els ritmes de treball i transforma-la algebraicament fins a escriure-la en la forma factoritzada $(x - a) \cdot (y - b) = c$, identificant els enters $a$, $b$ i $c$.
2. b) A partir dels divisors enters positius del nombre $c$, troba totes les possibles combinacions de temps enters $(x, y)$ que el professor podria triar per a l'enunciat.
3. c) Si el professor afegeix a més la restricció que la màquina lenta no ha de trigar més del triple de temps que la màquina ràpida ($y \le 3x$), quines de les solucions trobades a l'apartat anterior continuen sent vàlides?

[MODELITZA] Una empresa de logística analitza el trajecte d'anada i tornada que realitza una furgoneta de repartiment entre una nau central i un polígon comarcal, separats per una distància fixa de $d = 120\text{ km}$ ($240\text{ km}$ en total).

En el trajecte d'anada, a causa del trànsit de matí i de les parades, la furgoneta registra una velocitat mitjana de $v_1 = 60\text{ km/h}$.

1. a) Demostra algebraicament que la velocitat mitjana global del viatge complet, $V_m$, en funció de la velocitat mitjana en el trajecte de tornada, $v_2$, ve donada per la funció racional: $V_m(v_2) = \dfrac{120 \cdot v_2}{60 + v_2}$.
2. b) La direcció exigeix que la velocitat mitjana del viatge complet d'anada i tornada arribi als $120\text{ km/h}$. Intenta calcular quina velocitat $v_2$ hauria d'assolir a la tornada: planteja l'equació corresponent, intenta resoldre-la i interpreta físicament què passa amb el temps disponible.
3. c) Estudia l'asimptota horitzontal de la funció calculant cap a quin valor tendeix $V_m(v_2)$ quan $v_2$ pren valors extremadament grans ($v_2 \to \infty$). Explica quin límit infranquejable imposa la física del problema a la velocitat mitjana global, independentment de com de ràpid circuli el vehicle en el viatge de tornada.