Exercicis: Reducció al primer quadrant i identitat fonamental

A la figura s'han representat els angles de $30º$ i $150º$ en la circumferència goniomètrica.

A la vista de la simetria de la figura, expressa $\sin 150º$ i $\cos 150º$ en funció de $\sin 30º$ i $\cos 30º$, indicant el signe correcte de cadascuna.

Expressa cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques en funció de la raó d'un angle del primer quadrant, tenint cura del signe:

• $\sin 210º$

• $\cos 225º$

• $\tan 240º$

Expressa cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques en funció de la raó d'un angle del primer quadrant, tenint cura del signe:

• $\sin 330º$

• $\cos 315º$

• $\tan 300º$

Amb l'ajuda de la calculadora, dóna el valor d'aquestes raons amb quatre xifres decimals i comprova la relació que s'indica:

• Calcula $\sin 140º$ i $\sin 40º$. Quina relació hi ha entre tots dos valors?

• Calcula $\cos 140º$ i $\cos 40º$. Quina relació hi ha entre tots dos valors?

• Explica, amb la circumferència goniomètrica, per què passa això que has observat.

En Marcos està resolent un exercici en què sap que $\sen \alpha = 0,6$ i que l'angle $\alpha$ pertany al segon quadrant ($90º < \alpha < 180º$). A la seva llibreta ha escrit el següent:

«Per la identitat fonamental, $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sen^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{0,64} = 0,8$. Per tant, aplicant la fórmula dels suplementaris, $\cos(180º - \alpha) = -0,8$».

1. a) Localitza els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos i explica, ajudant-te del significat de les coordenades a la circumferència goniomètrica, per què estan malament.
2. b) Corregeix el procediment i calcula els valors correctes de $\cos \alpha$ i de $\cos(180º - \alpha)$.

Considera l'angle $\beta = 200º$.

1. a) Abans d'operar, estima de manera qualitativa: a quin quadrant se situa $\beta$? Quins signes han de tenir $\sen 200º$ i $\cos 200º$? Si compares $200º$ amb $180º$, quina de les dues raons (sinus o cosinus) esperes que tingui un valor absolut més gran?
2. b) Sabent que $200º = 180º + 20º$ i prenent com a dades aproximades $\sen 20º \approx 0,3420$ i $\cos 20º \approx 0,9397$, calcula mitjançant les fórmules de reducció al primer quadrant els valors exactes aproximats de $\sen 200º$, $\cos 200º$ i $\tg 200º$.
3. c) Comprova si els resultats obtinguts confirmen la teva estimació de l'apartat a) i raona per què la tangent resulta positiva malgrat que tant el sinus com el cosinus són negatius.

Sabent que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i que $\alpha$ pertany al segon quadrant, calcula el valor exacte de $\cos \alpha$ i de $\tan \alpha$.

Sabent que $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ i que $\alpha$ pertany al tercer quadrant, calcula el valor exacte de $\sin \alpha$ i de $\tan \alpha$.

Sabent que $\tan \alpha = 2$ i que $\alpha$ pertany al tercer quadrant, calcula el valor exacte de $\sin \alpha$ i de $\cos \alpha$. (Pista: utilitza que $\sin \alpha = 2\cdot\cos \alpha$ i substitueix en la identitat fonamental.)

A la figura s'ha representat la circumferència goniomètrica i la recta horitzontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la talla en dos punts.

Troba tots els angles $x$ de $[0º, 360º)$ que verifiquen $\sin x = \frac{1}{2}$, raonant a partir de la figura.

Troba tots els angles $x$ de $[0º, 360º)$ que verifiquen $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, indicant a quins quadrants pertanyen.

A la figura s'han representat els angles de $60º$ i $120º$, que són suplementaris.

Sabent que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ i $\cos 60º = \frac{1}{2}$, calcula $\sin 120º$ i $\cos 120º$ raonant a partir de la simetria de la figura.

Per calcular el valor exacte de $\sen(180º + \alpha)$ i de $\cos(360º - \alpha)$ sabent que $\tg \alpha = -2$ i que $\alpha$ és al segon quadrant, dos companys proposen estratègies diferents:

• La Carmen proposa utilitzar la identitat $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ per obtenir $\cos \alpha$, deduir després $\sen \alpha$ amb $\sen \alpha = \tg \alpha \cdot \cos \alpha$ i, finalment, reduir els angles demanats al primer quadrant.

• En Sergio proposa plantejar un sistema de dues equacions amb dues incògnites: $\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = -2$ i $\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, aïllar $\sen \alpha = -2\cos \alpha$, substituir a la fonamental i concloure amb les reduccions.

1. a) Analitza tots dos mètodes: són correctes tots dos? Quin resulta més directe i amb menys risc d'equivocar-se en triar signes?
2. b) Aplica el mètode que consideris més eficient per donar el valor exacte i simplificat (amb radicals) de $\sen(180º + \alpha)$ i $\cos(360º - \alpha)$.

L'ordinador de bord d'un dron registra un angle d'orientació $\theta \in [0º, 360º)$ que no es pot llegir directament per una fallada de pantalla, però la memòria conserva dues dades fiables:

1. $\sen(180º - \theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\cos(-\theta) < 0$.

1. a) Dedueix raonadament a quin quadrant pertany l'angle $\theta$.
2. b) Determina el valor exacte de $\theta$ en graus dins de $[0º, 360º)$.
3. c) Escriu una equació trigonomètrica senzilla de la forma $\cos x = k$ que tingui com a úniques dues solucions a l'interval $[0º, 360º)$ l'angle $\theta$ que has trobat i el seu angle oposat (simètric respecte a l'eix horitzontal).

Sabent que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ i que $\alpha$ pertany al quart quadrant:

• Calcula el valor exacte de $\sin \alpha$ i de $\cos \alpha$.

• Calcula $\sin(180º - \alpha)$.

• Calcula $\cos(180º + \alpha)$.

• Troba tots els angles $x$ de $[0º, 360º)$ que verifiquen $\tan x = 1$.

• Raona, amb la circumferència goniomètrica, quantes solucions tindria la mateixa equació en l'interval $[0º, 720º)$ i escriu-les totes.

Una alumna ha escrit aquesta resolució:

«Si $\cos \alpha = -0,8$ i $\alpha$ està en el segon quadrant, aleshores:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = -0,6$»

Troba l'error que ha comès, explica per què és un error i calcula correctament $\sin \alpha$ i $\tan \alpha$.

Demostra que, per a qualsevol angle $\alpha$, es verifica:

(Indicació: redueix primer cada raó al primer quadrant.)

Troba tots els angles $x$ de $[0º, 360º)$ que verifiquen $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, raonant quantes solucions hi ha i a quins quadrants pertanyen.

La punta de la pala d'un aerogenerador descriu una circumferència de radi $1\ \text{m}$ (en unitats relatives) al voltant de l'eix del rotor. Si anomenem $\theta$ l'angle que forma la pala amb la horitzontal, mesurat en sentit antihorari, l'altura de la punta respecte al centre és $\sin \theta$ i el seu desplaçament horitzontal és $\cos \theta$.

• Completa una taula amb l'altura i el desplaçament horitzontal de la punta per a $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ i $270º$.

• La pala gira $40$ vegades per minut. Al cap d'un temps, la punta està a una altura de $0,5\ \text{m}$ sobre el centre. Quins valors de $\theta$ entre $0º$ i $360º$ corresponen a aquesta altura?

• I a una altura de $-0,5\ \text{m}$?

En un parc eòlic d'Albacete, una pala d'aerogenerador de $40\text{ m}$ de longitud gira en sentit antihorari al voltant del seu eix central (boixa). Prenent l'eix horitzontal que passa per la boixa com a referència ($0º$ cap a la dreta), l'altura vertical de l'extrem de la pala respecte a la boixa és $h(\alpha) = 40 \cdot \sen \alpha$ (en metres) i la seva posició horitzontal és $d(\alpha) = 40 \cdot \cos \alpha$ (en metres).

Durant una revisió tècnica, la pala queda aturada en una posició $\alpha$ tal que la seva desviació horitzontal és $d = -24\text{ m}$ i l'extrem de la pala es troba per sota de la boixa ($h < 0$).

1. a) Dedueix en quin quadrant es troba la pala i calcula el valor exacte de $\cos \alpha$.
2. b) Utilitzant la identitat fonamental de la trigonometria, calcula l'altura exacta $h$ a la qual es troba la punta de la pala respecte a la boixa, justificant amb rigor el signe de l'arrel.
3. c) Els sensors de manteniment només processen angles aguts $\beta \in [0º, 90º]$. Expressa $\alpha$ en la forma $\alpha = 180º + \beta$ i determina el valor exacte de $\sen \beta$, $\cos \beta$ i $\tg \beta$. Què representa geomètricament $\beta$ respecte a la posició de la pala?

Dos angles $\alpha$ i $\beta$ de l'interval $[0º, 360º)$ pertanyen a quadrants diferents i satisfan simultàniament el següent sistema de condicions:

1. $\sen(180º - \alpha) + \sen(180º + \beta) = 0$.

2. $\cos(360º - \alpha) - \cos(180º - \beta) = 0$.

1. a) Aplica les fórmules de reducció al primer quadrant en totes dues equacions per obtenir una relació directa entre les raons trigonomètriques d'$\alpha$ i les de $\beta$.
2. b) A partir del resultat anterior, dedueix la relació geomètrica exacta que uneix els angles $\alpha$ i $\beta$ (són suplementaris, oposats o es diferencien en $180º$?). Justifica la teva conclusió analitzant els signes a la circumferència goniomètrica.
3. c) Sabent a més que $\sen \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ i que $\alpha$ és al segon quadrant, troba mitjançant la identitat fonamental el valor exacte de $\cos \beta$ i de $\tg \beta$, raonant el signe de cada pas sense recórrer a la calculadora.