Exercicis: Triangles semblants

Dos triangles tenen, respectivament, els angles següents: el primer té un angle de $45^\circ$ i un altre de $60^\circ$; el segon té un angle de $60^\circ$ i un altre de $75^\circ$. Determina si tots dos triangles són semblants justificant la teva resposta basant-te en els criteris de semblança.

Els costats d'un triangle mesuren $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ i $9\text{ cm}$. Sabent que un segon triangle és semblant a aquest i que el seu costat menor mesura $15\text{ cm}$, calcula la longitud dels altres dos costats del segon triangle.

En un triangle $ABC$, es traça un segment $DE$ paral·lel a la base $BC$, de manera que el punt $D$ pertany al costat $AB$ i el punt $E$ al costat $AC$. Sabent que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ i $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triangle per calcular la longitud de la base $BC$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un triangle rectangle, l'altura traçada sobre la hipotenusa la divideix en dos segments (projeccions) que mesuren $4\text{ cm}$ i $9\text{ cm}$. Aplica el teorema de l'altura per calcular la longitud d'aquesta altura $h$.

En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura $10\text{ cm}$ i la projecció d'un dels catets sobre ella mesura $3,6\text{ cm}$. Aplica el teorema del catet per trobar la longitud d'aquest catet.

La raó de semblança entre dos polígons semblants és $k = 2,5$. Si l'àrea del polígon menor és de $12\text{ cm}^2$, quina és l'àrea del polígon major?

Determina si els triangles $ABC$ i $DEF$ són semblants, sabent que els seus costats mesuren $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ i $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En cas afirmatiu, indica quin és el criteri utilitzat i la raó de semblança.

Marcos ha de determinar si dos triangles, $\triangle ABC$ i $\triangle DEF$, són semblants. Al triangle $\triangle ABC$, els costats mesuren $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ i l'angle $\hat{B} = 40^\circ$. Al triangle $\triangle DEF$, els costats mesuren $DE = 4\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ i l'angle $\hat{E} = 40^\circ$. Marcos afirma: «Com que $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = 1,5$, els costats són proporcionals, i com que tots dos tenen un angle de $40^\circ$, són semblants pel criteri LAL». Identifica i explica detalladament l'error conceptual que comet Marcos en aplicar el criteri LAL i indica quina dada angular exacta necessitaries conèixer en tots dos triangles per poder garantir amb certesa la seva semblança.

Es vol dissenyar un triangle $\triangle A'B'C'$ semblant a un triangle rectangle $\triangle ABC$ els catets del qual mesuren $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$. La condició fixada és que l'àrea del nou triangle $\triangle A'B'C'$ ha de ser exactament de $96\text{ cm}^2$. Calcula primer l'àrea del triangle $\triangle ABC$ original i dedueix raonadament la raó de semblança $k$ entre tots dos. A partir d'aquesta raó, determina la longitud exacta dels tres costats de $\triangle A'B'C'$ i comprova que la relació entre els seus perímetres coincideix també amb $k$.

Per calcular l'altura d'un edifici, un estudiant col·loca un mirall pla a terra a $12\text{ m}$ de la base de l'edifici. En recular $1,5\text{ m}$ des del mirall, l'estudiant (els ulls del qual estan a $1,6\text{ m}$ del terra) pot veure exactament la part més alta de l'edifici reflectida en ell. Sabent que els angles d'incidència i reflexió en el mirall formen triangles rectangles semblants, calcula l'altura de l'edifici.

En la figura següent, els segments $DE$ i $BC$ són paral·lels. Les longituds vénen donades per expressions algebraiques: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, i $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales per plantejar una equació i calcular el valor numèric de $x$.

En un triangle rectangle, l'altura relativa a la hipotenusa mesura $6\text{ cm}$ i la projecció d'un dels catets sobre la hipotenusa és de $4,5\text{ cm}$. Aplica els teoremes de la semblança en triangles rectangles per calcular el perímetre i l'àrea del triangle complet.

Dues empreses fabriquen veles triangulars semblants per a vaixells de competició. El perímetre de la vela petita és de $12\text{ m}$ i el de la vela gran és de $18\text{ m}$. Si l'àrea de la vela petita és de $6\text{ m}^2$, quina és l'àrea de la vela gran?

Una càmera fosca (o càmera estenopeica) té una profunditat de $15\text{ cm}$. Es situa davant d'un edifici que està a $30\text{ m}$ de distància de l'orifici de la càmera. Si la imatge invertida de l'edifici que es projecta al fons de la càmera té una altura de $12\text{ cm}$, quina és l'altura real de l'edifici?

Per mesurar l'amplada d'un riu de voreres paral·leles, un topògraf es situa en un punt $A$ d'una vorera, just al davant d'un arbre $B$ a la vorera oposada. Camina $15\text{ m}$ per la vorera fins a un punt $C$ i hi clava un jaló. Després camina $3\text{ m}$ més fins al punt $D$, gira $90^\circ$ allunyant-se del riu i camina $4\text{ m}$ fins a un punt $E$, des del qual veu alineats el jaló $C$ i l'arbre $B$. Calcula l'amplada $x$ del riu.

Una piràmide de base quadrada té una altura de $12\text{ cm}$ i el costat de la seva base mesura $8\text{ cm}$. Es talla la piràmide per un pla paral·lel a la base, situat a $3\text{ cm}$ del vèrtex. Calcula l'àrea de la secció obtinguda i el volum de la piràmide deficient (la petita piràmide superior).

En una visita cultural a la Plaza Mayor de Salamanca, un grup d'estudiants decideix calcular l'alçària de la façana de l'Ajuntament aprofitant un dia clar mitjançant la projecció d'ombres. Una estudiant d'$1,68\text{ m}$ d'alçària projecta en aquell instant una ombra sobre el terra horitzontal d'$1,20\text{ m}$, mentre que l'ombra de l'edifici mesura $25\text{ m}$. Abans de fer càlculs exactes, estima de manera justificada si l'alçària de l'edifici serà més gran o més petita que els $25\text{ m}$ de la seva ombra i proposa un interval mental aproximat per a aquesta alçària. Tot seguit, demostra quin criteri geomètric garanteix la semblança dels triangles formats, calcula l'alçària real de l'edifici amb dos decimals i comprova si la teva estimació inicial era encertada.

Durant una ruta al Parque Natural de las Hoces del Río Duratón (Segòvia), uns tècnics ambientals necessiten conèixer l'amplada del riu entre un salze situat al punt $A$ (a la riba contrària) i una balisa clavada al punt $B$ (a la seva riba, just davant d'$A$). Per mesurar-ho sense travessar l'aigua, marquen una línia recta per la seva riba perpendicular al segment $AB$ i claven dues estaques: una al punt $C$, a $24\text{ m}$ de $B$, i una altra al punt $D$, a $6\text{ m}$ de $C$ en la mateixa línia ($B$, $C$ i $D$ queden alineats). Des de $D$, caminen en direcció perpendicular a la riba allunyant-se del riu fins a un punt $E$ des del qual els punts $C$ i $A$ es veuen perfectament alineats. La distància mesurada de $D$ a $E$ és de $4,5\text{ m}$. Modela la situació identificant els dos triangles rectangles, demostra quin criteri assegura que són semblants, calcula l'amplada del riu entre $A$ i $B$, i determina entre quins valors oscil·laria aquesta amplada si la mesura de $DE$ tingués un marge d'error de $\pm 0,3\text{ m}$.

En un triangle rectangle de catets $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$, s'inscriu un quadrat de costat $x$ de manera que un dels vèrtexs del quadrat coincideix amb el vèrtex de l'angle recte del triangle, i el vèrtex oposat descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacte del costat del quadrat $x$.

Dos posts verticals d'altures $4\text{ m}$ i $6\text{ m}$ estan situats sobre un terra horitzontal, separats per una distància de $10\text{ m}$. Es tensa un cable recte des de la part superior de cada post fins a la base de l'altre. Calcula a quina altura $h$ del terra es creuen tots dos cables. Demostra si aquest resultat depèn o no de la distància que separa els posts.

En un triangle rectangle, l'altura sobre la hipotenusa divideix aquesta en dos segments (projeccions) tals que l'un és $5\text{ cm}$ més llarg que l'altre. Si l'altura mesura $6\text{ cm}$, determina analíticament la longitud dels dos segments i calcula el perímetre exacte del triangle original.

Un dipòsit d'aigua té forma de con invertit (el vèrtex cap avall) amb un radi a la base superior de $3\text{ m}$ i una profunditat total de $4\text{ m}$. Si el dipòsit conté aigua fins a una altura de $2\text{ m}$, utilitza la relació entre els volums de cossos semblants per calcular el volum d'aigua que conté i el volum buit restant.

Es té un trapezi isòsceles que té unes bases que mesuren $15\text{ cm}$ i $25\text{ cm}$, i l'altura és de $12\text{ cm}$. Es perllonguen els costats no paral·lels fins que es tallen en un punt, i formen un triangle a la part superior. Calcula l'altura $x$ d'aquest triangle superior i l'àrea total del gran triangle format.

La diagonal d'un rectangle mesura $20\text{ cm}$. Si tracem la perpendicular des d'un dels vèrtexs a la diagonal, aquesta queda dividida en dos segments. Si un dels segments mesura $7,2\text{ cm}$, troba l'àrea total del rectangle aplicant els teoremes del catet i de l'altura.

En una esfera de radi $R = 15\text{ cm}$ s'inscriu un con recte la generatriu del qual mesura $g = 24\text{ cm}$. Considera el triangle rectangle format pel diàmetre de l'esfera i la generatriu del con per aplicar els teoremes de semblança. Calcula el radi de la base del con i la seva altura.

En un triangle $\triangle ABC$, les longituds dels costats són $AB = 18\text{ cm}$ i $AC = 24\text{ cm}$. Es marquen dos punts: $D$ sobre el costat $AB$ a $6\text{ cm}$ d'$A$, i $E$ sobre el costat $AC$ a $8\text{ cm}$ d'$A$. Es vol demostrar si el segment $DE$ és paral·lel al costat $BC$ i trobar quina fracció del costat $BC$ mesura $DE$. Per resoldre-ho es proposen dues estratègies: Álvaro suggereix comprovar si $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ aplicant el recíproc del Teorema de Tales; Núria suggereix comparar directament els triangles $\triangle ADE$ i $\triangle ABC$ mitjançant el criteri LAL compartint l'angle $\hat{A}$. Desenvolupa completament tots dos mètodes amb les seves justificacions i analitza críticament quina de les dues estratègies és més completa per respondre a totes dues preguntes, explicant la limitació del mètode de Tales respecte a la raó entre les bases.

Una comunitat de regants d'Albacete gestiona una parcel·la triangular $\triangle ABC$, la base $BC$ de la qual mesura $160\text{ m}$ i l'alçària perpendicular de la qual des del vèrtex $A$ fins a aquesta base mesura $100\text{ m}$. Cal traçar una séquia recta $MN$ paral·lela a la base $BC$ ($M$ al costat $AB$ i $N$ al costat $AC$) que divideixi la finca en dues parts de superfícies exactament iguals: un triangle superior $\triangle AMN$ i un trapezi inferior $MNCB$. Justifica quin criteri garanteix que $\triangle AMN$ és semblant a $\triangle ABC$, dedueix la raó de semblança $k$ exacta (en forma de radical simplificat i amb tres decimals) que fa que les àrees es divideixin al $50\,\%$, calcula la longitud de la séquia $MN$ i la distància a la qual s'ha de traçar des del vèrtex $A$. Finalment, rebat matemàticament la proposta intuïtiva d'un agricultor que suggereix excavar la séquia just a la meitat de l'alçària ($50\text{ m}$), calculant quin percentatge real de l'àrea total quedaria al triangle superior si es fes cas a la seva proposta.