Teorema de Tales
Rectas paralelas cortando a dos rectas secantes: parece un dibujo abstracto de geometría, pero es la herramienta que usan topógrafos, fotógrafos y hasta astrónomos para medir sin acercarse. En este apartado vas a dominar el teorema de Tales a fondo: su enunciado, su recíproco y sus aplicaciones más prácticas.
El teorema de Tales, con precisión
Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ cm y $15$ cm. En la…
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ cm y $15$ cm. En la segunda recta secante, el segmento correspondiente al de $12$ cm mide $8$ cm. Calcula la longitud del segmento correspondiente al de $15$ cm.
Triángulos en posición de Tales
Cuando el segmento paralelo corta a los dos lados de un triángulo, los segmentos de cada lado son proporcionales. Es el mismo teorema, aplicado a un triángulo en vez de a dos rectas sueltas.
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ cm,…
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm y $AN = 6$ cm. Calcula la longitud del lado completo $AC$.
El recíproco de Tales
Esto permite comprobar si unas rectas son paralelas a partir de medidas, sin necesidad de usar un transportador ni una escuadra.
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3,5$ cm y $5$ cm. En la recta $s$, el segmento…
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3,5$ cm y $5$ cm. En la recta $s$, el segmento correspondiente al de $3,5$ cm mide $4,2$ cm. ¿Cuánto mide el segmento correspondiente al de $5$ cm en la recta $s$?
Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ cm y $20$ cm. En la segunda secante miden…
Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ cm y $20$ cm. En la segunda secante miden $24$ cm y $32$ cm. ¿Son paralelas las tres rectas? Justifica tu respuesta usando el recíproco del Teorema de Tales.
Dividir un segmento en partes iguales
El teorema de Tales no solo calcula longitudes: es el método con regla y compás para dividir cualquier segmento en partes exactamente iguales, sin tener que medir con precisión decimal.
Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ cm en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ cm en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
Sombras, cámaras oscuras y espejos
Un rayo de luz que atraviesa un punto fijo (un orificio, el centro de un espejo) crea triángulos semejantes entre el objeto real y su imagen o sombra. Este fenómeno es la base de la cámara oscura, la fotografía y la medida con espejos.
En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ m de altura se encuentra…
En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ m de altura se encuentra a $15$ m del orificio, calcula la altura de la imagen proyectada $h$ si la profundidad de la cámara es de $0,3$ m.
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente…
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente $1,4 \times 10^6$ km y se encuentra a $1,5 \times 10^8$ km de la Tierra, y que la Luna está a $384000$ km de la Tierra, calcula el diámetro aproximado de la Luna usando la semejanza de triángulos.
Rampas, redes y estructuras
Cualquier elemento que avanza en línea recta y cruza soportes verticales regulares —una rampa, una red de tenis, un tejado— genera triángulos en posición de Tales con los soportes intermedios.
Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1,2$ m en una distancia horizontal de $15$ m. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando…
Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1,2$ m en una distancia horizontal de $15$ m. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando la distancia horizontal recorrida desde el inicio de la rampa es de $6$ m, ¿cuál debe ser la altura de dicho soporte?
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2,4$ m. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a…
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2,4$ m. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a $0,9$ m de altura) y cae en el campo contrario. Si la distancia horizontal desde el jugador hasta la red es de $12$ m, ¿a qué distancia de la red botará la pelota?
En la estructura de un tejado a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del tejado mide $10$ m en total (del centro al alero hay $5$ m). La altura…
En la estructura de un tejado a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del tejado mide $10$ m en total (del centro al alero hay $5$ m). La altura máxima en el centro es de $3$ m. Si el puntal se coloca a $1,5$ m del centro hacia el alero, ¿cuál debe ser su longitud?
El teorema de la paralela media
En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm y $CD = 15$ cm, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$…
En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm y $CD = 15$ cm, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$ divide a los lados no paralelos en la proporción $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segmento $MN$. (Pista: Traza una paralela a uno de los lados oblicuos desde un vértice).
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si…
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si el tercer lado mide $L$, ¿cuál es la longitud de este segmento en función de $L$? Argumenta tu respuesta basándote en la semejanza de triángulos.