Exercicis: Teorema de Tales

Calcula el valor del segment desconegut $x$ en la figura següent, sabent que les rectes horitzontals són paral·leles entre si.

Dues rectes secants són tallades per dues rectes paral·leles. En la primera recta secant, els segments determinats per les paral·leles mesuren $12$ cm i $15$ cm. En la segona recta secant, el segment corresponent al de $12$ cm mesura $8$ cm. Calcula la longitud del segment corresponent al de $15$ cm.

Els triangles de la figura estan en posició de Tales. Calcula les longituds dels costats $x$ i $y$.

Explica els passos geomètrics necessaris per dividir un segment de $11$ cm en $5$ parts exactament iguals utilitzant regla, compàs i el teorema de Tales.

Tres rectes paral·leles són tallades per dues rectes secants $r$ i $s$. En la recta $r$, els segments mesuren $3,5$ cm i $5$ cm. En la recta $s$, el segment corresponent al de $3,5$ cm mesura $4,2$ cm. Quant mesura el segment corresponent al de $5$ cm en la recta $s$?

En un triangle $\Delta ABC$, es traça un segment $MN$ paral·lel al costat $BC$, de manera que $M$ pertany al costat $AB$ i $N$ al costat $AC$. Sabem que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm i $AN = 6$ cm. Calcula la longitud del costat complet $AC$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Comprova si els segments determinats per tres rectes sobre dues secants són proporcionals. En la primera secant mesuren $15$ cm i $20$ cm. En la segona secant mesuren $24$ cm i $32$ cm. Són paral·leles les tres rectes? Justifica la teva resposta fent servir el recíproc del teorema de Tales.

En un triangle $ABC$, es traça un segment $DE$ paral·lel al costat $BC$, amb el punt $D$ situat al costat $AB$ i el punt $E$ al costat $AC$. Es coneixen les mesures següents: $AD = 6\text{ cm}$, $DB = 3\text{ cm}$ i la base $BC = 12\text{ cm}$. En Marcos intenta calcular la longitud del segment paral·lel $DE$ i planteja a la seva llibreta:

1. a) Sense fer cap càlcul numèric, explica quina evidència geomètrica immediata demostra que el resultat de $24\text{ cm}$ obtingut per en Marcos és impossible.
2. b) Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos en plantejar la proporció entre els costats laterals i les bases paral·leles.
3. c) Escriu la proporció correcta aplicant les relacions de semblança derivades del teorema de Tales i troba la mesura real del segment $DE$.

En un parc urbà es dissenya un parterre triangular $ABC$. Al lateral $AB$, que mesura $15\text{ m}$, es col·loca un aspersor en el punt $M$, a $9\text{ m}$ de distància del vèrtex $A$. Es traça una canonada secundària $MN$ paral·lela al costat $BC$, de manera que el punt $N$ queda situat sobre l'altre lateral, $AC$, la longitud total del qual és de $14\text{ m}$.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, estima si el segment $AN$ mesurarà més o menys que la meitat del costat $AC$ ($7\text{ m}$) i raona entre quins dos valors enters s'hauria de situar aproximadament, observant quina proporció representa $AM$ respecte a la longitud total d'$AB$.
2. b) Aplica el teorema de Tales per calcular amb exactitud la longitud del segment $AN$ i la del segment restant $NC$.
3. c) Comprova si el valor obtingut coincideix amb la teva estimació inicial i argumenta per què la raó $\dfrac{AM}{MB}$ ha de coincidir numèricament amb la raó $\dfrac{AN}{NC}$.

En una càmera fosca, la llum entra per un petit orifici i projecta la imatge invertida d'un objecte a la paret del fons. Si un arbre de $4$ m d'altura es troba a $15$ m de l'orifici, calcula l'altura de la imatge projectada $h$ si la profunditat de la càmera és de $0,3$ m.

Per mesurar l'amplada d'un riu de ribes paral·leles, un topògraf col·loca tres estaques $A, B$ i $C$ alineades en aquest ordre en una de les ribes, situant $A$ just davant d'un arbre $T$ a la riba oposada (de manera que el segment $TA$ és perpendicular a les ribes), i una quarta estaca $D$ tal que els punts $T, B$ i $D$ estan alineats. Sabent que el segment $TA$ és paral·lel al segment $CD$, que $AB = 8$ m, $BC = 12$ m i la distància des de $D$ fins al riu perpendicularment és de $2$ m, calcula l'amplada del riu aplicant la semblança de triangles.

Una rampa d'accés per a cadires de rodes salva un desnivell de $1,2$ m en una distància horitzontal de $15$ m. Si es vol col·locar un suport vertical intermedi quan la distància horitzontal recorreguda des de l'inici de la rampa és de $6$ m, quina ha de ser l'altura d'aquest suport?

En un partit de tennis, un jugador pica la pilota a una altura de $2,4$ m. La pilota viatja en línia recta, frega exactament la cinta superior de la xarxa (que està a $0,9$ m d'altura) i cau al camp contrari. Si la distància horitzontal des del jugador fins a la xarxa és de $12$ m, a quina distància de la xarxa botarà la pilota?

Troba el valor de $x$ aplicant el teorema de Tales en el diagrama següent, on les tres rectes verticals són paral·leles. Expressa el resultat com un nombre enter o una fracció simplificada.

Durant un eclipsi solar, la Lluna s'interposa exactament entre la Terra i el Sol, blocant la seva llum. Sabent que el diàmetre del Sol és aproximadament $1,4 \times 10^6$ km i es troba a $1,5 \times 10^8$ km de la Terra, i que la Lluna està a $384000$ km de la Terra, calcula el diàmetre aproximat de la Lluna fent servir la semblança de triangles.

En l'estructura d'una teulada a dues aigües, es col·loca un puntal vertical de reforç. La base de la teulada mesura $10$ m en total (del centre al'alera hi ha $5$ m). L'altura màxima al centre és de $3$ m. Si el puntal es col·loca a $1,5$ m del centre cap a l'alera, quina ha de ser la seva longitud?

En el pla d'ordenació urbana d'un municipi, dues avingudes rectes parteixen d'una mateixa glorieta $O$. Per connectar ambdues avingudes, l'ajuntament projecta tres passos de vianants rectilinis i paral·lels entre si: Pas 1, Pas 2 i Pas 3.

Sobre la primera avinguda, la distància des de la glorieta $O$ fins al Pas 1 és de $40\text{ m}$; la distància entre el Pas 1 i el Pas 2 és de $24\text{ m}$; i la distància entre el Pas 2 i el Pas 3 és de $32\text{ m}$.

A la segona avinguda, un equip de topografia mesura que la distància total des de la glorieta $O$ fins al Pas 3 és d'exactament $120\text{ m}$.

1. a) Modela la situació identificant quins elements geomètrics corresponen a les rectes secants i quins a les rectes paral·leles del teorema de Tales.
2. b) Calcula la longitud de cadascun dels tres trams en què queda dividida la segona avinguda pels passos de vianants (de la glorieta al Pas 1, del Pas 1 al Pas 2, i del Pas 2 al Pas 3).
3. c) La normativa municipal d'accessibilitat recomana que la distància entre dos passos de vianants consecutius no superi els $35\text{ m}$. Determina raonadament si el tram entre el Pas 2 i el Pas 3 sobre la segona avinguda compleix aquesta recomanació.

Es vol dissenyar l'estructura metàl·lica d'una vidriera triangular delimitada per dos perfils secants $r$ i $s$, units per tres tirants transversals horitzontals paral·lels $a$, $b$ i $c$. Aquests tirants determinen dos trams contigus $AB$ i $BC$ sobre el perfil $r$, i dos trams contigus $A'B'$ i $B'C'$ sobre el perfil $s$, complint el teorema de Tales amb una raó de disseny preestablerta de $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'} = \dfrac{2}{5}$.

1. a) Si la longitud total del tram envidrat sobre el primer perfil ha de ser $AC = 35\text{ cm}$, dedueix els valors exactes que han de tenir els segments $AB$ i $BC$.
2. b) Per al segon perfil $s$, proposa dues longituds enteres diferents per a $A'B'$ i $B'C'$ de manera que la seva suma total sigui estrictament més gran que $60\text{ cm}$ i conservin amb exactitud la proporció requerida.
3. c) Escriu una expressió matemàtica general que permeti calcular directament la longitud del segment superior $A'B'$ en funció de la longitud total $L = A'C'$ del perfil $s$, vàlida per a qualsevol estructura que hagi de mantenir aquesta mateixa proporció de disseny.

En un sistema de dues rectes secants tallades per tres rectes paral·leles, els segments de la primera secant mesuren $x$ i $x+3$. En la segona secant, els segments corresponents mesuren $x-2$ i $x$. Planteja la proporció, resol l'equació resultant i troba el valor dels quatre segments.

Un foc de teatre il·lumina un actor projectant la seva ombra al teló de fons. El foc està a frec de terra. L'actor, d'$1,80$ m d'altura, camina cap al teló. Quan està a $4$ m del foc, la seva ombra mesura $h_1$. Si camina $2$ m més cap al teló, la seva ombra mesura $h_2$. Sabent que la distància total del foc al teló és de $10$ m, calcula la diferència d'altura entre les dues ombres projectades ($h_1 - h_2$).

En un trapezi $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm i $CD = 15$ cm, es traça un segment $MN$ paral·lel a les bases, amb $M$ a $AD$ i $N$ a $BC$. Sabem que el segment $MN$ divideix els costats no paral·lels en la proporció $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segment $MN$. (Pista: Traça una paral·lela a un dels costats oblics des d'un vèrtex).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un mirall pla es col·loca a terra horitzontalment. Una persona els ulls de la qual estan a $1,60$ m de terra es situa a $1,20$ m del centre del mirall i veu exactament reflectida en ell l'antena d'un edifici. Si la distància des del mirall fins a la base de l'edifici és de $18$ m, i tant la persona com l'edifici són perpendiculars a terra, quina és l'altura total de l'antena des de terra?

En l'estructura d'una grua de torre, el braç principal forma un triangle amb els cables tensors. Des d'un node $A$ al braç principal es traça un tirant vertical fins al braç inferior horitzontal, que mesura $3$ m. Des d'un node $B$, situat $4$ m més endavant al braç principal, es traça un altre tirant vertical que mesura $4,5$ m. A quina distància del node $A$ es troba el punt d'articulació (on s'uneixen els dos braços de la grua)?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues rectes paral·leles disten entre si $H$. Dos segments transversals es creuen en un punt $P$ entre les paral·leles, formant una figura en forma de rellotge de sorra. Els segments d'una de les transversals mesuren $x$ i $x+5$, mentre que la base del triangle superior mesura $12$ cm i la base del triangle inferior mesura $27$ cm. Calcula el valor de $x$ i la longitud total d'aquesta transversal.

Per mesurar l'altura d'una muntanya inaccessible sense fer servir la trigonometria, un topògraf utilitza dues varetes verticals de $2$ m d'altura. Clava la primera vareta a terra i, ajagut, alinea visualment la punta de la vareta amb el cim de la muntanya. La distància des del seu ull fins a la vareta és de $1,5$ m. Després recula $150$ m en línia recta, clava la segona vareta, i alinea de nou el seu ull amb la punta de la vareta i el cim. Aquesta vegada, la distància del seu ull a la vareta és de $1,6$ m. Calcula l'altura de la muntanya.

Demostra, fent servir el recíproc del teorema de Tales, que el segment que uneix els punts mitjans de dos costats d'un triangle qualsevol és paral·lel al tercer costat. Si el tercer costat mesura $L$, quina és la longitud d'aquest segment en funció de $L$? Argumenta la teva resposta basant-te en la semblança de triangles.

En una estructura triangular de fusta $ABC$, els costats laterals mesuren $AB = 15\text{ cm}$ i $AC = 20\text{ cm}$. Per reforçar-la, es col·loca un llistó interior $MN$ unint un punt $M$ del costat $AB$ amb un punt $N$ del costat $AC$, de manera que $AM = 6\text{ cm}$ (quedant $MB = 9\text{ cm}$) i $AN = 8\text{ cm}$ (quedant $NC = 12\text{ cm}$). Es vol comprovar si el llistó $MN$ ha quedat estrictament paral·lel a la base $BC$.

• Mètode A: Comprovar la igualtat de raons entre segments contigus: $\dfrac{AM}{MB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{NC}$.

• Mètode B: Comprovar la igualtat de raons entre el segment parcial i el costat complet: $\dfrac{AM}{AB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{AC}$.

1. a) Aplica numèricament ambdós mètodes i determina si el llistó $MN$ és paral·lel a la base $BC$ segons el recíproc del teorema de Tales.
2. b) Demostra algebraicament que, si en qualsevol triangle es compleix la igualtat del Mètode A (anomenant $AM = x$, $MB = a - x$, $AN = y$, $NC = b - y$), necessàriament es compleix la igualtat del Mètode B, justificant per què ambdós criteris són matemàticament equivalents.
3. c) Si la base mesura $BC = 25\text{ cm}$ i es vol trobar la longitud del llistó $MN$, justifica quin dels dos mètodes enllaça directament amb la semblança de triangles per calcular $MN$ i explica quin error conceptual cometria qui intentés calcular-lo a partir de la proporció del Mètode A.

Una parcel·la rústica de forma triangular $ABC$ limita amb un canal de reg recte al costat $AC$ ($180\text{ m}$) i amb un camí recte al costat $AB$ ($150\text{ m}$). El tercer límit, $BC$, mesura $210\text{ m}$. En un projecte de reorganització, els tècnics tracen dues tanques divisòries rectes, $D_1E_1$ i $D_2E_2$, ambdues paral·leles al límit $BC$, situant els punts $D_1$ i $D_2$ sobre el camí $AB$ de manera que aquest queda dividit en tres parts iguals de $50\text{ m}$ cadascuna ($D_1$ més proper al vèrtex $A$).

1. a) Modela la posició dels ancoratges $E_1$ i $E_2$ sobre el canal $AC$ calculant la longitud dels tres trams resultants sobre aquest límit mitjançant el teorema de Tales.
2. b) Calcula la longitud exacta de cadascuna de les dues tanques divisòries interiors ($D_1E_1$ i $D_2E_2$), justificant detalladament per què no es pot utilitzar directament la raó de segments sobre els laterals $\dfrac{AD_1}{D_1D_2}$ i quina raó geomètrica s'ha d'emprar.
3. c) Un dels propietaris afirma: «Com que les tanques divideixen ambdós límits laterals en tres parts d'igual longitud, la parcel·la sencera ha quedat repartida en tres zones d'igual superfície». Determina raonadament si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa comparant l'àrea del triangle superior $AD_1E_1$ amb l'àrea del trapezi inferior delimitat per $D_2E_2$ i el límit $BC$ a partir de la raó de semblança.