Longitudes, áreas y volúmenes
Ya sabes que al escalar una figura por $k$, el área cambia por $k^2$ y el volumen por $k^3$. Ahora vas a usarlo en los dos sentidos: dado $k$, hallar área o volumen; y dada un área o un volumen, hallar $k$. Es la herramienta detrás de maquetas, mapas, precios de productos y hasta por qué los ratones se enfrían más rápido que los elefantes.
Repaso: perímetro, área y volumen con razón $k$
Dos pentágonos son semejantes con una razón de semejanza $k = 3$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$ y su área es de $20 \text{ cm}^2$, calcula el…
Dos pentágonos son semejantes con una razón de semejanza $k = 3$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$ y su área es de $20 \text{ cm}^2$, calcula el perímetro y el área del pentágono mayor.
El área de un triángulo es de $12 \text{ cm}^2$. Se dibuja un segundo triángulo semejante al primero, pero con los lados que miden exactamente la mitad. Calcula el área…
El área de un triángulo es de $12 \text{ cm}^2$. Se dibuja un segundo triángulo semejante al primero, pero con los lados que miden exactamente la mitad. Calcula el área de este nuevo triángulo.
De la razón de áreas (o volúmenes) a $k$
Cuando el dato es una razón de áreas o de volúmenes, hay que deshacer el camino: raíz cuadrada para pasar de áreas a $k$, raíz cúbica para pasar de volúmenes a $k$.
La razón entre las áreas de dos hexágonos semejantes es $\frac{16}{25}$. Determina cuál es la razón de semejanza entre sus lados correspondientes.
La razón entre las áreas de dos hexágonos semejantes es $\frac{16}{25}$. Determina cuál es la razón de semejanza entre sus lados correspondientes.
Se tienen dos cubos semejantes. El volumen del cubo más pequeño es de $8 \text{ cm}^3$ y el volumen del cubo más grande es de $64 \text{ cm}^3$. Encuentra la razón de…
Se tienen dos cubos semejantes. El volumen del cubo más pequeño es de $8 \text{ cm}^3$ y el volumen del cubo más grande es de $64 \text{ cm}^3$. Encuentra la razón de semejanza $k$ entre las aristas de ambos cubos.
Dos campos de cultivo triangulares son semejantes. Las dimensiones del campo más pequeño son $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ y $50 \text{ m}$, y su área es de…
Dos campos de cultivo triangulares son semejantes. Las dimensiones del campo más pequeño son $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ y $50 \text{ m}$, y su área es de $600 \text{ m}^2$. Si el perímetro del campo más grande es de $360 \text{ m}$, calcula el área de este segundo campo.
Escalas de mapas y planos: longitud y área
Una escala $1:n$ es una razón de semejanza $k = n$ entre el dibujo y la realidad, pero esa $n$ solo se aplica directamente a longitudes. Para áreas reales a partir de áreas en el plano (o al revés), hay que elevarla al cuadrado.
Un mapa de carreteras está diseñado a una escala de $1:50\,000$. Si un tramo recto de carretera mide $4 \text{ cm}$ en el mapa, calcula cuántos kilómetros mide ese tramo…
Un mapa de carreteras está diseñado a una escala de $1:50\,000$. Si un tramo recto de carretera mide $4 \text{ cm}$ en el mapa, calcula cuántos kilómetros mide ese tramo en la realidad.
Una parcela de terreno rectangular tiene un área real de $400 \text{ m}^2$. En un plano urbanístico, esa misma parcela ocupa un área de $4 \text{ cm}^2$. Calcula la…
Una parcela de terreno rectangular tiene un área real de $400 \text{ m}^2$. En un plano urbanístico, esa misma parcela ocupa un área de $4 \text{ cm}^2$. Calcula la escala numérica a la que está dibujado el plano.
En un mapa topográfico con una escala de $1:250\,000$, un parque natural ocupa una extensión de $12 \text{ cm}^2$. Sabiendo que $1 \text{ hectárea (ha)}$ equivale a…
En un mapa topográfico con una escala de $1:250\,000$, un parque natural ocupa una extensión de $12 \text{ cm}^2$. Sabiendo que $1 \text{ hectárea (ha)}$ equivale a $10\,000 \text{ m}^2$, calcula la extensión real del parque natural expresada en hectáreas.
Masa, volumen y densidad
Si dos objetos son del mismo material, su masa es proporcional a su volumen: cambia con $k^3$, igual que el volumen. Por eso una figura "un poco más grande" puede pesar mucho más.
Una maqueta de un coche deportivo está fabricada a una escala de $1:24$. Si el coche real tiene una longitud de $4,8 \text{ m}$, averigua cuál es la longitud de la…
Una maqueta de un coche deportivo está fabricada a una escala de $1:24$. Si el coche real tiene una longitud de $4,8 \text{ m}$, averigua cuál es la longitud de la maqueta expresada en centímetros.
La maqueta de un monumento histórico se ha construido a una escala de $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0,05 \text{ m}^3$ y su superficie exterior mide…
La maqueta de un monumento histórico se ha construido a una escala de $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0,05 \text{ m}^3$ y su superficie exterior mide $1,2 \text{ m}^2$, halla el volumen real del monumento en $\text{m}^3$ y su superficie real en $\text{m}^2$.
Una diseñadora imprime en 3D una pequeña figura de plástico que pesa $30 \text{ g}$. Al ver el resultado, decide imprimir una versión semejante pero ampliada al $150\%$…
Una diseñadora imprime en 3D una pequeña figura de plástico que pesa $30 \text{ g}$. Al ver el resultado, decide imprimir una versión semejante pero ampliada al $150\%$ de su tamaño original. Suponiendo que la densidad del relleno plástico es idéntica en ambas impresiones, calcula el peso de la nueva figura.
Área, coste y capacidad
Muchos problemas reales enlazan dos magnitudes distintas: coste (proporcional al área, como pintar o fabricar una lata) y capacidad (proporcional al volumen). Hay que identificar primero cuál de las dos es la que escala en cada parte del problema.
Una marca de sopas comercializa su producto en dos latas cilíndricas semejantes. La cantidad de hojalata necesaria para fabricar la lata grande (su área superficial) es…
Una marca de sopas comercializa su producto en dos latas cilíndricas semejantes. La cantidad de hojalata necesaria para fabricar la lata grande (su área superficial) es $4$ veces mayor que la necesaria para la lata pequeña. Si la lata pequeña contiene $250 \text{ ml}$ de sopa, averigua cuántos litros contiene la lata grande.
Un balón de baloncesto reglamentario tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$, mientras que una pelota de tenis tiene un diámetro de $6 \text{ cm}$. Asumiendo que ambos son…
Un balón de baloncesto reglamentario tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$, mientras que una pelota de tenis tiene un diámetro de $6 \text{ cm}$. Asumiendo que ambos son esferas perfectas, determina cuántas veces mayor es la superficie del balón de baloncesto respecto a la pelota de tenis, y cuántas veces mayor es su volumen.
Un pintor quiere realizar un mural en una pared ampliando un boceto previo. El boceto está dibujado sobre un lienzo rectangular de $20 \text{ cm}$ de ancho por…
Un pintor quiere realizar un mural en una pared ampliando un boceto previo. El boceto está dibujado sobre un lienzo rectangular de $20 \text{ cm}$ de ancho por $30 \text{ cm}$ de alto. La pared destinada al mural tiene un área total de $24 \text{ m}^2$ y el mural final será exactamente semejante al boceto, ocupando toda la pared. ¿Cuáles serán las dimensiones del mural en metros?
Una fábrica de juguetes produce pirámides macizas de madera. Pintar la superficie de una pirámide pequeña cuesta $2,50 \text{ €}$ (el coste es directamente proporcional…
Una fábrica de juguetes produce pirámides macizas de madera. Pintar la superficie de una pirámide pequeña cuesta $2,50 \text{ €}$ (el coste es directamente proporcional al área superficial) y para su fabricación se emplean $100 \text{ cm}^3$ de madera. Si se fabrica una pirámide mayor, semejante a la primera, que requiere $800 \text{ cm}^3$ de madera, ¿cuál será el coste de pintar esta pirámide grande?
La relación superficie/volumen
Cuando un cuerpo crece manteniendo su forma, el volumen crece más rápido que la superficie ($k^3$ frente a $k^2$). Por eso la razón superficie/volumen se reduce al aumentar de tamaño: es la clave de por qué los animales pequeños pierden calor más rápido y las células no pueden crecer indefinidamente.
La pantalla de un teléfono inteligente tiene un área de $A \text{ cm}^2$. El fabricante lanza un nuevo modelo "Pro" con exactamente la misma proporción (es decir, una…
La pantalla de un teléfono inteligente tiene un área de $A \text{ cm}^2$. El fabricante lanza un nuevo modelo "Pro" con exactamente la misma proporción (es decir, una pantalla semejante), pero cuya diagonal es un $20\%$ mayor que la del modelo estándar. ¿En qué porcentaje exacto se incrementa el área de la pantalla? Adicionalmente, si todas las dimensiones tridimensionales del teléfono aumentan un $20\%$, ¿en qué porcentaje aumentará su volumen total?
Una estatua de bronce expuesta en una plaza tiene una masa de $432 \text{ kg}$. En la tienda del museo se vende una réplica a escala fabricada exactamente con la misma…
Una estatua de bronce expuesta en una plaza tiene una masa de $432 \text{ kg}$. En la tienda del museo se vende una réplica a escala fabricada exactamente con la misma aleación de bronce, cuya masa es de $2 \text{ kg}$. Si el área superficial de la réplica es de $450 \text{ cm}^2$, halla el área superficial de la estatua original expresada en $\text{m}^2$.
En biología, la relación entre la superficie y el volumen de una célula determina su capacidad para intercambiar nutrientes. Considera una célula esférica de radio $r$.…
En biología, la relación entre la superficie y el volumen de una célula determina su capacidad para intercambiar nutrientes. Considera una célula esférica de radio $r$. Si la célula crece de forma que su nuevo radio es $k \cdot r$ (con $k > 1$), demuestra matemáticamente que la relación superficie/volumen se reduce por un factor de $\frac{1}{k}$. A continuación, calcula el valor exacto de la nueva relación superficie/volumen si el radio original era de $2 \,\mu\text{m}$ y el factor de crecimiento es $k = 3$.