Exercicis: Longituds, àrees i volums

Dos pentàgons són semblants amb una raó de semblança $k = 3$. Si el perímetre del pentàgon menor és de $15 \text{ cm}$ i la seva àrea és de $20 \text{ cm}^2$, calcula el perímetre i l'àrea del pentàgon major.

La raó entre les àrees de dos hexàgons semblants és $\frac{16}{25}$. Determina quina és la raó de semblança entre els seus costats corresponents.

Un mapa de carreteres està dissenyat a una escala de $1:50\,000$. Si un tram recte de carretera mesura $4 \text{ cm}$ al mapa, calcula quants quilòmetres mesura aquest tram en la realitat.

Es tenen dos cubs semblants. El volum del cub més petit és de $8 \text{ cm}^3$ i el volum del cub més gran és de $64 \text{ cm}^3$. Troba la raó de semblança $k$ entre les aristes de tots dos cubs.

Una maqueta d'un cotxe esportiu està fabricada a una escala de $1:24$. Si el cotxe real té una longitud de $4,8 \text{ m}$, esbrina quina és la longitud de la maqueta expressada en centímetres.

L'àrea d'un triangle és de $12 \text{ cm}^2$. Es dibuixa un segon triangle semblant al primer, però amb els costats que mesuren exactament la meitat. Calcula l'àrea d'aquest nou triangle.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues ampolles d'aigua tenen formes semblants. L'ampolla més gran és $1,5$ vegades més alta que l'ampolla petita. Si l'ampolla petita té una capacitat de $500 \text{ ml}$, determina la capacitat de l'ampolla gran.

Una parcel·la de terreny rectangular té una àrea real de $400 \text{ m}^2$. En un plànol urbanístic, aquesta mateixa parcel·la ocupa una àrea de $4 \text{ cm}^2$. Calcula l'escala numèrica a la qual està dibuixat el plànol.

La Lucía consulta a la seu electrònica del Cadastre el plànol a escala $1:500$ d'una parcel·la rectangular que la seva família vol tancar i sembrar de gespa a Toledo. Al plànol, la parcel·la fa $4\text{ cm}$ d'amplada per $6\text{ cm}$ de llargada. Per calcular l'àrea real, la Lucía fa l'operació següent: «Com que l'àrea al paper és $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}^2$, l'àrea real de la parcel·la serà $24 \cdot 500 = 12\,000\text{ cm}^2 = 1,2\text{ m}^2$». Identifica i explica detalladament el doble error (geomètric i de sentit comú) que comet la Lucía, i calcula correctament l'àrea real de la parcel·la en metres quadrats.

Un taller artesanal de terrisseria a La Bisbal fabrica càntirs tradicionals semblants de dues mides. El model estàndard té una capacitat d'$1\text{ litre}$ i pintar-lo amb un vernís especial impermeable costa $3,50\text{ \euro}$. L'artesà vol dissenyar un model gegant amb una capacitat d'exactament $8\text{ litres}$. Si el cost de vernissar és directament proporcional a la superfície exterior del càntir i el client ha fixat un límit de despesa de $15\text{ \euro}$ per al vernissat d'aquest nou model:

1. a) Troba la raó de semblança lineal $k$ que han de guardar les dimensions del càntir gegant respecte a l'estàndard.
2. b) Determina si el cost del vernís del model gegant respectarà el pressupost fixat pel client.

Dos camps de conreu triangulars són semblants. Les dimensions del camp més petit són $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ i $50 \text{ m}$, i la seva àrea és de $600 \text{ m}^2$. Si el perímetre del camp més gran és de $360 \text{ m}$, calcula l'àrea d'aquest segon camp.

La maqueta d'un monument històric s'ha construït a una escala de $1:40$. Si el volum de la maqueta és de $0,05 \text{ m}^3$ i la seva superfície exterior mesura $1,2 \text{ m}^2$, troba el volum real del monument en $\text{m}^3$ i la seva superfície real en $\text{m}^2$.

Una marca de sopes comercialitza el seu producte en dues llaunes cilíndriques semblants. La quantitat de llauna necessària per fabricar la llauna gran (la seva àrea superficial) és $4$ vegades més gran que la necessària per a la llauna petita. Si la llauna petita conté $250 \text{ ml}$ de sopa, esbrina quants litres conté la llauna gran.

En un mapa topogràfic amb una escala de $1:250\,000$, un parc natural ocupa una extensió de $12 \text{ cm}^2$. Sabent que $1 \text{ hectàrea (ha)}$ equival a $10\,000 \text{ m}^2$, calcula l'extensió real del parc natural expressada en hectàrees.

Una dissenyadora imprimeix en 3D una petita figura de plàstic que pesa $30 \text{ g}$. En veure el resultat, decideix imprimir una versió semblant però ampliada al $150\%$ de la seva mida original. Suposant que la densitat del rebliment de plàstic és idèntica en totes dues impressions, calcula el pes de la nova figura.

Una pilota de bàsquet reglamentària té un diàmetre de $24 \text{ cm}$, mentre que una pilota de tennis té un diàmetre de $6 \text{ cm}$. Assumint que totes dues són esferes perfectes, determina quantes vegades és més gran la superfície de la pilota de bàsquet respecte a la pilota de tennis, i quantes vegades és més gran el seu volum.

Un pintor vol fer un mural en una paret ampliant un esborrany previ. L'esborrany està dibuixat sobre un llenç rectangular de $20 \text{ cm}$ d'amplada per $30 \text{ cm}$ d'alçada. La paret destinada al mural té una àrea total de $24 \text{ m}^2$ i el mural final serà exactament semblant a l'esborrany, i ocuparà tota la paret. Quines seran les dimensions del mural en metres?

Una pizzeria ofereix les seves pizzes circulars en dues mides semblants: mitjana i familiar. La pizza mitjana té un diàmetre de $28 \text{ cm}$ i costa $8 \text{ €}$. Si el preu de la pizza és estrictament proporcional a l'àrea que ocupa, troba quin diàmetre ha de tenir la pizza familiar si el seu preu al menú és de $18 \text{ €}$.

L'Ajuntament d'una localitat encarrega la construcció d'una piscina pública amb forma de prisma de base trapezoïdal irregular. Al projecte tècnic es va dissenyar una maqueta semblant el fons i les parets de la qual sumen una superfície interior d'$1,2\text{ m}^2$ i la capacitat d'aigua de la qual és de $0,3\text{ m}^3$. La piscina real ha de tenir unes longituds $10$ vegades més grans que les de la maqueta (raó de semblança lineal $k = 10$).

Dos tècnics discuteixen com pressupostar el revestiment ceràmic i l'ompliment:

• El tècnic A proposa aïllar primer cadascuna de les cotes lineals reals (llargada, amplades i profunditat) a partir de les fórmules geomètriques del prisma trapezoïdal per després calcular la nova superfície i el nou volum.

• El tècnic B proposa aplicar directament les raons entre magnituds de cossos semblants a partir de les dades globals de la maqueta.

Explica raonadament quin dels dos mètodes és el més adequat i eficient en aquest cas, i indica quina dificultat insalvable presenta l'altre. A continuació, calcula l'àrea que cal revestir i els metres cúbics d'aigua necessaris per omplir la piscina real.

Una empresa conservera de Santoña comercialitza bonítol del nord en llaunes cilíndriques semblants de llauna. La llauna individual fa $4\text{ cm}$ d'alçària, conté una massa neta de $100\text{ g}$ de peix i fabricar el seu envàs costa $0,25\text{ \euro}$. L'empresa llança un format familiar semblant amb una alçària de $8\text{ cm}$. Suposant que la densitat del contingut és idèntica en tots dos formats i que el cost de l'envàs depèn exclusivament de la superfície total de llauna emprada:

1. a) Modela la relació entre les masses i calcula quants grams de bonítol contindrà el format familiar.
2. b) Modela la relació entre les superfícies i calcula el cost de fabricació de la llauna gran.
3. c) Calcula la taxa de cost d'envàs per gram de producte (en $\text{\euro}/\text{g}$) en tots dos formats i raona per què a l'empresa li resulta més eficient econòmicament envasar en mides grans.

Un dipòsit d'aigua té forma de con invertit. Es sap que el líquid al seu interior arriba a una profunditat equivalent a $\frac{2}{3}$ de l'altura total del dipòsit. Determina quina fracció del volum total del dipòsit està actualment plena d'aigua.

Una fàbrica de joguines produeix piràmides massisses de fusta. Pintar la superfície d'una piràmide petita costa $2,50 \text{ €}$ (el cost és directament proporcional a l'àrea superficial) i per a la seva fabricació s'empren $100 \text{ cm}^3$ de fusta. Si es fabrica una piràmide major, semblant a la primera, que requereix $800 \text{ cm}^3$ de fusta, quin serà el cost de pintar aquesta piràmide gran?

La Gran Piràmide de Guiza originalment tenia una altura aproximada de $146 \text{ m}$. Imagina que es construís una rèplica semblant a les proximitats, però dissenyada per tenir exactament la meitat del volum de la piràmide original. Calcula quina seria l'altura exacta d'aquesta rèplica, expressant el resultat mitjançant radicals.

La pantalla d'un telèfon intel·ligent té una àrea de $A \text{ cm}^2$. El fabricant llança un nou model "Pro" amb exactament la mateixa proporció (és a dir, una pantalla semblant), però la diagonal de la qual és un $20\%$ més gran que la del model estàndard. En quin percentatge exacte s'incrementa l'àrea de la pantalla? Addicionalment, si totes les dimensions tridimensionals del telèfon augmenten un $20\%$, en quin percentatge augmentarà el seu volum total?

Una estàtua de bronze exposada en una plaça té una massa de $432 \text{ kg}$. A la botiga del museu es ven una rèplica a escala fabricada exactament amb el mateix aliatge de bronze, la massa de la qual és de $2 \text{ kg}$. Si l'àrea superficial de la rèplica és de $450 \text{ cm}^2$, troba l'àrea superficial de l'estàtua original expressada en $\text{m}^2$.

Una plaça de forma quadrada té un perímetre de $160 \text{ m}$. L'ajuntament decideix remodelar-la per construir una nova plaça quadrada semblant, de tal manera que l'àrea pavimentada de la nova plaça sigui exactament el triple de l'àrea de l'antiga. Calcula el perímetre de la nova plaça, donant el valor exacte utilitzant radicals.

Es tenen dos polígons semblants. L'àrea del primer polígon és $S_1 = 45 \text{ cm}^2$ i l'àrea del segon és $S_2 = 80 \text{ cm}^2$. Si la suma dels perímetres de tots dos polígons és de $70 \text{ cm}$, determina el perímetre de cadascun d'ells.

En biologia, la relació entre la superfície i el volum d'una cèl·lula determina la seva capacitat per intercanviar nutrients. Considera una cèl·lula esfèrica de radi $r$. Si la cèl·lula creix de manera que el seu nou radi és $k \cdot r$ (amb $k > 1$), demostra matemàticament que la relació superfície/volum es redueix per un factor de $\frac{1}{k}$. A continuació, calcula el valor exacte de la nova relació superfície/volum si el radi original era de $2 \,\mu\text{m}$ i el factor de creixement és $k = 3$.

En biologia, la regla ecològica de Bergmann descriu l'adaptació tèrmica dels animals mitjançant la relació entre la seva superfície corporal (per on dissipen calor) i el seu volum (que genera calor). Considera dos mamífers de silueta semblant i densitat idèntica: un ratolí de bosc de longitud $6\text{ cm}$ i una llúdriga de longitud $60\text{ cm}$. L'energia metabòlica que han de cremar per cada gram de massa corporal per mantenir constant la seva temperatura és proporcional al quocient superfície/volum ($S/V$).

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric, estima raonadament: qui creus que ha de cremar proporcionalment més aliment al dia respecte al seu propi pes per no refredar-se, el ratolí o la llúdriga? Formula una hipòtesi qualitativa.
2. b) Sabent que la raó de semblança lineal de la llúdriga respecte al ratolí és $k = 10$, dedueix algebraicament com varia el quocient $S/V$ d'un cos quan les seves longituds es multipliquen per $k$ i calcula el valor de la raó $\dfrac{(S/V)_{\text{ratolí}}}{(S/V)_{\text{llúdriga}}}$.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era correcta i interpreta el resultat: si el ratolí necessita ingerir cada dia l'equivalent al $30\,\%$ de la seva massa corporal en menjar per compensar la seva pèrdua tèrmica, quin percentatge de la seva pròpia massa corporal necessitaria ingerir la llúdriga per a la mateixa finalitat?

Una escultora ha fos en bronze una maqueta massissa de $25\text{ cm}$ d'alçària per a un monument que s'instal·larà en una plaça pública. La maqueta pesa $3,2\text{ kg}$ i aplicar una pàtina especial protectora sobre tota la seva superfície va costar $6\text{ \euro}$. La comissió d'urbanisme estableix dues condicions estrictes per encarregar l'escultura definitiva, que serà una figura a escala geomètricament semblant i del mateix bronze massís:

1. Per motius de seguretat en el transport amb grua, la massa total de l'escultura no pot superar els $1\,350\text{ kg}$.

2. La partida econòmica màxima assignada per a la pàtina protectora de l'escultura és de $216\text{ \euro}$ (el cost del tractament per metre quadrat és idèntic al de la maqueta).

Planteja les inequacions corresponents a totes dues restriccions en funció de la raó de semblança $k$, determina el valor màxim admisible per a $k$ i calcula l'alçària màxima que podrà tenir el monument definitiu. Justifica detalladament quina de les dues restriccions (el pes o el pressupost de la pàtina) és la que imposa el límit real a la mida de l'obra.

Repte del tema. Com es pot mesurar allò inaccessible i reproduir-ho a escala? Dissenyaràs un informe tècnic calculant les dimensions reals d'un element urbà proper (arbre, fanal o edifici) i les de la seva maqueta virtual.

1. Presa de dades reals: Tria un dia assolellat i mesura amb una cinta mètrica la longitud de l'ombra de l'element triat i, simultàniament, la teva pròpia ombra i la teva alçària (o la d'un llistó d'$1\text{ m}$).

2. Geometria i càlcul: Modela els triangles rectangles semblants formats pels rajos solars a GeoGebra o en un full de càlcul. Aplica el teorema de Tales per deduir l'alçària de l'objecte. Amb la calculadora i el teorema de Pitàgores, determina la distància des del punt més alt de l'element fins a l'extrem de la seva ombra.

3. Escala tridimensional: Assimila l'objecte a un cos geomètric bàsic (cilindre, con o prisma) i estima el seu volum i la seva àrea lateral reals. Si construïssis una maqueta amb raó de semblança $k = 0,05$ ($1:20$), calcula l'àrea superficial i el volum que ocuparia aplicant les raons $k^2$ i $k^3$.

Presenta el teu informe amb les dades obtingudes, els càlculs justificats i una captura del model digital.

Es valorarà:

• Aplicació rigorosa de Tales i Pitàgores en triangles semblants rectangles.

• Maneig correcte de la calculadora i justificació de les raons de semblança en longituds ($k$), àrees ($k^2$) i volums ($k^3$).

• Claredat de l'informe tècnic i ús adequat d'eines digitals (GeoGebra o full de càlcul).