Exercicis: Independència

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori. Es sap que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analíticament si els successos $A$ i $B$ són independents.

En un experiment aleatori, els successos $C$ i $D$ són independents. Si $P(C) = 0,6$ i $P(D) = 0,3$, calcula la probabilitat que es produeixin tots dos successos alhora, és a dir, troba $P(C \cap D)$.

Els successos $E$ i $F$ són independents. Sabent que la probabilitat de la seva intersecció és $P(E \cap F) = 0,15$ i que $P(E) = 0,3$, troba la probabilitat del succés $F$.

Es sap que la probabilitat que es produeixi el succés $G$ és $P(G) = 0,7$ i la probabilitat que es produeixi el succés $H$ sabent que s'ha produït $G$ és $P(H|G) = 0,4$. Si $G$ i $H$ són independents, quin és el valor de $P(H)$?

Es llança una moneda equilibrada dues vegades meitat consecutives. Calcula la probabilitat d'obtenir «cara» en el primer llançament i «creu» en el segon, assumint que els llançaments són successos independents.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extreu una carta, se n'anota el pal, es retorna a la baralla, es remena i s'extreu una segona carta. Calcula la probabilitat que totes dues cartes extretes siguin del pal d'«ors».

Observa el diàgrama d'arbre següent que modelitza dos experiments independents. Calcula la probabilitat que es produeixi el succés $\overline{A}$ en la primera etapa i el succés $B$ en la segona etapa.

Dos successos $M$ i $N$ són incompatibles (mútuament excloents) i tenen probabilitats estrictament més grans que zero. Poden ser independents? Justifica la teva resposta utilitzant la definició matemàtica d'independència.

En Marcos està repassant probabilitat per a l'examen i es troba amb dos esdeveniments, $A$ i $B$, tals que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0$. En el seu quadern escriu: «Com que la probabilitat de la intersecció és zero, significa que els dos esdeveniments no tenen res a veure l'un amb l'altre i, per tant, són independents». Explica detalladament quin és l'error conceptual d'en Marcos, demostra analíticament si aquests esdeveniments són o no independents calculant $P(A) \cdot P(B)$ i enuncia la regla general sobre la relació entre esdeveniments incompatibles amb probabilitats positives i independència.

Un ciclista recorre diàriament una avinguda en la qual ha de travessar dos semàfors els cicles dels quals estan regulats de manera totalment independent. La probabilitat de trobar el primer semàfor en verd és $P(S_1) = 0,7$ i la de trobar el segon en verd és $P(S_2) = 0,6$.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul, estima de manera raonada: la probabilitat de creuar almenys un dels dos semàfors en verd ($P(S_1 \cup S_2)$) serà més gran que $0,7$, menor que $0,6$ o estarà compresa entre $0,6$ i $0,7$? Per què?
2. b) Utilitza la fórmula de la unió per a esdeveniments independents per calcular el valor exacte de $P(S_1 \cup S_2)$ i comprova si la teva estimació inicial era correcta, interpretant el resultat.

En una competició de tir amb arc, l'arquera Alpha té una probabilitat de $0,8$ de fer diana al centre, mentre que l'arquer Beta té una probabilitat de $0,7$. Si tots dos disparan una fletxa de forma completament independent, calcula la probabilitat que tots dos encertin al centre de la diana.

Dues màquines, $M_1$ i $M_2$, envasen productes lactis en una fàbrica i funcionen de manera independent. La probabilitat que la màquina $M_1$ pateixi una avaria en un dia de producció és $0,05$, i la de la màquina $M_2$ és $0,08$. Calcula la probabilitat que, en un dia determinat, almenys una de les dues màquines pateixi una avaria.

En una ciutat costanera, la probabilitat que plogui un dissabte és del $40\%$, i la probabilitat que plogui un diumenge és del $30\%$. Suposant que el temps de diumenge és independent del temps de dissabte, troba la probabilitat que plogui durant el cap de setmana (és a dir, que plogui dissabte, diumenge o tots dos dies).

En un estudi estadístic sobre hàbits de lectura, s'ha enquestat $200$ persones. Els resultats mostren que $120$ llegeixen habitualment i $80$ no ho fan. A més, $90$ dels enquestats tenen estudis universitaris, dels quals $54$ llegeixen habitualment. Comprova matemàticament si els successos «llegir habitualment» i «tenir estudis universitaris» són independents en aquesta mostra.

Es tenen dues urnes amb la composició que es mostra a la figura. S'extreu a l'atzar una bola de l'urna $A$ i, de forma independent, una altra bola de l'urna $B$. Calcula la probabilitat que totes dues boles extretes siguin del mateix color.

Siguin $A$ i $B$ dos successos independents associats a un experiment aleatori. Es sap que la probabilitat de la unió és $P(A \cup B) = 0,88$ i la probabilitat de $A$ és $P(A) = 0,6$. Calcula la probabilitat del succés $B$.

En un hospital, un pacient es sotmet a dues proves diagnòstiques independents per detectar una al·lèrgia respiratòria. La prova $X$ dóna un fals negatiu (no detecta l'al·lèrgia quan el pacient sí que la pateix) amb una probabilitat de $0,15$. La prova $Y$ dóna un fals negatiu amb una probabilitat de $0,10$. Si el pacient analitzat és realment al·lèrgic, quina és la probabilitat que cap de les dues proves no detecti la seva al·lèrgia?

Un estudiant ha de realitzar un examen de tipus test. La probabilitat que sàpiga la resposta correcta a una pregunta d'Història és $0,7$, i la probabilitat que sàpiga la resposta a una de Geografia és $0,8$. Si li fan una pregunta de cada matèria i els seus coneixements sobre aquestes són independents, quina és la probabilitat que sàpiga respondre exactament a una de les dues preguntes?

En un habitatge s'instal·la un sistema de seguretat redundant amb dos sensors independents, $A$ i $B$. El fabricant garanteix que el sensor $A$ té una probabilitat de detectar un intrús de $P(A) = 0,8$. La normativa de seguretat exigeix que la probabilitat total que salti l'alarma (és a dir, que s'activi almenys un dels dos sensors, $P(A \cup B)$) sigui exactament de $0,96$. Sabent que tots dos dispositius operen de manera independent, planteja l'equació corresponent a partir de la fórmula de la unió i determina quina probabilitat de detecció $P(B)$ ha de tenir com a mínim el sensor $B$ per complir aquesta normativa.

A partir dels registres històrics d'una estació meteorològica del nord d'Espanya recopilats per l'AEMET durant la tardor, s'estima que en un dia qualsevol la probabilitat de pluja és $P(L) = 0,60$ i la probabilitat de registrar ratxes de vent fort és $P(V) = 0,40$. Així mateix, les dades revelen que plou i fa vent fort alhora en el $30\,\%$ de les jornades ($P(L \cap V) = 0,30$).

1. a) Determina de manera rigorosa mitjançant la definició matemàtica si els esdeveniments «ploure» i «fer vent fort» són estadísticament independents en aquesta comarca.
2. b) Un veí sosté: «Com que a la tardor els temporals porten vent i pluja plegats, ambdós fenòmens no poden ser independents». Explica si el resultat numèric obtingut a l'apartat anterior dona suport a l'afirmació del veí, comparant el solapament real amb el que s'esperaria si fossin independents.

Un sistema de seguretat bancària d'alta tecnologia consta de tres sensors de moviment que operen de forma totalment independent. Les probabilitats que cada sensor detecti un intrús que entra a la cambra forta són $0,90$, $0,85$ i $0,95$, respectivament. Calcula la probabilitat que el sistema detecti un intrús (és a dir, que almenys un sensor s'activi).

Es consideren dos successos $A$ i $B$ d'un mateix espai mostral tals que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cup B) = 0,8$. Demostra analíticament que els successos $A$ i $B$ no són independents i, a continuació, calcula la probabilitat condicionada $P(A|B)$.

Un circuit electrònic per a un satèl·lit de comunicacions està format per tres components $A$, $B$ i $C$ disposats com mostra el diagrama. El circuit funciona correctament si el component $A$ funciona I, a més, funciona almenys un dels components $B$ o $C$. Els tres components fallen de forma independent amb probabilitats $P(F_A) = 0,02$, $P(F_B) = 0,1$ i $P(F_C) = 0,1$. Calcula la probabilitat que el circuit en conjunt funcioni correctament.

En una acadèmia d'idiomes s'ofereixen classes de francès i alemany. El $60\%$ dels alumnes estudia francès. Es sap que els successos "estudiar francès" i "estudiar alemany" són totalment independents. Si la probabilitat que un alumne triat a l'atzar no estudiï cap dels dos idiomes és del $12\%$, determina quin percentatge dels alumnes de l'acadèmia estudia alemany.

Una caixa conté $3$ fitxes verdes (V) i $2$ fitxes taronges (N). Es faran dues extraccions consecutives. Analitza els diagrames d'arbre corresponents a realitzar l'experiment amb reemplaçament (Panell A) i sense reemplaçament (Panell B). Calcula la probabilitat d'extreure una fitxa verda en la segona extracció en tots dos casos i explica matemàticament en quin dels dos escenaris el resultat de la segona extracció és independent del resultat de la primera.

Demostra analíticament que si dos successos $A$ i $B$ són independents, aleshores els seus successos contraris $\overline{A}$ i $\overline{B}$ també són independents. Utilitza per a això les propietats algebraiques de la probabilitat i la definició fonamental d'independència.

En un creuament genètic mendelià, el color de la llavor (groc dominant, verd recessiu) i la textura d'aquesta (llisa dominant, rugosa recessiva) s'hereden de forma absolutament independent. Si es creuen dues plantes heterozigotes per a tots dos caràcters, la probabilitat d'heretar l'al·lel recessiu de cada progenitor per a un únic gen és de $0,5$. Calcula la probabilitat que una planta descendent triada a l'atzar tingui llavors verdes i rugoses simultàniament.

Dues amigues, Carmen i Daniela, tiren alternativament un dau equilibrat de sis cares en un joc. Guanya la partida la primera jugadora que obtingui un $6$. Si Carmen té el primer torn i tiren de forma independent, calcula la probabilitat exacta que Carmen guanyi el joc en el seu primer o en el seu segon llançament.

El servei informàtic d'una conselleria d'educació disposa de 4 servidors de suport idèntics i independents per gestionar les sol·licituds de matrícula telemàtica. Durant el dia d'obertura, la probabilitat que un servidor concret col·lapsi per sobrecàrrega és $p = 0,15$. El sistema general roman accessible sempre que «almenys un dels quatre servidors continuï operatiu».

Per calcular la probabilitat que el sistema es mantingui accessible, dos tècnics proposen mètodes diferents:

• La Belén suggereix calcular per separat i sumar les probabilitats que funcionin exactament 1, exactament 2, exactament 3 i els 4 servidors.

• En Carlos proposa calcular la probabilitat que fallin els 4 servidors de manera simultània i restar aquest valor a $1$.

1. a) Compara raonadament tots dos mètodes explicant quin és més avantatjós i per què en aquest cas.
2. b) Aplica l'estratègia més eficient per calcular la probabilitat exacta (amb quatre xifres decimals) que el sistema informàtic no caigui.

En un laboratori farmacèutic s'avaluen dues proves analítiques independents, $T_1$ i $T_2$, per identificar un compost químic en una mostra. La prova $T_1$ té una probabilitat de detecció del $70\,\%$ ($P(T_1) = 0,7$), mentre que la prova $T_2$ té una probabilitat desconeguda $p = P(T_2)$.

L'investigador Diego afirma en el seu informe preliminar: «Per aconseguir que la probabilitat de detectar el compost amb almenys una de les dues proves sigui del $95\,\%$, n'hi ha prou que $T_2$ tingui una probabilitat de detecció de $0,25$, ja que $0,70 + 0,25 = 0,95$».

1. a) Localitza i raona l'error conceptual que comet en Diego en ignorar la independència de les proves.
2. b) Planteja l'equació correcta sota la condició d'independència i aïlla el valor exacte de la probabilitat $p = P(T_2)$ que realment es necessita per assolir aquest $95\,\%$ d'efectivitat combinada.
3. c) Si el fabricant del test $T_2$ només comercialitza una versió estàndard amb $P(T_2) = 0,80$, calcula quina és la probabilitat real màxima de detecció combinada ($P(T_1 \cup T_2)$) que es pot assolir utilitzant ambdues anàlisis alhora.