Exercicis: Dependència

En una urna hi ha $5$ boles vermelles i $3$ boles blaves. S'extreuen dues boles consecutivament i sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que la primera bola sigui vermella i la segona sigui blava.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extreuen dues cartes a l'atzar una rere l'altra i sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que totes dues cartes siguin reis?

Es consideren dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori. Sabem que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Comprova matemàticament si els successos $A$ i $B$ són independents.

Tirem dos daus normals de sis cares. Sabent que la suma de les puntuacions obtingudes és $8$, quina és la probabilitat que en un dels daus hagi sortit un $3$?

Observa el diagrama d'arbre següent que representa un experiment compost en dues etapes. Calcula la probabilitat d'obtenir el resultat final $C$ passant per la branca $A$.

En una classe de $30$ alumnes, $18$ estudien francès, $12$ estudien alemany i $5$ estudian tots dos idiomes. Si es tria un alumne a l'atzar i resulta que estudia francès, quina és la probabilitat que també estudiï alemany?

Es treu una carta d'una baralla espanyola i, a continuació, es tira una moneda enlaire. Són aquests dos successos dependents o independents? Calcula la probabilitat d'obtenir un "As" a la baralla i "Cara" a la moneda.

Una moneda està trucada de manera que la probabilitat d'obtenir Cara és $0,7$. Es tira la moneda dues vegades consecutives. Calcula la probabilitat d'obtenir exactament una Cara i una Creu (en qualsevol ordre).

En Marcos té en un calaix $5$ mitjons negres i $3$ mitjons blaus, tots solts i idèntics al tacte. Es disposa a treure dos mitjons consecutivament, a les fosques i sense reemplaçament. Per calcular la probabilitat que el primer mitjó sigui negre i el segon sigui blau, en Marcos escriu al seu quadern:

«$P(\text{Negre al 1r}) = \frac{5}{8}$ i $P(\text{Blau al 2n}) = \frac{3}{8}$. Com que són dos esdeveniments independents, multiplico ambdues probabilitats: $P(\text{Negre i Blau}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$».

1. a) Assenyala l'error conceptual que ha comès en Marcos i explica amb les teves paraules per què dues extraccions consecutives sense reemplaçament no es poden tractar com a esdeveniments independents.
2. b) Corregeix el càlcul aplicant la regla del producte per a esdeveniments dependents: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.
3. c) Calcula la probabilitat que els dos mitjons extrets siguin del mateix color.

En un grup de $30$ estudiants de 4t d'ESO es fa una enquesta sobre aficions: $18$ juguen habitualment a videojocs, $12$ practiquen esport federat i $6$ fan ambdues activitats.

1. a) Si es tria un estudiant a l'atzar de tota la classe, calcula la probabilitat a priori que practiqui esport federat, $P(D)$.
2. b) Abans de fer cap càlcul formal, estima raonadament: si triem a l'atzar un estudiant únicament entre els que juguen a videojocs, la probabilitat que practiqui esport federat serà més gran, igual o més petita que l'obtinguda en l'apartat anterior? Justifica la teva predicció comparant la proporció global amb la del subgrup.
3. c) Comprova numèricament la teva estimació calculant la probabilitat condicionada $P(D \mid V)$ mitjançant la seva definició $P(D \mid V) = \frac{P(D \cap V)}{P(V)}$. Confirma el resultat exacte el teu raonament previ?

En una fàbrica, la màquina A produeix el $60\%$ de les peces i la màquina B produeix el $40\%$ restant. Es sap que el $2\%$ de les peces produïdes per A són defectuoses, mentre que a la màquina B el percentatge de defectuoses és del $5\%$. Si es tria una peça a l'atzar del magatzem, quina és la probabilitat que hagi estat fabricada per la màquina B i sigui defectuosa?

Un jugador de bàsquet té un percentatge d'encert del $80\%$ en el primer tir lliure. Si encerta el primer, la seva confiança augmenta i la probabilitat d'encertar el segon tir lliure puja al $90\%$. En canvi, si falla el primer, es posa nerviós i la probabilitat d'encertar el segon baixa al $60\%$. Calcula la probabilitat que el jugador encistelli exactament un tir lliure en una sèrie de dos llançaments.

En un poble, el $45\%$ dels habitants llegeix el diari X, el $35\%$ llegeix el diari Y, i un $15\%$ llegeix tots dos diaris. Si triem un habitant a l'atzar i sabem que llegeix el diari X, quina és la probabilitat que també llegeixi el diari Y? A la vista dels resultats, raona si els successos "llegir el diari X" i "llegir el diari Y" són independents.

Tenim dues caixes. La CAIXA I conté $4$ boles verdes i $2$ grogues. La CAIXA II conté $3$ boles verdes i $5$ grogues. Traiem una bola a l'atzar de la CAIXA I i la introduïm a la CAIXA II. A continuació, barregem bé i traiem una bola de la CAIXA II. Quina és la probabilitat que totes dues boles extretes siguin verdes?

D'una caixa que conté $10$ bombetes, es sap que $3$ d'elles estan fosses. S'extreuen $3$ bombetes consecutivament i sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que exactament una de les bombetes extretes estigui fossa?

En una clínica es fa una prova ràpida d'al·lèrgia. Es sap que el $8\%$ dels pacients són al·lèrgics a una substància determinada. La prova dona un resultat positiu en el $90\%$ dels pacients que realment són al·lèrgics. En canvi, també dona un fals positiu en el $5\%$ dels pacients que no són al·lèrgics. Es tria un pacient a l'atzar i se li fa la prova. Quina és la probabilitat que el resultat sigui positiu?

Dos arquers tiren una fletxa a la mateixa diana. L'arquer A encerta amb una probabilitat de $0,7$ i l'arquer B encerta amb una probabilitat de $0,8$. Els seus tirs són totalment independents. Quina és la probabilitat que la diana sigui assolida per almenys una fletxa?

En una prestatgeria hi ha $5$ novel·les i $3$ llibres de poesia. Es trien dos llibres a l'atzar un rere l'altre i sense reemplaçament. Si el segon llibre triat ha resultat ser de poesia, quina és la probabilitat que el primer llibre triat també ho fos?

Segons dades de mobilitat inspirades en la Dirección General de Tráfico (DGT) per a una operació sortida, en una província el $70\%$ dels desplaçaments interurbans es fan per autovia ($A$) i el $30\%$ restant per carreteres convencionals secundàries ($S$). Se sap que la probabilitat de patir una retenció greu ($R$) és de $0,15$ si se circula per autovia, mentre que en carretera secundària aquesta probabilitat es redueix a $0,05$.

1. a) Modela la situació construint un diagrama d'arbre complet que reflecteixi els successos de cada etapa i les seves probabilitats associades (a priori i condicionades).
2. b) Utilitza el teorema de la probabilitat total per calcular la probabilitat que un conductor triat a l'atzar en aquesta jornada pateixi una retenció greu.
3. c) Si un conductor arriba a la seva destinació després d'haver patit una retenció greu, quina és la probabilitat que hagi fet el viatge per autovia? Interpreta per què aquest percentatge resulta tan elevat tot i que les autovies estan dissenyades per suportar més fluïdesa de trànsit.

En una urna opaca hi ha $10$ boles idèntiques al tacte, de les quals $r$ són vermelles i la resta són blanques. S'extreuen a l'atzar dues boles consecutivament i sense reemplaçament.

1. a) Sabent que la probabilitat que les dues boles extretes siguin vermelles és exactament igual a $\frac{1}{15}$, planteja una equació algebraica en funció de $r$ utilitzant la regla del producte per a successos dependents i resol per trobar quantes boles de cada color contenia l'urna al principi.
2. b) Amb la composició de l'urna ja deduïda, calcula la probabilitat que la segona bola sigui blanca sabent que la primera bola extreta ha estat vermella, $P(B_2 \mid R_1)$.
3. c) Demostra matemàticament si el succés «obtenir bola blanca a la segona extracció» és dependent o independent del resultat obtingut a la primera, comparant $P(B_2 \mid R_1)$ amb la probabilitat a priori d'obtenir blanca a la primera extracció, $P(B_1)$.

Tenim tres cofres idèntics per fora. El COFRE A conté $2$ monedes d'or i $1$ de plata. El COFRE B conté $1$ moneda d'or i $3$ de plata. El COFRE C conté $4$ monedes d'or. Tirem un dau equilibrat: si surt $1$ o $2$, triem el cofre A; si surt $3$, triem el cofre B; si surt $4$, $5$ o $6$, triem el cofre C. A continuació, extreiem una moneda a l'atzar del cofre triat. Quina és la probabilitat que la moneda extreta sigui d'or?

En un institut, el $55\%$ de l'alumnat són noies. Es sap que el $20\%$ de les noies i el $25\%$ dels nois participen activament en el club de teatre. Si es tria a l'atzar un estudiant que participa en el club de teatre, quina és la probabilitat que sigui una noia?

En una urna hi ha $x$ boles vermelles i $5$ boles negres. S'extreuen dues boles consecutivament i sense reemplaçament. Sabent que la probabilitat que totes dues boles siguin vermelles és exactament $\frac{1}{6}$, planteja una equació i determina el nombre de boles vermelles $x$ que hi ha a l'urna.

Un sistema de seguretat informàtic té dos tallafocs independents. La probabilitat que el tallafocs A falli davant d'un atac és $0,15$ i la probabilitat que falli el tallafocs B és $0,10$. El sistema es veu compromès només si tots dos tallafocs fallen. Quina és la probabilitat que el sistema resisteixi un atac? Si s'afegeix un tercer tallafocs C idèntic al B i independent dels anteriors, quant augmenta la probabilitat que el sistema resisteixi l'atac?

Un jugador extreu cartes d'una baralla espanyola de $40$ cartes, una a una i sense reemplaçament, fins que surt una figura (sota, cavall o rei). Quina és la probabilitat que hagi d'extreure exactament $3$ cartes per aconseguir el seu objectiu?

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori tals que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cup B) = 0,7$. Utilitzant les propietats de la probabilitat, troba el valor de la intersecció i calcula $P(A|B)$ i $P(B|A)$. Són $A$ i $B$ successos independents? Raona la teva resposta.

Una bossa opaca conté $10$ paperetes idèntiques al tacte: $2$ de les quals tenen premi i $8$ estan en blanc. Tres amics, Fátima, Bruno i Ionut, extreuen consecutivament i sense reemplaçament una papereta cadascun en aquest mateix ordre. Quina és la probabilitat que el primer premi que surti el tregui Ionut?

Tenim dos daus cúbics en un gobellet. El primer és un dau normal amb les cares numerades del $1$ al $6$. El segon és un dau trucat que té tres cares amb un $2$, dues cares amb un $3$ i una cara amb un $5$. Es tria un dau a l'atzar (amb probabilitat $\frac{1}{2}$ per a cadascun) i es tira. Si el resultat obtingut és un nombre parell, quina és la probabilitat que s'hagi tirat el dau trucat?

En un centre de salut escolar s'avalua la fiabilitat d'un test de diagnòstic ràpid per detectar una infecció asimptomàtica. Les dades epidemiològiques indiquen que la prevalença de la infecció a la població diana és del $2\%$ ($0,02$). La sensibilitat de la prova és del $95\%$ (si una persona està infectada, dona positiu amb probabilitat $0,95$) i la taxa de falsos positius és del $5\%$ (si una persona està sana, dona positiu per error amb probabilitat $0,05$). Es vol calcular la probabilitat que una persona amb resultat positiu estigui realment infectada, $P(I \mid +)$.

Dos estudiants proposen mètodes de resolució diferents:

• Mètode 1 (Formal analític): Definir successos, calcular la probabilitat total $P(+)$ sumant les dues branques de l'arbre i aplicar el teorema de Bayes: $P(I \mid +) = \frac{P(I \cap +)}{P(+)}$.

• Mètode 2 (Taula de contingència amb freqüències naturals): Suposar una població hipotètica de $10.000$ persones, repartir-les en una taula de doble entrada de $2 \times 2$ segons el seu estat real i el test, i calcular el quocient directe d'infectats entre el total de positius.

1. a) Resol el problema aplicant ambdós mètodes i comprova que s'arriba exactament al mateix valor numèric (arrodoneix el resultat a una xifra decimal en percentatge).
2. b) Compara críticament ambdós camins: quin dels dos mètodes consideres més adequat i comprensible per explicar a un pacient sense formació matemàtica per què un test amb un «$95\%$ d'encert» produeix una probabilitat real d'estar malalt tan inesperadament baixa? Justifica la teva elecció explicant el paper que tenen els falsos positius en el denominador.

En una causa penal s'analitza una mostra biològica trobada al lloc dels fets. L'informe forense conclou que només $1$ de cada $100.000$ persones triades a l'atzar comparteix aquest perfil genètic; és a dir, la probabilitat de coincidència accidental en un individu innocent és $P(\text{Coincidència} \mid \text{Innocent}) = 0,00001$.

El fiscal del judici acusa el sospitós Pedro argumentant el següent: «Atès que l'ADN d'en Pedro coincideix plenament amb la mostra, la probabilitat que sigui innocent és de tot just el $0,001\%$, per la qual cosa la seva culpabilitat queda provada amb una certesa del $99,999\%$.»

El jutge sol·licita un peritatge assumint que el delicte es va cometre en una ciutat tancada de $500.000$ habitants adults, entre els quals es troba l'únic culpable, i sabent que en Pedro va ser identificat únicament per residir a la ciutat i sotmetre's a un cribratge general, sense que existeixin més proves en contra seva.

1. a) Identifica el greu error conceptual comès pel fiscal (conegut com a «fal·làcia del fiscal»), explicant amb claredat quines dues probabilitats condicionades diferents ha confós i escrivint cadascuna amb la seva notació simbòlica $P(\dots \mid \dots)$.
2. b) Utilitzant el teorema de Bayes o deduint el nombre esperat de coincidències en la població de $500.000$ habitants, calcula la probabilitat real que en Pedro sigui culpable sabent que el seu ADN ha coincidit: $P(\text{Culpable} \mid \text{Coincidència})$.
3. c) Redacta una conclusió adreçada al tribunal en què justifiquis, basant-te en el resultat numèric obtingut, per què la prova d'ADN per si sola resulta insuficient per condemnar l'acusat sense proves addicionals.