Exercicis: Arbres

Una caixa conté $4$ boles vermelles i $6$ boles blaves. S'extreu una bola a l'atzar, se n'anota el color, es retorna a la caixa i s'extreu una segona bola. Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent i calcula la probabilitat d'obtenir dues boles blaves.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una cafeteria ofereixen dos tipus de menú: el $60\,\%$ dels clients tria el menú del dia i el $40\,\%$ tria el menú vegetarià. Dels que trien el menú del dia, el $70\,\%$ demana cafè de postres. Dels que trien el menú vegetarià, el $80\,\%$ demana te. Calcula la probabilitat que un client triat a l'atzar hagi pres el menú del dia i a més hagi demanat cafè.

Completa el diagrama d'arbre següent que representa el llançament d'una moneda trucada dues vegades consecutives, sabent que la probabilitat de treure cara és $\frac{1}{3}$. A partir de l'arbre, calcula la probabilitat d'obtenir primer cara i després creu.

En un armari hi ha $5$ samarretes blanques i $3$ negres. Es trien dues samarretes a l'atzar, una rere l'altra i sense retornar la primera a l'armari. Calcula la probabilitat que totes dues samarretes siguin blanques.

Tirem un dau de sis cares i, a continuació, extreiem una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Si al dau surt un nombre parell, guanyem si traiem un rei. Si al dau surt un nombre senar, guanyem si traiem un as. Calcula la probabilitat de treure un nombre parell al dau i, a més, guanyar.

Per anar a la feina, la Yasmin pot anar en autobús (amb probabilitat $0,7$) o en bicicleta (amb probabilitat $0,3$). Si va en autobús, la probabilitat d'arribar tard és $0,2$. Si va en bicicleta, la probabilitat d'arribar tard és $0,05$. Quina és la probabilitat que la Yasmin vagi en bicicleta i arribi puntual?

En una urna hi ha $2$ boles verdes i $3$ boles grogues. Extreiem una bola, la mirem i la deixem fora. Després extreiem una altra bola. Quina és la probabilitat que la primera sigui verda i la segona groga?

Un jugador de bàsquet té una probabilitat de $0,8$ d'encistellar un tir lliure. Si tira dos tirs lliures de forma independent, dibuixa l'arbre de probabilitats i determina quina és la probabilitat que falli tots dos llançaments.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una bossa hi ha $3$ fitxes negres i $2$ de blanques. S'extreuen dues fitxes successivament i sense reemplaçament. Per calcular la probabilitat que la segona fitxa sigui blanca, en Lucas dibuixa un diagrama d'arbre. En la segona etapa observa dues branques que acaben en «blanca»: una amb probabilitat $\frac{1}{4}$ (si la primera ha estat blanca) i una altra amb probabilitat $\frac{2}{4}$ (si la primera ha estat negra). En Lucas conclou: «Com que ambdues branques acaben en blanca, la probabilitat total que la segona fitxa sigui blanca és $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$».\na) Explica detalladament l'error conceptual de raonament que comet en Lucas en sumar directament aquestes dues branques del segon nivell.\nb) Corregeix el seu càlcul utilitzant adequadament les probabilitats dels camins complets de l'arbre i compara el resultat amb la probabilitat d'haver tret blanca en la primera extracció. Quina conclusió obtens?

En el disseny d'un videojoc d'aventures, un cofre pot tenir trampa (amb probabilitat $0,3$) o contenir una recompensa (amb probabilitat $0,7$). Si té trampa, la probabilitat que l'heroi la desactivi amb èxit és de $0,2$. Si conté una recompensa, aquesta pot estar intacta o deteriorada pel pas del temps.\nPer equilibrar la dificultat, el desenvolupador necessita que la probabilitat total que el jugador «aconsegueixi una recompensa intacta o desactivi la trampa amb èxit» sigui exactament de $0,62$.\na) Dibuixa el diagrama d'arbre de la situació identificant les etapes, les branques i denotant per $p$ la probabilitat condicionada que «la recompensa estigui intacta sabent que no hi havia trampa».\nb) Planteja i resol una equació sobre les branques de l'arbre per trobar el valor exacte que ha de tenir $p$.

En una fàbrica de components electrònics, tres màquines (A, B i C) produeixen el $50\,\%$, el $30\,\%$ i el $20\,\%$ de les peces, respectivament. Els percentatges de peces defectuoses produïdes per cada màquina són el $2\,\%$, el $4\,\%$ i el $5\,\%$. Recolza't en el diagrama d'arbre per calcular la probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa.

En un partit de tennis, si el primer servei d'un jugador entra al quadre (probabilitat $0,6$), guanya el punt amb probabilitat $0,7$. Si el primer servei falla, fa un segon servei que entra amb probabilitat $0,8$. Si el segon servei entra, guanya el punt amb probabilitat $0,5$. Si el segon servei també falla, comet doble falta i perd el punt automàticament. Calcula la probabilitat total que el jugador guanyi el punt en aquest servei.

Tenim dues urnes. La urna A conté $3$ boles vermelles i $2$ negres. La urna B conté $4$ boles vermelles i $5$ negres. Tirem una moneda enlaire: si surt cara, extreiem una bola de la urna A; si surt creu, extreiem una bola de la urna B. Quina és la probabilitat que la bola extreta sigui vermella?

Un estudiant ha de fer dos exàmens el mateix dia. La probabilitat d'aprovar el primer és $0,6$. Si aprova el primer, es motiva i la probabilitat d'aprovar el segon puja a $0,8$. En canvi, si suspèn el primer, es desanima i la probabilitat d'aprovar el segon baixa a $0,3$. Construeix el diagrama d'arbre i calcula la probabilitat que aprovi almenys un dels dos exàmens.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una prova de diagnòstic per a una al·lèrgia, el $5\,\%$ de la població realment té l'al·lèrgia. Si una persona té l'al·lèrgia, el test dona positiu el $90\,\%$ de les vegades. Si no la té, el test dona negatiu el $95\,\%$ de les vegades. Dibuixa un diagrama d'arbre per il·lustrar la situació i calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar obtingui un resultat positiu en el test.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una bossa conté $5$ boles blanques i $4$ boles negres. S'extreuen boles d'una en una i sense reemplaçament fins que surti una bola negra. Quina és la probabilitat d'haver de fer exactament tres extraccions perquè el joc acabi?

El clima en una ciutat costanera segueix un patró curiós: si un dia està assolellat, la probabilitat que l'endemà plogui és $0,2$. Si un dia plou, la probabilitat que l'endemà continui plvent és $0,6$. Sabent que avui és dilluns i està assolellat, quina és la probabilitat que dimecres plogui? Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent als dies dimarts i dimecres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es disposa d'una baralla espanyola de $40$ cartes. S'extreuen tres cartes consecutivament sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les tres cartes siguin del mateix coll (or, copes, espases o bastos).

Segons els registres de l'AEMET en una localitat del nord, al novembre plou el $10\,\%$ dels dies. Les dades de l'empresa municipal de transports indiquen que, si plou, la probabilitat que una línia d'autobús pateixi un retard notable és de $0,40$; en canvi, si no plou, aquesta probabilitat es redueix a $0,05$.\na) Abans de calcular res, estima intuïtivament: si un dia qualsevol de novembre aquesta línia pateix un retard notable, creus que és més probable que hagi plogut o que no hagi plogut? Justifica breument la teva intuïció considerant el pes de cada tipus de dia.\nb) Modela la situació amb un diagrama d'arbre i calcula la probabilitat total que l'autobús pateixi un retard notable en un dia de novembre.\nc) Calcula mitjançant el teorema de Bayes la probabilitat que hagi plogut sabent que l'autobús ha arribat amb retard. Comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) era encertada o si has patit la «fal·làcia de la taxa base».

Segons dades de la DGT sobre l'examen pràctic de conduir, en una determinada província el $45\,\%$ dels aspirants aprova en la seva primera convocatòria. Aquells que suspenen es presenten a una segona convocatòria després de fer pràctiques de reforç, i aconsegueixen aprovar en aquest segon intent el $60\,\%$ d'ells. Els qui suspenen la segona convocatòria no continuen aquell any.\na) Modela tot el procés mitjançant un diagrama d'arbre, indicant en cada node i branca els successos («aprova a la 1a», «suspèn a la 1a», «aprova a la 2a», «suspèn a la 2a») i les seves probabilitats associades.\nb) Quin percentatge total d'aspirants aconsegueix el carnet de conduir en un màxim de dues convocatòries?\nc) Si seleccionem a l'atzar una persona que ha aconseguit el carnet en aquest procés, quina és la probabilitat que ho hagi aconseguit a la primera convocatòria? Interpreta què significa aquest valor per a la gestió de les llistes d'espera de l'autoescola.

Es tenen dues caixes. La caixa 1 conté $4$ fitxes blaves i $2$ vermelles. La caixa 2 conté $3$ fitxes blaves i $5$ vermelles. S'extreu una fitxa a l'atzar de la caixa 1 i s'introdueix a la caixa 2. A continuació, s'extreu una fitxa de la caixa 2. Calcula la probabilitat que la fitxa extreta de la caixa 2 sigui blava.

En una urna hi ha $x$ boles blanques i $4$ boles negres. S'extreuen dues boles sense reemplaçament. Sabent que la probabilitat que totes dues boles siguin blanques és $\frac{1}{3}$, planteja l'equació corresponent recolzant-te en un diagrama d'arbre i determina el nombre inicial de boles blanques $x$.

Dos equips d'e-sports, Alpha i Beta, juguen la final d'un torneig al millor de tres partides (el primer que guanyi dues partides és el campió). Alpha és millor equip, per la qual cosa la seva probabilitat de guanyar qualsevol partida és $0,6$. Les partides no poden acabar en empat. Dibuixa el diagrama d'arbre dels possibles desenvolupaments de la final i calcula la probabilitat que l'equip Beta guanyi el torneig.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un sistema d'alarma d'una cambra acorassada té 3 sensors de moviment. La probabilitat que el sensor A falli davant d'una intrusió és $0,1$; la que falli el sensor B és $0,05$; i la que falli el sensor C és $0,2$. Els sensors actuen de forma totalment independent. Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent i calcula la probabilitat que, davant d'una intrusió real, almenys un sensor s'activi i faci sonar l'alarma.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una ciutat, el $20\,\%$ dels conductors són joves (menors de 25 anys) i el $80\,\%$ són adults. La probabilitat que un conductor jove tingui un accident en un any és $0,15$, mentre que per a un adult és $0,05$. Es selecciona un conductor a l'atzar i resulta que ha tingut un accident aquest any. Utilitzant les branques d'un diagrama d'arbre, calcula la probabilitat que aquest conductor sigui jove. (Expressa el resultat com a fracció irreductible).

En un joc de taula, un jugador ha de superar un fossar saltant sobre tres plataformes succesives. La probabilitat de lliscar en la primera plataforma és $\frac{1}{10}$. Si supera la primera, la probabilitat de lliscar en la segona és $\frac{1}{5}$. Si supera la segona, la probabilitat de lliscar en la tercera és $\frac{1}{4}$. Si llisca en qualsevol plataforma, cau al fossar i perd. Quina és la probabilitat que el jugador creui el fossar amb èxit? Si sabem que el jugador va caure al fossar, quina és la probabilitat que hagi caigut exactament en la segona plataforma?

Una urna conté $5$ boles numerades del $1$ al $5$. S'extreuen boles d'una en una, sense reemplaçament, fins que la suma dels nombres extrets sigui major o igual que $6$. Dibuixa el diagrama d'arbre amb totes les branques possibles sabent que en la primera extracció va sortir la bola amb el número $2$. A partir del teu arbre, calcula la probabilitat que el joc acabi exactament en la tercera extracció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una competició, un arquer disposa d'un màxim de tres fletxes per fer diana. La probabilitat d'encertar amb la primera fletxa és $0,4$. Si falla, ajusta el seu visor i la probabilitat d'encertar amb la segona és $0,6$. Si torna a fallar, es posa nerviós i la probabilitat d'encertar amb la tercera és $0,3$. L'arquer deixa de tirar en el moment en què encerta. Calcula la probabilitat que l'arquer necessiti fer més d'un tir sabent que finalment va aconseguir fer diana.

En una urna hi ha $5$ boles vermelles i $3$ boles blanques. S'extreuen successivament $3$ boles a l'atzar i sense reemplaçament. Es vol calcular la probabilitat d'obtenir almenys una bola blanca.\nTres estudiants proposen estratègies diferents utilitzant arbres:\n- L'Álvaro proposa dibuixar l'arbre complet de les tres extraccions ($2^3 = 8$ branques finals), identificar tots els camins que contenen una, dues o tres blanques i sumar les seves probabilitats.\n- La Beatriz proposa calcular el succés contrari («cap blanca», és a dir, tres vermelles seguides) mitjançant una única branca de l'arbre i restar la seva probabilitat a $1$.\n- En Carlos proposa un «arbre podat»: si en la primera o segona extracció surt blanca, atura aquesta branca (ja és èxit), i només ramifica quan surt vermella.\na) Desenvolupa i calcula la probabilitat demanada utilitzant el mètode de la Beatriz i el d'en Carlos, comprovant que tots dos condueixen exactament a la mateixa fracció irreductible.\nb) Compara amb rigor els tres mètodes: indica quants camins i multiplicacions exigeix calcular cadascun i justifica per què el mètode de l'Álvaro és el menys eficient i el més exposat a errors algebraics.\nc) Si l'enunciat demanés «obtenir exactament dues boles blanques», continuaria sent avantatjós el mètode del succés contrari de la Beatriz? Justifica quin mètode seria l'òptim en aquest cas.

Un filtre de seguretat analitza els correus entrants d'una entitat bancària. Se sap que el $10\,\%$ dels correus rebuts són fraudulents (phishing) i el $90\,\%$ són legítims. El sistema de detecció classifica correctament com a amenaça el $95\,\%$ dels correus que són phishing. Tanmateix, no és infal·lible amb els correus legítims: hi ha una probabilitat desconeguda $p$ de «fals positiu» (un correu legítim que el filtre marca erròniament com a amenaça).\nPer no col·lapsar l'equip de ciberseguretat amb falses alertes, la direcció exigeix que, quan el filtre llanci una alerta, la probabilitat que el correu sigui efectivament phishing sigui d'almenys el $90\,\%$.\na) Modela el problema mitjançant un diagrama d'arbre, deixant la probabilitat $p$ indicada a la branca corresponent als falsos positius.\nb) Obtén l'expressió algebraica, en funció de $p$, de la probabilitat que un correu sigui phishing sabent que el filtre ha llançat una alerta.\nc) Planteja i resol una inequació per determinar el valor màxim admisible de $p$. Explica per què, tot i que el filtre detecta el $95\,\%$ del phishing, la taxa de falsos positius $p$ s'ha de mantenir en un valor extraordinàriament baix.

Repte del tema. El temps d'ahir prediu el d'avui? Comprovaràs amb dades reals si la pluja a la teva localitat presenta esdeveniments dependents o independents.

1. Recollida: Entra al web d'AEMET i registra en un full de càlcul la precipitació diària del teu municipi durant els darrers $30$ dies. Defineix l'esdeveniment simple $L$: «dia amb pluja» ($>0,1$ mm).

2. Anàlisi: Calcula la probabilitat de $L$ i del seu contrari. Comptabilitza parells de dies consecutius per calcular les probabilitats condicionades $P(L_2|L_1)$ i $P(L_2|\overline{L}_1)$. Compara els valors amb $P(L)$ fent servir la condició d'independència $P(L_2|L_1)=P(L)$ i raona si la teva mostra suggereix esdeveniments dependents o independents (és una estimació provisional: només hi ha $30$ dies; si no hi ha cap dia amb pluja o cap sense pluja, amplia el període).

3. Modelització: Construeix un diagrama d'arbre amb aquestes probabilitats i calcula la probabilitat de l'esdeveniment compost «ploure dos dies seguits aquest cap de setmana».

4. Producte: Elabora un informe breu d'una pàgina amb el full de càlcul enllaçat, l'arbre resolt i una conclusió raonada sobre la fiabilitat de predir el clima amb aquest model.

Es valorarà:

• Càlcul correcte de probabilitats simples i condicionades a partir de dades reals d'AEMET.

• Justificació matemàtica raonada de la dependència o independència observada en la mostra, reconeixent-ne el caràcter provisional.

• Construcció adequada del diagrama d'arbre i resolució de l'esdeveniment compost.

• Claredat expositiva i ús correcte del full de càlcul i la notació probabilística.