Extracción de factores

Para extraer factores de una raíz, agrupamos los factores repetidos del radicando según indique el índice: en una raíz cuadrada (índice $2$), cada grupo de $2$ factores iguales sale fuera como uno solo; en una raíz cúbica (índice $3$), sale cada grupo de $3$.

Observa el siguiente esquema que representa $\sqrt[3]{x^4}$. Como $x^4 = x^3 \cdot x$, el grupo de $3$ sale fuera como una sola $x$ y el factor que sobra se queda dentro.

Siguiendo esta lógica, extrae todos los factores posibles de las siguientes raíces:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

Muchas veces nos encontramos números que no están factorizados. El primer paso siempre debe ser descomponer el número en factores primos.

Por ejemplo, para simplificar $\sqrt{12}$, primero pensamos que $12 = 2^2 \cdot 3$. Como el $2$ está elevado al cuadrado, puede "escapar" de la raíz cuadrada.

Descompón en factores primos y extrae todo lo que puedas de estas raíces cuadradas:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Tenemos una parcela de terreno cuadrada. Sabemos que su área es de $72 \text{ m}^2$, pero queremos saber cuánto mide exactamente su lado expresado de la forma más sencilla posible (extrayendo factores).

Recuerda que si el Área de un cuadrado es $l^2$, entonces el lado es $l = \sqrt{\text{Área}}$.

1. Factoriza el número 72.

2. Escribe $\sqrt{72}$ usando esos factores.

3. Extrae los números que están elevados al cuadrado.

Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales numéricos. Para ello, primero deberás realizar la descomposición factorial de los números que hay dentro de la raíz.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

A veces tenemos números y letras mezclados dentro de una raíz. El procedimiento es el mismo: trabajamos con el número por un lado y con cada letra por otro.

Simplifica los siguientes radicales extrayendo todos los factores posibles:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

No solo podemos extraer factores del numerador, también podemos hacerlo del denominador si tenemos fracciones dentro de la raíz.

Si tenemos $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$, podemos sacar factores de arriba y de abajo de forma independiente. En este ejemplo, $b^2$ sale fuera como $b$ en el denominador, y de $a^3$ sacamos una $a$ en el numerador: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Intenta simplificar estas expresiones:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Pista: factoriza el 27 y déjalo en el denominador)

Simplifica los siguientes radicales que contienen variables. Recuerda que para poder extraer una variable, su exponente debe ser igual o mayor que el índice de la raíz.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

Vamos a jugar al proceso inverso para comprobar si has entendido la extracción. Si yo tengo un factor fuera de la raíz y quiero meterlo dentro, tengo que elevarlo al índice de la raíz.

Por ejemplo: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Relaciona en tu cuaderno cada expresión simplificada de la izquierda con su raíz original de la derecha (no hace falta que calcules, solo razona qué número ha salido):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas realizando la extracción de factores necesaria:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes. A simple vista, los siguientes radicales parecen diferentes. Extrae factores de cada uno de ellos para comprobar si su parte radical es la misma y, de ser así, exprésalos de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Simplifica las siguientes fracciones con radicales extrayendo factores tanto del numerador como del denominador. Si es posible, simplifica la fracción resultante:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$