Exercicis: Propietats dels radicals i racionalització

Extreu tots els factors possibles dels radicals següents:

1. a) $\sqrt{72}$
2. b) $\sqrt[3]{250}$

Introdueix els factors enters dins del radical i simplifica si és possible:

1. a) $3 \sqrt{5}$
2. b) $2 \sqrt[4]{3}$

Simplifica els radicals següents dividint l'índex i l'exponent pel seu màxim comú divisor:

1. a) $\sqrt[6]{27}$
2. b) $\sqrt[8]{16}$

Efectua les multiplicacions següents de radicals amb el mateix índex i extreu factors si és possible:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Efectua les sumes i restes següents de radicals semblants:

1. a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
2. b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$

Racionalitza el denominador de les fraccions següents i simplifica el resultat:

1. a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
2. b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Racionalitza les expressions següents multiplicant pel conjugat del denominador:

1. a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
2. b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Expressa com un únic radical i simplifica el resultat:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$

La Lucía ha de racionalitzar la fracció $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$ en una tasca de classe. Al seu quadern fa el càlcul següent:

En veure que el denominador continua tenint una arrel, afegeix el comentari següent: «No es pot racionalitzar perquè en multiplicar per la mateixa arrel sempre queda un altre radical».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet la Lucía en triar el factor multiplicador. Explica per què el seu mètode funciona amb arrels quadrades però falla amb arrels cúbiques.
2. b) Basant-te en les propietats de les potències, explica quin exponent necessita assolir el radicand sota l'arrel cúbica perquè es cancel·li el radical i determina per quina expressió exacta hauria d'haver multiplicat el numerador i el denominador.
3. c) Corregeix l'exercici fent la racionalització i simplifica la fracció resultant al màxim.

Considera l'expressió amb radicals $E = \sqrt{75} - \sqrt{12}$.

1. a) Estima: Sense recórrer a la calculadora ni extreure factors, acota $\sqrt{75}$ entre dos nombres enters consecutius identificant els quadrats perfectes que l'envolten. Fes el mateix amb $\sqrt{12}$. Amb aquestes dues acotacions, estima raonadament entre quins dos nombres enters s'ha de trobar el valor d'$E$.
2. b) Calcula: Descompon els radicands $75$ i $12$ en factors primers, extreu tots els factors possibles per expressar tots dos termes com a radicals semblants i efectua la resta, deixant el resultat exacte en la forma $k\sqrt{3}$ amb $k \in \mathbb{N}$.
3. c) Comprova: Prenent l'aproximació $\sqrt{3} \approx 1,73$, troba el valor decimal del resultat obtingut a l'apartat b) i jutja si la teva estimació inicial de l'apartat a) era correcta i coherent.

Efectua la següent operació, extraient primer els factors necessaris perquè els radicals siguin semblants:

$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$

Redueix a índex comú i efectua la següent multiplicació i divisió de radicals:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$

Racionalitza les fraccions següents amb arrels d'índex superior a 2:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
2. b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

Racionalitza el denominador i simplifica al màxim la següent expressió:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

En un taller de fusteria, es tallarà un tauler rectangular les dimensions exactes del qual són $\sqrt{12}$ dm d'amplada i $\sqrt{27}$ dm de llargada. Calcula l'àrea i el perímetre del tauler, expressant els resultats de manera exacta mitjançant radicals simplificats.

La velocitat $v$ (en m/s) d'una ona que viatja per una corda tensa es calcula amb la fórmula $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, on $F$ és la tensió en newtons i $\mu$ la densitat lineal en kg/m. Si una corda de guitarra està sotmesa a una tensió $F = 12$ N i té una densitat $\mu = 5$ kg/m, troba el valor exacte de $v$. Racionalitza el denominador i extreu els factors possibles.

Simplifica la següent expressió introduint els factors en el radical més interior i expressant-ho com una única arrel:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$

Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ d'un cub l'aresta del qual mesura $a = \sqrt{5}$ cm. Recorda que la diagonal d'un cub es calcula com a $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Expressa el resultat de la forma més simplificada possible.

En navegació marítima, la distància visual màxima teòrica $d$ (en quilòmetres) a la qual s'albira la línia de l'horitzó des d'una alçària $h$ (en metres) sobre el nivell del mar es modelitza mitjançant la fórmula física $d = \sqrt{12,8 \cdot h}$. A la costa gallega s'avalua l'abast visual des de dos punts de l'entorn del Faro de Finisterre: un sender costaner situat a $h_1 = 15\text{ m}$ sobre el mar i el mirador del far situat a $h_2 = 60\text{ m}$.

1. a) Substitueix $h_1 = 15$ a la fórmula, calcula el producte $12,8 \cdot 15$, descompon el resultat en factors primers i extreu tots els factors possibles per donar la distància exacta $d_1$ en forma de radical simplificat $a\sqrt{3}\text{ km}$ ($a \in \mathbb{N}$).
2. b) Fes el mateix procediment per a l'alçària del mirador $h_2 = 60$ i obtén la distància exacta $d_2$ en la forma $b\sqrt{3}\text{ km}$ ($b \in \mathbb{N}$).
3. c) Determina el guany visual exacte que suposa pujar al mirador calculant la diferència $d_2 - d_1$. Opera els radicals semblants, expressa el resultat final com un únic terme radical simplificat i avalua aquest guany en quilòmetres utilitzant l'aproximació $\sqrt{3} \approx 1,73$.

Es vol dissenyar una fracció irracional de la forma $\frac{A}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$ que compleixi simultàniament les condicions següents:

1. Els radicands $m$ i $n$ són nombres naturals menors que $10$, cap d'ells és un quadrat perfecte i la seva diferència és $m - n = 2$.

2. En racionalitzar la fracció multiplicant pel conjugat del denominador i simplificar el resultat al màxim, s'obté exactament l'expressió $3\sqrt{5} + 3\sqrt{3}$.

1. a) Dedueix de manera raonada quins han de ser els nombres $m$ i $n$.
2. b) Planteja la igualtat algebraica que sorgeix del procés de racionalització amb els valors trobats i calcula el valor numèric exacte que ha de tenir el numerador enter $A$.
3. c) Comprova la teva solució desenvolupant pas a pas la racionalització de la fracció obtinguda. A continuació, explica quin resultat s'hauria obtingut si la fracció de partida hagués tingut signe positiu al denominador: $\frac{A}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$.

Efectua la següent operació combinada amb fraccions irracionals. Per fer-ho, racionalitza primer cada fracció per separat i després efectua la resta:

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

En disseny gràfic, les proporcions basades en el nombre auri $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es consideren estèticament perfectes. Un llenç té forma de rectangle auri (el quocient entre el seu costat major i el seu costat menor és $\phi$). Si el costat menor del llenç mesura exactament $\sqrt{5}-1$ metres, calcula la longitud exacta del costat major. Simplifica el resultat al màxim.

Extreu tots els factors possibles de la següent arrel i simplifica l'expressió resultant:

$\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$

La façana d'una cabanya té forma de triangle isòsceles. La base del triangle mesura $\sqrt{6}$ metres i els dos costats iguals mesuren $\sqrt{15}$ metres cadascun. Calcula el valor exacte de l'altitud $h$ sobre la base i l'àrea total de la façana. Racionalitza els resultats si apareixen arrels al denominador.

Simplifica la següent expressió amb radicals niats, expressant el resultat com una única arrel:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$

Racionalitza el denominador de la següent fracció i simplifica al màxim operant el numerador:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

En física, la velocitat $v$ d'un objecte es pot aïllar a partir de la seva energia cinètica $E_c$ i la seva massa $m$ mitjançant la fórmula $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Si un prototip de vehicle té una massa de $m = \sqrt{3}$ kg i la seva energia cinètica és $E_c = 45$ J, calcula el valor exacte de la seva velocitat. Racionalitza i extreu els factors possibles de l'arrel resultant.

Demostra, desenvolupant els productes notables i simplificant, que el resultat de la següent expressió és un nombre enter:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$

Per calcular el valor exacte de la següent operació combinada amb fraccions irracionals:

es plantegen dues estratègies diferents a l'aula:

• Mètode 1 (Racionalització prèvia): Racionalitzar cada terme per separat (fent servir el binomi conjugat a la primera fracció i completant la potència a la segona), simplificar les fraccions obtingudes i efectuar la resta al final.

• Mètode 2 (Comú denominador directe): Reduir primer totes dues fraccions a un denominador comú multiplicant els denominadors entre si, desenvolupar el numerador resultant i racionalitzar la fracció única final si fos necessari.

1. a) Desenvolupa completament la resolució seguint el Mètode 1 mostrant totes les simplificacions intermèdies.
2. b) Desenvolupa completament la resolució seguint el Mètode 2, parant atenció als productes i signes al numerador.
3. c) Compara tots dos camins: analitza la magnitud dels nombres que apareixen en els passos intermedis, la complexitat de les identitats notables i el risc d'error de càlcul. Justifica amb criteri matemàtic quin dels dos mètodes és clarament més avantatjós i generalitzable.

Un equip de topografia calcula la cota vertical de disseny $h$ (en metres) d'una estructura mitjançant l'expressió:

on $a$ i $b$ són nombres naturals primers entre si amb $a > b$, i $k \in \mathbb{N}$.

1. a) Problema invers: En racionalitzar i simplificar completament l'expressió d'$h$, l'informe topogràfic conclou que $h = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}\text{ m}$. Reconstrueix de manera raonada i unívoca els valors d'$a$, $b$ i $k$. Justifica per què no són possibles altres valors naturals que compleixin les condicions inicials.
2. b) Operacions amb radicals: Per assolir la cota de seguretat s'afegeix un suplement d'alçària igual a $\sqrt{12}\text{ m}$. Efectua la suma $h + \sqrt{12}$ mitjançant extracció i agrupació de radicals semblants, i introdueix després el factor resultant al radical per expressar l'alçària final com una única arrel de la forma $\sqrt{N}$ ($N \in \mathbb{N}$).
3. c) Error d'altri: Un operari afirma que, com que $h = \sqrt{28} - \sqrt{12}$, l'alçària inicial és $h = \sqrt{28 - 12} = \sqrt{16} = 4\text{ m}$. Explica detalladament l'error conceptual comès, demostra mitjançant el desenvolupament algebraic de $(\sqrt{28} - \sqrt{12})^2$ per què el seu resultat és fals i indica el valor real aproximat d'$h$ amb un decimal sabent que $\sqrt{7} \approx 2,65$ i $\sqrt{3} \approx 1,73$.