Potencias de exponente racional. Radicales

Expresa como radical las siguientes potencias de exponente fraccionario y calcula su valor exacto si es un número entero:

• a) $27^{\frac{1}{3}}$

• b) $16^{\frac{3}{4}}$

• c) $5^{\frac{2}{3}}$

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario los siguientes radicales y simplifica la fracción del exponente:

• a) $\sqrt[6]{x^2}$

• b) $\sqrt[15]{a^5}$

• c) $\sqrt[8]{2^6}$

Extrae todos los factores posibles del interior de los siguientes radicales:

• a) $\sqrt{50}$

• b) $\sqrt[3]{16}$

• c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$

Introduce los factores dentro del radical y simplifica la expresión resultante si es posible:

• a) $3 \sqrt{2}$

• b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

• c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$

Realiza los siguientes productos de radicales del mismo índice y extrae factores del resultado si es posible:

• a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

• b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Calcula y simplifica el resultado de las siguientes divisiones de radicales:

• a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcula las siguientes potencias de radicales, introduciendo el exponente en el radicando y expresando el resultado de la forma más sencilla posible:

• a) $(\sqrt[3]{5})^6$

• b) $(\sqrt{x^3})^4$

Expresa como un único radical utilizando la propiedad de la raíz de una raíz y simplifica el índice si se puede:

• a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

• b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$

Para la fabricación de tres componentes electrónicos se requieren láminas protectoras cuyos grosores, medidos en milímetros, vienen dados por las expresiones $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ y $C = \sqrt[6]{24}$. Reduce los radicales a índice común para ordenar los grosores de las láminas de menor a mayor.

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados introduciendo progresivamente los factores en los radicales más internos y expresando el resultado final como una sola raíz:

En un laboratorio de biología, el número de bacterias de un determinado cultivo sigue la expresión $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. Expresa esta fórmula utilizando radicales y calcula el número exacto de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido $2$ horas.

Una plaza circular tiene un área de $120\pi$ m$^2$. Sabiendo que el área de un círculo viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$, calcula el radio exacto de la plaza simplificando el radical al máximo.

La tercera ley de Kepler relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con el radio medio de su órbita $r$ mediante la expresión $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Si para un sistema estelar ficticio la constante es $k = 4 \cdot 10^{-6}$ y un planeta orbita a un radio medio $r = 25 \cdot 10^4$ km, calcula el periodo orbital exacto utilizando las propiedades de las potencias de exponente racional y los radicales.

En navegación marítima, la distancia $d$ (en kilómetros) a la que se encuentra el horizonte visible para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se aproxima mediante la fórmula $d = \sqrt{13h}$. Dos observadores se encuentran en diferentes puntos de un acantilado a alturas $h_1 = 52$ m y $h_2 = 117$ m respectivamente. Calcula la diferencia exacta de sus distancias al horizonte visible, simplificando la expresión $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ mediante la extracción de factores.