Exercicis: Potències d'exponent racional: Radicals

Expressa com a radical les potències d'exponent fraccionari següents i calcula el seu valor exacte si és un nombre enter:

• a) $27^{\frac{1}{3}}$

• b) $16^{\frac{3}{4}}$

• c) $5^{\frac{2}{3}}$

Escriu en forma de potència d'exponent fraccionari els radicals següents i simplifica la fracció de l'exponent:

• a) $\sqrt[6]{x^2}$

• b) $\sqrt[15]{a^5}$

• c) $\sqrt[8]{2^6}$

Extreu tots els factors possibles de l'interior dels radicals següents:

• a) $\sqrt{50}$

• b) $\sqrt[3]{16}$

• c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$

Introdueix els factors dins del radical i simplifica l'expressió resultant si és possible:

• a) $3 \sqrt{2}$

• b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

• c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, amb $a \ge 0$

Realitza els productes següents de radicals del mateix índex i extreu factors del resultat si és possible:

• a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

• b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Calcula i simplifica el resultat de les divisions de radicals següents:

• a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcula les potències de radicals següents, introduint l'exponent al radicand i expressant el resultat de la manera més senzilla possible:

• a) $(\sqrt[3]{5})^6$

• b) $(\sqrt{x^3})^4$

Expressa com un únic radical utilitzant la propietat de l'arrel d'una arrel i simplifica l'índex si es pot:

• a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

• b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$

L'Elena ha de calcular el valor exacte de la potència $32^{-2/5}$. En la seva llibreta escriu la resolució següent:

Quan arriba a aquest punt, s'atura i afirma que el resultat no es pot calcular a mà perquè $32^5$ és un nombre massa gran.

1. a) Troba i explica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès l'Elena en aplicar les propietats dels exponents i els radicals.
2. b) Mostra el desenvolupament correcte pas a pas per obtenir el valor numèric com una fracció irreductible.
3. c) Justifica per què, a l'hora de calcular manualment una expressió de la forma $a^{m/n}$, resulta molt més convenient aplicar primer l'arrel i després la potència, en lloc de fer-ho en l'ordre invers.

Es vol estimar el valor numèric de la potència d'exponent racional $50^{3/2}$ sense recórrer a la calculadora.

1. a) Fes una estimació prèvia raonada: escriu $50^{3/2}$ en forma de radical i observa que el nombre $50$ està molt a prop del quadrat perfecte $49$. A quin nombre enter hauria d'estar molt a prop el resultat final? Justifica la teva conjectura.
2. b) Escriu $50^{3/2}$ com un radical de la forma $\sqrt{50^3}$, descompon el radicand en factors primers i extreu tots els factors possibles fora de l'arrel.
3. c) Prenent l'aproximació $\sqrt{2} \approx 1,414$, calcula el valor decimal aproximat a partir de l'expressió simplificada de l'apartat anterior i comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) era coherent calculant la diferència entre ambdós valors.

En un laboratori de biologia, el nombre de bacteris d'un determinat cultiu segueix l'expressió $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, on $t$ és el temps transcorregut en hores. Expressa aquesta fórmula utilitzant radicals i calcula el nombre exacte de bacteris que hi haurà quan hagin transcorregut $2$ hores.

Per a la fabricació de tres components electrònics es requereixen làmines protectores el gruix de les quals, mesurat en mil·límetres, ve donat per les expressions $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ i $C = \sqrt[6]{24}$. Redueix els radicals a índex comú per ordenar els gruixos de les làmines de menor a major.

Efectua les operacions següents reduint prèviament a índex comú i extreu els factors possibles del resultat final:

• a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{8}$

• b) $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[6]{3}}$

Un arquitecte paisatgista està dissenyant una zona verda amb forma de triangle escalè i necessita calcular el seu perímetre per encarregar una tanca. Els plànols indiquen que els costats mesuren $\sqrt{48}$ m, $\sqrt{75}$ m i $\sqrt{12}$ m. Simplifica els radicals extreient factors i calcula el perímetre exacte expressat com un únic radical.

Una plaça circular té una àrea de $120\pi$ m$^2$. Sabent que l'àrea d'un cercle ve donada per la fórmula $A = \pi r^2$, calcula el radi exacte de la plaça simplificant el radical al màxim.

Opera utilitzant les propietats de les potències fraccionàries i expressa el resultat final en forma d'arrel simplificada:

Una cooperativa agrícola vol tancar un terreny amb forma de quadrat l'àrea total del qual és de $1250 \text{ m}^2$. Calcula la longitud exacta del costat del terreny extreient factors del radical i determina quants metres de tanca necessitaran en total, deixant el resultat en la seva forma radical més simple.

Simplifica l'expressió següent amb radicals aniuats introduint progressivament els factors en els radicals més interns i expressant el resultat final com una sola arrel:

Per simplificar l'expressió amb radicals $E = \frac{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[6]{32}}$, es poden plantejar dues estratègies de resolució:

• Mètode 1 (exponent racional): Expressar cada radicand en base $2$, convertir totes les arrels en potències fraccionàries i operar aplicant les propietats del producte i quocient de potències de la mateixa base.

• Mètode 2 (índex comú): Expressar cada radicand en base $2$, reduir tots els radicals al mínim comú índex i operar dins d'una única arrel per després simplificar i extreure factors.

1. a) Aplica el Mètode 1 detallant cada pas i escriu el resultat final com un radical irreductible amb factors extrets.
2. b) Aplica el Mètode 2 detallant cada pas i comprova que s'obté exactament el mateix resultat.
3. c) Compara ambdós procediments: quina relació matemàtica hi ha entre el mínim comú múltiple dels denominadors en les potències fraccionàries i l'índex comú dels radicals? Quin dels dos mètodes t'ha semblat més directe i per què?

Per al processament digital d'un senyal elèctric positiu $a$, un equip de telecomunicacions necessita combinar dos filtres representats per radicals de manera que es compleixi la igualtat:

on els índexs dels filtres, $m$ i $n$, han de ser nombres enters estrictament positius que compleixen la condició $m < n$.

1. a) Escriu el membre esquerre com una única potència de base $a$ i exponent fraccionari en funció de $m$ i $n$.
2. b) A partir de la igualtat d'exponents, dedueix raonadament quines són les dues úniques parelles d'enters $(m, n)$ possibles que verifiquen la condició amb $m < n$. Justifica per què no hi pot haver cap altra combinació.
3. c) Per a cadascuna de les dues parelles trobades, comprova la igualtat手 reduint els radicals del membre esquerre a índex comú.

La diagonal principal d'un dipòsit cúbic d'emmagatzematge d'aigua (la línia recta que uneix dos vèrtexs oposats passant pel centre del cub) mesura exactament $\sqrt{108}$ metres. Calcula la longitud de l'aresta del cub de forma exacta i, a partir d'aquesta, determina la capacitat del dipòsit en metres cúbics. Expressa tots els resultats simplificant els radicals.

Simplifica al màxim l'expressió algebraica següent, assumint que $a$ i $b$ són nombres reals positius. Expressa el resultat final emprant notació radical, sense deixar exponents negatius ni fraccionaris en la solució:

La tercera llei de Kepler relaciona el període orbital $T$ d'un planeta amb el radi mitjà de la seva òrbita $r$ mitjançant l'expressió $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Si per a un sistema estel·lar fictici la constant és $k = 4 \cdot 10^{-6}$ i un planeta orbita a un radi mitjà $r = 25 \cdot 10^4$ km, calcula el període orbital exacte utilitzant les propietats de les potències d'exponent racional i els radicals.

Troba el valor de $x$ que satisfà la següent equació, transformant prèviament totes les expressions a potències de base $2$ amb exponents racionals:

Expressa la solució final en forma de fracció irreductible.

El capital final $C_f$ obtingut en invertir un capital inicial $C_0$ a un tipus d'interès compost anual $r$ (expressat en tant per u) durant $t$ anys ve donat per la fórmula $C_f = C_0 (1+r)^t$. Una empresa inverteix $10000$ € a un interès del $21$ % anual ($r = 0,21$). Utilitzant potències d'exponent fraccionari, calcula de manera exacta el capital acumulat al cap de $1$ any i $4$ mesos (la qual cosa equival a $t = \frac{4}{3}$ d'any). Sabent que $1,21 = 1,1^2$, simplifica el resultat extraient els factors possibles del radical.

Demostra, utilitzant rigorosament les propietats de les potències d'exponent racional, que per a qualsevol nombre real positiu $x$, l'expressió $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$ és equivalent a $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}$. A continuació, aplica aquesta propietat o el pas a potències per calcular el valor exacte numèric de la suma següent:

Simplifica la següent expressió amb radicals niats, reduint a un únic índex comú i extraient els factors que siguin possibles fora de l'arrel resultant:

En navegació marítima, la distància $d$ (en quilòmetres) a la qual es troba l'horitzó visible per a un observador situat a una altitud $h$ (en metres) sobre el nivell del mar s'aproxima mitjançant la fórmula $d = \sqrt{13h}$. Dos observadors es troben en diferents punts d'un penya-segat a altituds $h_1 = 52$ m i $h_2 = 117$ m respectivament. Calcula la diferència exacta de les seves distàncies a l'horitzó visible, simplificant l'expressió $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ mitjançant l'extracció de factors.

En els programes de seguiment de fauna del Parc Nacional de Doñana, l'equip veterinari utilitza la llei al·lomètrica de Kleiber per estimar el metabolisme basal diari $B(M)$ (energia consumida en repòs, en quilocalories per dia) d'un mamífer en funció de la seva massa corporal $M$ (en quilograms):

1. a) Expressa la fórmula de $B(M)$ utilitzant radicals i calcula de forma exacta el consum energètic diari d'un linx ibèric adult de $16\text{ kg}$ i el d'una cerva de $81\text{ kg}$.
2. b) La cerva té una massa aproximadament $5$ vegades més gran que la del linx ($81/16 \approx 5,06$). Demostra si la seva despesa energètica diària també es multiplica per $5$ calculant el quocient exacte $\frac{B(81)}{B(16)}$ mitjançant propietats de potències fraccionàries.
3. c) La taxa metabòlica específica per unitat de pes es defineix com a $b(M) = \frac{B(M)}{M}$. Demostra algebraicament, aplicant propietats de potències d'exponent racional, que $b(M) = \frac{70}{\sqrt[4]{M}}$. A partir d'aquesta fórmula, justifica per què els mamífers més petits de la fauna ibèrica necessiten ingerir proporcionalment molt més aliment per cada quilo del seu propi cos que els grans herbívors.

En una factoria d'automoció a Martorell, el temps de tall $T$ (en segons) que empra un robot làser sobre una xapa de gruix $x$ (en mil·límetres, amb $x > 0$) ve modelitzat per l'expressió:

1. a) Converteix successivament cada radical en potència d'exponent racional i simplifica l'expressió completa pas a pas fins a obtenir una potència única de la forma $T(x) = x^k$, indicant el valor de la fracció irreductible $k$.
2. b) Per a una peça estructural d'alta resistència, el robot va trigar exactament $8$ segons a fer el tall. Planteja l'equació $T(x) = 8$ i calcula el gruix exacte $x$ de la xapa aïllant-lo mitjançant exponents racionals. Expressa el resultat final extreient tots els factors possibles d'un radical irreductible.
3. c) Un tècnic de planta sosté que si es duplica el gruix de la xapa ($2x$), el temps de tall també es duplicarà. Demostra formalment si la seva afirmació és园 vertadera o falsa calculant la raó $\frac{T(2x)}{T(x)}$ i expressant-la com un radical irreductible.