Exercicis: Operacions amb polinomis

Calcula el valor numèric del polinomi $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ per a $x = -2$ i per a $x = 1$.

Donats els polinomis $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ i $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula l'expressió resultant de realitzar l'operació $2 \cdot A(x) - B(x)$.

Multiplica els polinomis $P(x) = x^2 - 3x + 2$ i $Q(x) = 2x - 5$. Expressa el resultat ordenat de major a menor grau.

Fes la divisió del polinomi $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomi $d(x) = x^2 + 2$. Indica clarament quin és el polinomi quocient $C(x)$ i el polinomi residu $R(x)$.

Aplica la regla de Ruffini per dividir el polinomi $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escriu el quocient i el residu obtinguts.

Desenvolupa les expressions següents aplicant les identitats notables corresponents:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x - 5)^2$

Expressa els binomis següents com un producte de dos factors utilitzant la identitat notable de suma per diferència:

1. a) $16x^2 - 25$
2. b) $9x^4 - 49$

Opera i simplifica al màxim l'expressió algebraica següent: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.

En un examen de 4t d'ESO, en Marcos ha de simplificar l'expressió algebraica $A(x) = (3x - 2)^2 - (3x + 2)(3x - 2)$. Al seu full de respostes escriu el següent:

$A(x) = 9x^2 - 4 - (9x^2 - 4) = 9x^2 - 4 - 9x^2 - 4 = -8$.

1. a) Identifica i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos (un en el desenvolupament del quadrat d'una diferència i un altre en l'ús dels signes en suprimir el parèntesi).
2. b) Fes el desenvolupament correcte utilitzant pas a pas les identitats notables i calcula el valor numèric del polinomi resultant per a $x = -1$.

Calcularàs el producte dels polinomis $P(x) = 2x^2 - 5$ i $Q(x) = 3x^3 + 4x - 1$.

1. a) Abans de fer les multiplicacions terme a terme, estima raonadament:

• Quin ha de ser el grau del polinomi resultant $P(x)\cdot Q(x)$?

• Quins han de ser el seu coeficient principal i el seu terme independent? Justifica com pots deduir aquests dos valors en pocs segons sense desenvolupar tota l'operació.

1. b) Efectua el producte complet, redueix els termes semblants i comprova si la teva estimació inicial era exacta.
2. c) Valora la raonabilitat del teu resultat final calculant numèricament $P(1)$, $Q(1)$ i el valor per a $x = 1$ del polinomi producte obtingut, comprovant que es compleix la igualtat dels resultats.

Un jardí rectangular té unes dimensions de $(2x + 5)$ metres de llargària i $(2x - 5)$ metres d'amplada. A l'interior es construirà una font quadrada de costat $(x - 1)$ metres, i la resta es cobrirà de gespa. Expressa l'àrea de la zona de gespa com un polinomi en $x$ simplificat.

Es vol construir una caixa de cartró sense tapa a partir d'una làmina rectangular de $30 \text{ cm}$ de llargària per $20 \text{ cm}$ d'amplada. Per fer-ho, es retallen quatre quadrats idèntics de costat $x \text{ cm}$ en cadascuna de les cantonades i es dobleguen les solapes cap amunt. Troba el polinomi $V(x)$ que expressa el volum de la caixa resultant en funció de $x$.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la divisió del polinomi $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomi $(x + 2)$ tingui un residu igual a $10$. Utilitza el teorema del residu per justificar la teva resposta.

Opera i simplifica al màxim l'expressió algebraica següent, parant especial atenció als signes i les identitats notables:

$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$

El cost de producció de $x$ unitats d'un dispositiu electrònic ve donat pel polinomi $C(x) = 50x + 200$. El preu de venda al públic de cada unitat depèn de la quantitat fabricada i segueix l'expressió $p(x) = 300 - 2x$.

Troba el polinomi benefici $B(x)$, sabent que el benefici és igual als ingressos totals (quantitat per preu) menys els costos totals. Quin serà el benefici si es fabriquen i es venen $40$ unitats?

Sabent que en dividir un polinomi $P(x)$ entre $(x - 3)$ s'obté com a quocient $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ i com a residu $R = -7$, reconstrueix el polinomi $P(x)$ i expressa'l en la seva forma desenvolupada.

L'alçada en metres d'una pilota llançada verticalment en funció del temps en segons ve donada pel polinomi $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segona pilota, llançada des d'un altre punt, segueix una trajectòria descrita per $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.

Troba el polinomi $D(t)$ que representa la diferència d'alçada entre la primera i la segona pilota ($D(t) = H(t) - G(t)$). En quin instant $t$ es troben totes dues pilotes a la mateixa alçada?

Comprova si el polinomi $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ és divisible pel binomi $(x^2 + 1)$ fent la divisió corresponent. En cas afirmatiu, escriu la factorització de $P(x)$ com a producte de dos polinomis.

Es vol esbrinar el residu de dividir el polinomi $P(x) = 4x^{20} - 3x^7 + 5x - 2$ entre $(x + 1)$ i determinar si $(x + 1)$ és un factor de $P(x)$. Tres membres d'un equip de treball proposen vies diferents:

• L'Andrés diu: «Fem la divisió euclidiana llarga tradicional en caixa».

• La Bea diu: «Apliquem la regla de Ruffini dibuixant la taula amb coeficients».

• En Carlos diu: «Usem directament el teorema del residu substituint $x = -1$».

1. a) Compara els tres mètodes explicant per què les propostes de l'Andrés i de la Bea resulten extraordinàriament ineficients i propenses a errors de recompte en aquest exercici concret.
2. b) Justifica quin és el mètode idoni i aplica'l per trobar el residu de la divisió.
3. c) En vista del valor obtingut, conclou de manera raonada si el polinomi $P(x)$ és divisible entre $(x + 1)$ i quin significat geomètric o algebraic té aquest fet respecte a l'arrel $x = -1$.

Una empresa de paqueteria urgent ubicada en un centre logístic de Saragossa dissenya caixes de cartó reforçat per a enviaments ecològics. Les mesures interiors de cada caixa (en decímetres) són: llarg $(2x + 1)$, ample $(x + 3)$ i alçària $(x - 1)$, amb $x > 1$.

1. a) Modela mitjançant un polinomi desenvolupat i ordenat $V(x)$ el volum interior total de la caixa en $\text{dm}^3$.
2. b) Per precintar el paquet es col·loca una cinta contínua al contorn horitzontal (perímetre de la base, formada pel llarg i l'ample) i una altra al contorn vertical transversal (perímetre format per l'ample i l'alçària). Expressa mitjançant un polinomi reduït $L(x)$ la longitud total de cinta requerida (sense encavalcaments).
3. c) Si les especificacions de disseny fixen $x = 5\text{ dm}$, calcula el volum en litres ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$) i la longitud de cinta en centímetres. Comprova si el paquet compleix la normativa de missatgeria estàndard a Espanya, que exigeix que la suma de les seves tres dimensions no superi els $25\text{ dm}$.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sigui divisible exactament per $(x - 2)$ i, alhora, deixi un residu de $-12$ en dividir-lo entre $(x + 1)$.

Una pista d'atletisme està formada per una regió rectangular central de llargària $3x$ i amplada $2x$, rematada per dos semicercles als seus extrems de diàmetre $2x$. Expressa l'àrea total i el perímetre exterior de la pista com a polinomis dependents de $x$ (deixa el nombre $\pi$ indicat en els coeficients).

Demostra algebraicament que, per a qualsevol nombre real $x > 1$, les expressions $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ i $c = x^2 + 1$ formen sempre els costats d'un triangle rectangle (és a dir, compleixen el teorema de Pitàgores). Comprova el teu resultat avaluant els polinomis per a $x = 4$.

Una empresa emergent estima que els seus ingressos mensuals segueixen el polinomi $I(x) = -2x^3 + 75x^2$ i els seus costos d'operació són $C(x) = 15x^2 + 400x$, on $x$ és el nombre de mesos transcorreguts des de la seva creació.

Troba el polinomi de benefici $B(x)$. Sabent que en el mes $x = 10$ el benefici és exactament zero (punt d'equilibri), factoritza el polinomi $B(x)$ per determinar en quin altre mes el benefici torna a ser zero.

Opera i simplifica l'expressió algebraica següent, factoritzant el resultat final si és possible:

$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$

A continuació, avalua el polinomi resultant per a $x = 2$ i $y = -1$.

Determina els valors dels coeficients $m$ i $n$ perquè la divisió del polinomi $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sigui exacta.

Un dipòsit d'aigua té forma cilíndrica amb un radi de la base de $(x + 2)$ metres i una altura de $(2x - 1)$ metres. En el seu interior es submergeix un bloc cúbic sòlid d'arista $x$ metres. Expressa mitjançant un polinomi ordenat el volum d'aigua necessari per omplir l'espai lliure del dipòsit. Deixa la constant $\pi$ indicada en els coeficients que la requereixin.

Un polinomi $P(x)$ de grau 3 té com a arrels $x = 1$, $x = -2$ i $x = 4$. Sabent a més que el valor numèric del polinomi per a $x = 0$ és igual a $16$, troba l'expressió desenvolupada de $P(x)$ (és a dir, en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$).

Un polinomi $P(x)$ de tercer grau té com a coeficient principal $3$. Es coneixen les dades següents sobre les seves divisions:

• És divisible exactament entre $(x - 2)$ i entre $(x + 1)$.

• En dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$, el residu obtingut és $12$.

1. a) Utilitzant el teorema del residu i la relació fonamental entre divisors, factors i arrels, planteja l'estructura factorial de $P(x)$ en funció d'una única arrel desconeguda $c$, justificant per què no cal plantejar un sistema de quatre equacions lineals amb quatre incògnites.
2. b) Determina el valor exacte de l'arrel $c$ a partir del residu de la divisió entre $(x - 1)$.
3. c) Escriu l'expressió desenvolupada de $P(x)$ en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$ i, aplicant la regla de Ruffini, calcula el residu de dividir aquest polinomi entre $(x + 2)$, comprovant que coincideix amb el valor numèric $P(-2)$.

En una comunitat de regants de Castella-la Manxa s'instal·la un sistema automatitzat de bombament solar. El cost de manteniment anual (en euros) es modelitza mitjançant el polinomi $C(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 8$, on $x$ representa el nombre de sectors de bombament actius ($x \ge 2$). Aquest cost es reparteix a parts iguals entre els sectors de reg, el nombre dels quals ve donat per $S(x) = x - 2$.

1. a) Utilitza la regla de Ruffini per calcular el polinomi $Q(x)$ que representa el cost anual per sector i el cost residual $R$ que queda al fons de reserva comunitari sense assignar. Recorda completar tots els graus a la taula i escriu la relació $C(x) = S(x)\cdot Q(x) + R$.
2. b) Un agricultor afirma que si s'amplia la xarxa a més sectors (fent créixer el valor de $x$), l'import del fons de reserva $R$ augmentarà perquè la instal·lació és més gran. Rebat raonadament la seva afirmació utilitzant la definició formal de l'algorisme de la divisió i el teorema del residu, explicant quin grau ha de tenir necessàriament $R(x)$.
3. c) La comunitat rep una subvenció del Pla de Modernització de Regadius que redueix el cost total segons l'expressió $A(x) = x^4 - (x^2 - 1)^2$. Simplifica algebraicament el polinomi de la subvenció $A(x)$ mitjançant identitats notables i dedueix el nou residu residual no repartit $R_{\text{nou}}$ després d'aplicar l'ajut, justificant el càlcul mitjançant el teorema del residu sense tornar a traçar tota la taula de Ruffini.