Exercicis: Tendència i periodicitat

Observa la gràfica de la funció següent que descriu l'altura d'una cabina d'una nòria respecte a la seva posició central al llarg del temps. Determina el seu període $T$ i, sabent que el patró es repeteix indefinidament, calcula el valor de la funció en l'instant $x = 22$.

Sabent que una funció $f(x)$ és periòdica amb un període $T = 6$ i que, en el primer cicle, assoleix un valor de $f(2) = 5$, quin serà el valor de $f(20)$?

La gràfica següent mostra l'evolució de la temperatura d'una tassa de cafè acabat de servir al llarg del temps. A quin valor tendeix la temperatura quan el temps avança indefinidament? Com es diu matemàticament la recta horitzontal a la qual s'aproxima la corba?

Donada la taula de valors següent d'una funció $g(x)$ obtinguda mitjançant un full de càlcul, quina creus que és la seva tendència quan la variable independent $x$ tendeix a $+\infty$?

Treiem una llauna de refresc de la nevera a $4^\circ\text{C}$ i la deixem sobre la taula del menjador, on la temperatura ambient es manté constant a $23^\circ\text{C}$. A quina temperatura tendirà el refresc si el deixem allà durant diversos dies sense obrir?

Classifica els fenòmens següents de la vida real segons es corresponguin amb funcions periòdiques o no periòdiques:

• L'alçada d'una persona al llarg de tota la seva vida.

• El moviment de l'agulla dels minuts en un rellotge de paret.

• El saldo disponible en un compte corrent al llarg de l'any.

• El cicle de les fases de la Lluna.

Una funció periòdica té un període $T = 5$. Si coneixem els seus valors en el primer cicle: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ i $f(5) = 1$, calcula de forma raonada el valor de $f(14)$.

El temps $t$ (en hores) que es triga a buidar el dipòsit de reg d'una finca agrícola depèn del nombre de bombes d'aigua idèntiques $n$ que es connectin simultàniament, segons la funció $t(n) = \frac{120}{n}$. Cap a quin valor tendeix el temps de buidatge si el nombre de bombes que utilitzem tendeix a infinit?

Una boia oceanogràfica situada davant de la costa de Gijón registra l'alçària de l'onatge mitjançant una funció periòdica de període $T = 6\text{ segons}$. En el primer cicle, entre $t = 0\text{ s}$ i $t = 6\text{ s}$, els registres d'alçària són els següents: $f(1) = 1{,}8\text{ m}$; $f(2) = 2{,}5\text{ m}$; $f(3) = 1{,}2\text{ m}$; $f(4) = 0{,}4\text{ m}$; $f(5) = 0{,}8\text{ m}$. El tècnic en pràctiques, David, necessita esbrinar l'alçària de l'onatge en l'instant $t = 81\text{ s}$. Per a fer-ho, divideix $81$ entre $6$ amb la calculadora i obté $13{,}5$. David conclou en el seu informe: «Com que el resultat és $13{,}5$, la boia es troba en un valor intermedi, així que calculo la mitjana aritmètica entre $f(13)$ i $f(5)$».\na) Identifica l'error conceptual que comet David en interpretar el quocient decimal de la calculadora en el context d'una funció periòdica.\nb) Corregeix el raonament aplicant la divisió euclidiana sencera (quocient i residu) per a determinar a quin instant concret del cicle fonamental $[0, 6)$ equival exactament el segon $t = 81\text{ s}$.\nc) A partir de la teva deducció, indica el valor exacte de l'alçària de l'aigua en $t = 81\text{ s}$.

En un laboratori de control de qualitat a Toledo s'introdueix una peça metàl·lica acabada de trempar dins d'una cambra de refrigeració. La temperatura de la peça (en $^\circ\text{C}$) en funció del temps transcorregut $t$ (en hores) respon a un model del tipus:\n$$T(t) = A \cdot (0{,}65)^t + C$$\nSe sap que en l'instant d'introduir la peça ($t = 0\text{ h}$) la seva temperatura és de $320^\circ\text{C}$, i que, si es deixés dins de la cambra indefinidament ($t \to \infty$), la seva temperatura tendiria a estabilitzar-se en la temperatura de repòs del refrigerador, que es manté constant a $18^\circ\text{C}$.\na) Dedueix raonadament el valor de les constants $A$ i $C$ a partir de les dades aportades sobre la tendència i el valor inicial.\nb) Escriu la fórmula definitiva de $T(t)$ i determina l'equació de l'asimptota horitzontal de la funció, explicant quin significat físic té aquesta recta en el procés industrial.

La famosa nòria "London Eye" té un diàmetre aproximat de $120\text{ m}$. Els passatgers pugen a les cabines a la part més baixa, que es troba pràcticament a fregar de terra ($0\text{ m}$). La nòria gira a velocitat constant i triga exactament $30\text{ minuts}$ a fer una volta completa. Quin és el període de la funció que descriu l'altura d'una cabina respecte al temps? A quina altura es trobarà un passatger al cap de $45\text{ minuts}$ d'haver pujat si no n'ha baixat?

La concentració d'un antibiòtic en la sang d'un pacient (mesurada en $\text{mg/L}$) després de $t$ hores des de la seva administració ve donada per l'expressió matemàtica $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcula la concentració a les $2\text{ hores}$, a les $10\text{ hores}$ i a les $100\text{ hores}$. A partir d'aquests resultats, quina és la tendència de la concentració a llarg termini?

El gràfic següent mostra un electrocardiograma (ECG) simplificat d'un pacient en repòs. Determina el període de la funció en segons i, a partir d'aquesta dada, calcula la freqüència cardíaca del pacient expressada en pulsacions per minut (ppm).

La taula de marees d'un port pesquer indica que la primera plenamar (marea alta) del dia es produeix a les 04:00 de la matinada i la següent baixamar (marea baixa) es produeix a les 10:15 del matí. Suposant que el nivell del mar es comporta com una funció periòdica en què la pujada i la baixada duren el mateix, quin és el seu període en hores i minuts? A quina hora exacta es produirà la plenamar següent?

Una petita fàbrica de sabatilles esportives té uns costos fixos diaris de $800\text{ \euro}$ (lloguer, llum, assegurances) i fabricar cada parell de sabatilles té un cost de materials de $5\text{ \euro}$. El cost mitjà per sabatilla en fabricar $x$ parells al dia ve donat per la funció $C_m(x) = \frac{800 + 5x}{x}$. Calcula el cost mitjà si es fabriquen $10$, $100$ i $5000$ sabatilles en un dia. Cap a quin valor tendeix el cost mitjà si el volum de producció tendeix a infinit?

La població d'una espècie protegida en una reserva natural s'ha modelitzat mitjançant la funció $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, on $t$ és el temps transcorregut en anys des de l'inici de l'estudi. Quina era la població inicial l'any $t=0$? Cap a quin valor tendeix la població a llarg termini quan $t \to +\infty$? Té sentit ecològic aquest límit?

Un far marítim de senyalització emet un centelleig de llum intensa que dura exactament $2\text{ segons}$, seguit d'un període de foscor total de $7\text{ segons}$, repetint aquest cicle de forma ininterrompuda. Si el far s'encén per primera vegada a la nit a les 22:00:00, quin és el període d'aquesta funció luminosa? Estarà la llum encesa o apagada a les 22:01:15?

Observa la gràfica següent que representa el nivell d'aigua (en metres) en un dipòsit industrial automatitzat al llarg del temps (en minuts). Determina el període de la funció i calcula quin serà el nivell exacte d'aigua al minut $t = 86$.

El nivell de l'aigua a la ria de Vigo oscil·la de manera periòdica a causa de les marees, completant un cicle cada $12\text{ hores}$. En el plenamar (marea alta), a les $t = 0\text{ h}$ i a les $t = 12\text{ h}$, l'aigua assoleix la seva cota màxima de $4{,}5\text{ m}$. En el baixamar (marea baixa), a meitat de cicle ($t = 6\text{ h}$), el nivell descendeix fins a la seva cota mínima de $1{,}5\text{ m}$.\na) Sense aplicar fórmules complexes, fes una estimació raonada d'entre quins dos valors estarà l'alçària de la marea a les $t = 27\text{ hores}$ de l'inici i determina si en aquest instant l'aigua estarà pujant o baixant. Justifica la teva estimació deduint quants cicles complets hauran transcorregut i en quin punt del cicle es troba aquest instant.\nb) Sabent que l'alçària es modelitza amb la funció $h(t) = 3 + 1{,}5 \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{6} t\right)$ (amb l'angle en radians), calcula el valor exacte de $h(27)$ i comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada i coherent amb el resultat numèric.

Un informe de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) analitza la despoblació en un petit municipi rural de la Serranía de Cuenca. A partir de l'any 2020 ($t = 0$), el nombre d'habitants censats s'ajusta a la funció següent amb tendència:\n$$P(t) = 540 \cdot (0{,}8)^t + 360$$\non $t$ és el temps transcorregut en anys i $P(t)$ representa la població total.\na) Quina era la població del municipi l'any 2020 i quants habitants es preveuen per a l'any 2023?\nb) Analitza la tendència de la població a molt llarg termini ($t \to \infty$). Justifica matemàticament cap a quin valor s'estabilitza la població recolzant-te en el comportament de la base $0{,}8$ en elevar-se a exponents cada vegada més grans, i indica l'equació de l'asimptota horitzontal.\nc) Un titular de premsa local assegura: «Si la tendència demogràfica no canvia, aquest municipi acabarà quedant-se completament desert amb $0$ habitants». Rebat matemàticament aquesta afirmació basant-te en el concepte d'asimptota horitzontal del model.

La gràfica següent mostra l'altura d'un saltador de puenting al llarg del temps, subjecta a l'oscil·lació de la corda elàstica. Analitza la gràfica i respon: quin és el "període" temporal aproximat entre els dos primers rebots? Es pot considerar que és una funció estrictament periòdica? Cap a quin valor tendeix l'altura del saltador quan el temps tendeix a infinit i què representa físicament aquest valor?

Els beneficis mensuals d'una empresa emergent (en milers d'euros) des de la seva creació venen donats per la funció racional $B(x) = \frac{ax + 50}{x + 2}$, on $x$ és el nombre de mesos transcorreguts. Si sabem que al mes inicial ($x=0$) el benefici va ser de $25\text{ mil \euro}$ i que, a llarg termini, els estudis de mercat indiquen que els beneficis tendeixen a estabilitzar-se en $120\text{ mil \euro}$ mensuals, determina el valor exacte del paràmetre $a$ i calcula el benefici esperat per al mes $8$.

En una planta industrial automatitzada, la màquina A requereix una parada de manteniment cada $45\text{ minuts}$ i la màquina B requereix una parada cada $60\text{ minuts}$. Si totes dues màquines reben manteniment simultani a les 08:00 del matí, a quina hora tornaran a coincidir exactament en el manteniment? Si definim una funció matemàtica que val $1$ quan totes dues màquines estan aturades alhora i $0$ en la resta del temps, quin és el període d'aquesta funció?

Un dipòsit de $500\text{ L}$ inicialment buit s'omple amb una aixeta que aporta $20\text{ L/min}$ durant $15\text{ minuts}$. Exactament en aquest moment, l'aixeta es tanca i s'obre una vàlvula de desguàs que buida el dipòsit a un ritme constant de $50\text{ L/min}$ fins que queda completament buit, moment en el qual la vàlvula es tanca, l'aixeta s'obre i el cicle torna a començar. Dibuixa mentalment la gràfica del volum d'aigua enfront del temps. Quin és el període complet d'aquest procés? Quin volum exacte d'aigua hi haurà al dipòsit al minut $100$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigui una funció $f(x)$ definida en l'interval $[0, 4)$ mitjançant l'expressió algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabem a més que la funció és periòdica amb període $T = 4$ per a qualsevol valor de $x \ge 0$, i es compleix que $f(x+4) = f(x)$. Basant-te en aquestes propietats, calcula pas a pas el valor exacte de $f(2019)$.

La temperatura interna d'un motor industrial en funcionament (mesurada en $^\circ\text{C}$) segueix la llei matemàtica $T(t) = 90 - \frac{120}{t + 2}$, on $t$ és el temps transcorregut en hores des de l'encesa. Quina és la temperatura en el moment d'arrencar el motor? Cap a quina temperatura màxima tendeix si el motor funciona de forma ininterrompuda durant setmanes? Quant de temps exacte ha de transcórrer perquè la temperatura interna assoleixi els $85^\circ\text{C}$?

Un satèl·lit meteorològic orbita la Terra de manera que passa exactament sobre una estació de seguiment terrestre cada $4\text{ hores i } 15\text{ minuts}$. Si el primer pas de la setmana sobre l'estació es registra un dilluns a les 02:30 de la matinada, quantes vegades passarà en total sobre l'estació al llarg de tota la setmana (fins diumenge a les 23:59)? Quin dia i a quina hora exacta serà l'últim pas registrat en aquella setmana?

Les vendes diàries estimades de dos productes competidors, A i B, segueixen les funcions de tendència següents amb el pas dels dies $t$: $V_A(t) = 500 - \frac{1000}{t+1}$ i $V_B(t) = 600 - \frac{3000}{t+1}$. Cap a quins valors límit tendeixen les vendes de cada producte a llarg termini? A partir de quin dia $t$ les vendes del producte B superen definitivament les del producte A?

Un sensor instal·lat en un aerogenerador d'un parc eòlic a Albacete registra les vibracions d'una pala mitjançant una funció periòdica de període $T = 1{,}25\text{ segons}$. L'equip de manteniment només disposa de la taula de dades del primer cicle, corresponent a l'interval $[0; 1{,}25)\text{ segons}$, i necessita avaluar l'estat de la pala exactament en l'instant $t = 253{,}5\text{ segons}$. Dos analistes proposen mètodes diferents:\n- Mètode A (Quocient decimal directe): Dividir $253{,}5$ entre $1{,}25$ a la calculadora ($253{,}5 : 1{,}25 = 202{,}8$), prendre la part decimal $0{,}8$ i multiplicar-la pel període ($0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1{,}0\text{ s}$) per a localitzar el punt dins del primer cicle.\n- Mètode B (Agrupació de cicles en enters exactes): Observar que el període és fraccionari ($T = \dfrac{5}{4}\text{ s}$), per la qual cosa cada $4$ períodes complets transcorren exactament $4 \cdot 1{,}25 = 5\text{ segons}$. Descompondre $253{,}5\text{ s}$ separant el múltiple enter més gran de $5\text{ s}$ per a reduir dràsticament el valor abans de fer la divisió final.\na) Desenvolupa ambdós mètodes pas a pas. S'obté en ambdós casos el mateix instant equivalent dins de $[0; 1{,}25)$? Quin és?\nb) Imagina ara que el sensor se substitueix per un altre el període exacte del qual és $T = \dfrac{4}{3}\text{ segons}$ ($1{,}3333\dots\text{ s}$). Raona quin dels dos mètodes resultaria perillós a causa de l'arrodiment de decimals a la calculadora i justifica quin hauries de triar per a garantir la màxima precisió matemàtica.

Al departament de disseny d'un fabricant d'automòbils a Martorell (Barcelona) es posa a prova l'amortiment d'un vehicle en superar un ressalt. El desplaçament vertical de la carrosseria respecte al xassís, $y(t)$ (en centímetres), oscil·la amunt i avall assolint crestes successives cada $0{,}5\text{ segons}$, però l'alçària d'aquestes crestes disminueix ràpidament fins que el cotxe torna a la seva posició de repòs ($y = 0$).\na) Un enginyer en pràctiques afirma: «Atès que el cotxe puja i baixa regularment cada $0{,}5\text{ segons}$, la funció que descriu el moviment és periòdica amb període $T = 0{,}5\text{ s}$». Utilitza la definició matemàtica rigorosa de funció periòdica, $f(t+T) = f(t)$ per a tot $t$ del seu domini, per a rebatre la seva afirmació i demostrar que una oscil·lació esmorteïda mai no pot ser estrictament periòdica.\nb) Construeix una funció $y(t)$ que modeli matemàticament aquest comportament reunint les següents tres condicions simultànies:\n 1. En l'instant de l'impacte ($t = 0$), el desplaçament inicial sigui $y(0) = 8\text{ cm}$.\n 2. Contingui un factor oscil·latori de la forma $\cos(k \cdot t)$ el període del qual sigui de $0{,}5\text{ segons}$ (recorda que el període de $\cos(kt)$ és $\dfrac{2\pi}{k}$).\n 3. La seva amplitud decaigui cap a la posició d'equilibri mitjançant un factor de la forma $b^t$ amb $0 < b < 1$, de manera que la funció tendeixi a $0$ quan $t \to \infty$.\nComprova algebraicament que la fórmula que has dissenyat compleix que $y(0) = 8$ i que el seu límit quan $t \to \infty$ és efectivament $0$.