Exercicis: Taxa de variació, taxa de variació mitjana i taxa de creixement

La taula següent mostra la temperatura $T$ (en $^{\circ}C$) d'una reacció química en funció del temps $t$ (en minuts).

• Per a $t = 0$, $T = 15$

• Per a $t = 1$, $T = 18$

• Per a $t = 2$, $T = 24$

• Per a $t = 3$, $T = 32$

• Per a $t = 4$, $T = 45$

• Per a $t = 5$, $T = 60$

Calcula la taxa de variació (TV) i la taxa de variació mitjana (TVM) en l'interval $[2, 5]$.

Donada la funció afí $f(x) = 4x - 5$, calcula la seva taxa de variació mitjana en els intervals $[-2, 1]$ i $[3, 6]$. Quina conclusió pots extreure sobre la taxa de variació mitjana de les funcions lineals?

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en l'interval $[1, 4]$.

El gràfic mostra el creixement d'una planta, on $h(t)$ és l'altura en centímetres i $t$ el temps en setmanes. A partir de la gràfica, calcula la taxa de variació mitjana de l'altura en l'interval $[1, 4]$.

Un ciclista recorre una distància donada per la funció $d(t) = 3t^2 + 2t$, on $d$ es mesura en metres i $t$ en segons. Troba la velocitat mitjana del ciclista, que equival a la taxa de variació mitjana de la posició, entre els instants $t = 2$ i $t = 5$.

Sabent que la taxa de variació mitjana d'una funció $f(x)$ en l'interval $[2, 6]$ és igual a $5$, i que $f(2) = 7$, determina el valor de $f(6)$.

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{24}{x}$ en l'interval $[2, 8]$.

El saldo $S$ (en euros) d'un compte d'estalvis en funció del temps $t$ (en mesos) ve donat per l'expressió $S(t) = 150 + 25t$. Determina la taxa de variació mitjana en l'interval $[0, 6]$ i interpreta el resultat numèric en el context del problema.

El nombre d'usuaris actius d'una aplicació mòbil va passar de $2000$ a $2500$ al llarg d'un mes. Calcula la taxa de creixement expressada en percentatge.

En Mateo analitza l'evolució del cens d'un municipi de la província de Teruel entre els anys 2015 ($t = 0$) i 2023 ($t = 8$). El nombre d'habitants censats va passar de $2\,400$ a $3\,000$. Per calcular el ritme mitjà de canvi anual, en Mateo escriu al seu examen:

I afirma a la seva conclusió: «El municipi va créixer a un ritme mitjà de $0,25$ habitants per any».

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès en Mateo i explica quina magnitud ha calculat realment en lloc de la taxa de variació mitjana.
2. b) Corregeix la seva resolució calculant la vertadera taxa de variació mitjana (TVM) en l'interval $[0, 8]$, indicant i interpretant les seves unitats.
3. c) Pren el resultat erroni d'en Mateo ($0,25$) i interpreta quina informació aporta si s'expressa com a taxa de creixement percentual (TC).

L'estació meteorològica d'AEMET a Còrdova registra durant un dia d'estiu les temperatures següents: a les $11:00$ ($t = 11$) el termòmetre marca $30\,^{\circ}\text{C}$ i a les $16:00$ ($t = 16$) arriba a la temperatura màxima del dia amb $42,5\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul formal, fes una estimació intuïtiva i raonada: creus que la temperatura deu haver pujat més o menys de $2\,^{\circ}\text{C}$ cada hora de mitjana? Justifica la teva resposta en una frase a partir de les dades brutes.
2. b) Calcula la taxa de variació (TV) i la taxa de variació mitjana (TVM) de la temperatura en l'interval $[11, 16]$, especificant les unitats de cada resultat.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada comparant-la amb el valor exacte de la TVM i raona: significa aquest valor mitjà que la temperatura va pujar exactament aquesta quantitat en cadascuna de les cinc hores de l'interval?

Les visualitzacions d'un vídeo viral creixen seguint el model matemàtic $N(t) = 100 \cdot 2^t$, on $N$ és el nombre de visualitzacions en milers i $t$ es mesura en dies. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Compara els resultats i explica què indiquen sobre el ritme de creixement del vídeo.

Determina el valor del paràmetre $a$ perquè la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $f(x) = ax^2 - 4x + 3$ en l'interval $[1, 5]$ sigui exactament igual a $14$.

La gràfica següent mostra el nombre d'espectadors $V(t)$, en milers, de les retransmissions d'un torneig d'e-sports durant els primers $5$ mesos de la temporada. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Interpreta el significat dels signes obtinguts en cada cas.

Des d'un pont alt es deixa caure una pedra. L'altura $h$ (en metres) respecte a la superfície de l'aigua en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'equació $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[1; 2,5]$. Quina magnitud física representa aquest valor i per què té signe negatiu?

Donada la funció amb radical $f(x) = \sqrt{2x - 3}$, troba la seva taxa de variació mitjana en els intervals $[2, 6]$ i $[6, 14]$.

El volum $V$ (en litres) d'aigua en un dipòsit industrial que s'està buidant ve donat per la funció $V(t) = 500 - 10t - t^2$, on $t$ es mesura en minuts. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[0, 5]$ i $[5, 10]$. En quin interval de temps es buida més ràpid el dipòsit?

Considera la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 5]$ i utilitza aquest valor per escriure l'equació de la recta secant a la gràfica de $f(x)$ que passa pels punts d'abscissa $x = 2$ i $x = 5$.

Donada la funció definida a trossos següent, calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[1, 4]$.

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

El valor d'un cotxe es deprecia segons la funció $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, on $t$ són els anys transcorreguts des de la seva compra i $V(t)$ el preu en euros. Calcula la taxa de creixement percentual en el primer any (interval $[0, 1]$) i explica el significat pràctic del seu signe.

El nivell d'aigua d'un embassament (en hectómetres cúbics) durant els mesos d'estiu segueix la funció $N(t) = \frac{120}{t+1}$, on $t$ és el nombre de mesos transcorreguts ($t=0$ és l'inici de juny, $t=1$ és l'inici de juliol, etc.). Calcula la taxa de variació mitjana entre l'inici de juny i l'inici d'agost ($t=2$) i la taxa de creixement percentual en aquest mateix període.

El preu d'un producte tecnològic era de $800$ € quan es va llançar. Dos mesos després, el seu preu va baixar a $640$ €. Suposant un model de decreixement lineal, calcula la taxa de variació mitjana mensual i la taxa de creixement percentual total en aquests dos primers mesos.

El cost total de transport (en euros) que factura una empresa de logística en funció de la distància de l'enviament $x$ (mesurada en desenes de quilòmetres, amb $x \ge 0$) ve donat per la funció $C(x) = 0,5x^2 + 2x + 10$.

1. a) Un transport surt de la central ($x = 0$) amb destinació a un punt situat a una distància desconeguda $b$ desenes de quilòmetres. Sabent que la taxa de variació mitjana del cost en aquest tram ha estat de $5$ euros per desena de quilòmetre (és a dir, $\text{TVM}[0, b] = 5$), planteja l'equació corresponent i calcula el valor exacte de $b$.
2. b) Un altre client sol·licita un transport entre dos magatzems situats en les posicions $x = 3$ i $x = k$ (amb $k > 3$). El client afirma que en aquest tram la taxa de variació mitjana ha estat de només $3$ euros per desena de quilòmetre ($\text{TVM}[3, k] = 3$). Demostra algebraicament que és impossible trobar un valor $k > 3$ que compleixi aquesta condició i explica geomètricament per què la forma de la paràbola impedeix un pendent tan baix en aquesta zona.

A partir de dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), el preu mitjà del metre quadrat d'habitatge en dues comunitats autònomes va evolucionar de la manera següent entre els anys 2014 ($t = 0$) i 2024 ($t = 10$):

• A Extremadura va passar de $800$ €/m$^2$ a $1\,200$ €/m$^2$.

• A la Comunitat de Madrid va passar de $2\,200$ €/m$^2$ a $3\,000$ €/m$^2$.

1. a) Modela l'evolució calculant la taxa de variació mitjana (TVM) del preu a cada comunitat en el període $[0, 10]$. En quina de les dues va créixer el preu a un ritme anual absolut més gran?
2. b) Calcula la taxa de creixement (TC) percentual en aquest mateix decenni per a ambdues comunitats. Quina va experimentar un encariment relatiu més gran respecte al seu nivell de partida?
3. c) Dos mitjans de comunicació titulen la notícia de manera diferent: el diari A publica «Madrid duplica el ritme anual d'apujada del preu de l'habitatge respecte a Extremadura», mentre que el diari B titula «L'habitatge a Extremadura s'encareix en l'última dècada a un ritme percentual molt superior al de Madrid». Explica quin indicador matemàtic (TVM o TC) recolza cada titular i argumenta per què cap dels dos diaris està mentint.

Obtén l'expressió algebraica simplificada per a la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ en l'interval genèric $[a, a+h]$, on $h > 0$.

La distància de frenada $d$ (en metres) d'un vehicle en funció de la seva velocitat $v$ (en km/h) es modelitza mitjançant la funció $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[40, 60]$ i $[100, 120]$. Explica raonadament per què l'increment mitjà de la distància de frenada és molt més gran a velocitats altes.

El gràfic mostra la distància al punt de partida $d(t)$ en km d'un ciclista al llarg d'un entrenament de $5$ hores. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval complet $[0, 5]$ i justifica, analitzant la gràfica, en quin interval d'una hora el ciclista va assolir la velocitat instantània més gran.

Sigui la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - kx & \text{si } x < 3 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Determina el valor del paràmetre $k$ sabent que la taxa de variació mitjana de $f(x)$ en l'interval $[1, 5]$ és igual a $4$.

El nombre de seguidors $S$ (en milers) d'un canal de vídeos en funció del nombre de vídeos publicats $x$ segueix el model $S(x) = \frac{120x}{x + 10}$. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[10, 20]$ i $[40, 50]$. Interpreta a partir dels resultats obtinguts el fenomen que cada vídeo nou aporta cada vegada menys seguidors nous.

Un rectangle s'inscriu en un triangle rectangle de base $10$ cm i altura $8$ cm, recolzant dos dels seus costats sobre els catets. L'àrea del rectangle en funció de la seva base $x$ ve donada per l'expressió $A(x) = x(8 - 0,8x)$. Calcula la taxa de variació mitjana de l'àrea en els intervals $[2, 4]$ i $[6, 8]$. Interpreta el canvi de signe de la taxa de variació mitjana en aquest context geomètric.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcula i compara la taxa de variació mitjana en els intervals $[1, 2]$ i $[-2, -1]$. Justifica analíticament per què s'obté el mateix resultat utilitzant la simetria senar de la funció.

Una funció $f(x)$ té la propietat que la seva taxa de variació mitjana en qualsevol interval $[a, b]$ és sempre constant i igual a $-4$. Si es sap que la gràfica de la funció passa pel punt $(3, 10)$, determina l'expressió analítica de $f(x)$ i calcula el valor exacte de $f(8)$.

La posició d'un objecte en caiguda lliure ve donada per $e(t) = 5t^2$ (on $e$ es mesura en metres i $t$ en segons). Troba l'instant exacte de temps $t > 1$ per al qual la velocitat mitjana (que coincideix amb la taxa de variació mitjana) en l'interval $[1, t]$ és exactament de $25$ m/s.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la taxa de creixement percentual de la funció $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en l'interval $[2, 8]$ sigui exactament del $-60\%$. Depèn el resultat final del valor inicial de $k$? Raona la teva resposta algebraicament.

Dos amics comparen el creixement dels seus canals de vídeo. El canal A guanya seguidors segons el model lineal $S_A(t) = 100t + 500$, i el canal B segons el model exponencial $S_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (on $t$ es mesura en dies i $S$ en seguidors). Calcula la taxa de creixement percentual de tots dos canals en l'interval $[2, 4]$ i determina quin experimenta un creixement relatiu més gran en aquest període.

Sigui la funció exponencial $f(x) = 2^x$. Calcula la taxa de creixement percentual en els intervals $[1, 2]$, $[2, 3]$ i $[3, 4]$. A partir dels resultats obtinguts, demostra algebraicament que per a qualsevol interval de la forma $[n, n+1]$ (amb $n \in \mathbb{N}$), la taxa de creixement percentual d'aquesta funció és sempre constant.

El volum d'aigua restant (en metres cúbics) en una bassa de reg agrícola a Múrcia després d'obrir una comporta de drenatge es modelitza mitjançant la funció $V(t) = 100 - 5t - t^2$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de l'obertura ($0 \le t \le 7$). Es necessita determinar la rapidesa instantània amb la qual surt l'aigua just en l'instant $t = 2$ hores, per a la qual cosa es proposen dos procediments:

• Mètode A (Aproximació numèrica mitjançant TVM successives): Calcular la TVM en intervals de temps cada vegada més petits a partir de $t = 2$, en concret $[2; 2,5]$ i $[2; 2,1]$, i observar la tendència.

• Mètode B (Càlcul algebraic genèric): Plantejar l'expressió $\text{TVM}[2, 2+h] = \dfrac{V(2+h) - V(2)}{h}$ amb un increment genèric $h > 0$, simplificar algebraicament la fracció i deduir el valor quan $h$ tendeix a zero ($h \to 0$).

1. a) Aplica el Mètode A: calcula les dues TVM numèriques i formula una conjectura sobre quina és la velocitat instantània de buidatge a les $2$ hores.
2. b) Aplica el Mètode B: desenvolupa $V(2+h)$, simplifica la fracció eliminant la indeterminació que genera la variable $h$ i obtén el valor exacte quan $h \to 0$.
3. c) Compara ambdós mètodes i justifica quin d'ells aporta una demostració matemàtica rigorosa enfront d'una intuïció i quin resultaria més eficient si un enginyer hagués de programar el càlcul de la velocitat instantània per a molts instants diferents.

La potència generada (en megawatts, MW) durant les primeres hores d'un temporal per un parc eòlic segueix el model lineal $P_1(t) = 2t + 4$, mentre que una central hidroelèctrica modulable que arrenca durant el mateix temporal segueix el model quadràtic $P_2(t) = t^2 - 2t + 4$, on $t$ es mesura en hores ($0 \le t \le 6$).

1. a) Comprova que en l'interval global $[0, 4]$ ambdues instal·lacions presenten exactament la mateixa taxa de variació mitjana ($\text{TVM}[0, 4] = 2\text{ MW/h}$). Raona si això significa que ambdues van augmentar la seva producció al mateix ritme en tot moment; per a fer-ho, analitza el comportament real de $P_2(t)$ entre $t = 0$ i $t = 1$ i compara'l amb el de la recta secant.
2. b) Determina algebraicament per a quin instant $b > 2$ la taxa de creixement de la central hidroelèctrica en l'interval $[0, b]$ és exactament del $200\,\%$ ($\text{TC}_2[0, b] = 2$). Calcula la TVM en aquest tram i explica com es relacionen la TVM, la TC i el valor inicial $P_2(0)$.
3. c) Es vol esbrinar a partir de quin moment l'increment horari de la hidroelèctrica supera amb claredat l'eòlic. Planteja i resol una inequació amb les taxes de variació mitjana en un interval genèric d'una hora $[a, a+1]$ per determinar a partir de quina hora $a$ es compleix que $\text{TVM}_2[a, a+1] - \text{TVM}_1[a, a+1] > 3\text{ MW/h}$.