Exercicis: Funcions definides a trossos

Donada la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcula el valor de la funció en els punts $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina el seu domini i el seu recorregut.

Expressa la funció de valor absolut $f(x) = |3x - 6|$ com una funció definida a trossos.

Un pàrquing cèntric cobra una tarifa de $2$ € per la primera hora d'estada (o fracció). A partir de la primera hora, cobra a raó de $1,50$ € per cada hora addicional, i factura el temps extra de manera proporcional als minuts exactes d'estada. Escriu la funció definida a trossos $C(x)$ que representa el cost total en funció de les hores $x$ que el cotxe roman al pàrquing.

Troba el punt de ruptura de la funció següent i determina si és contínua en aquest punt:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Associa la descripció següent amb l'estructura d'una funció definida a trossos: «S'encén un forn i la seva temperatura puja de manera constant durant 10 minuts fins a assolir els 200 ºC. Es manté a aquesta temperatura durant 40 minuts per coure una pizza i, finalment, s'apaga, i la seva temperatura baixa fins a la temperatura ambient (20 ºC) de manera constant en 30 minuts.»

Escriu els intervals de temps que definirien els tres trams de la funció temperatura $T(t)$.

Representa gràficament a la teva llibreta la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la gràfica de la funció $g(x)$, determina la seva expressió analítica sabent que està formada per dues semirrectes.

Per expressar la funció $g(x) = |2x - 6| + 1$ com una funció definida a trossos, l'Alejandro escriu al seu examen:

L'Alejandro argumenta que el canvi de tram sempre es produeix a $x = 0$ perquè és on els nombres passen de negatius a positius.

1. a) Explica raonadament l'error conceptual de l'Alejandro. Quina expressió és la que realment ha de canviar de signe per separar els trams del valor absolut i en quin valor de $x$ ocorre el canvi?
2. b) Escriu l'expressió correcta de $g(x)$ a trossos i comprova, calculant els límits laterals en el punt de canvi de tram, que la funció no presenta cap salt (és contínua).

Una empresa de paqueteria urgent a Espanya tarifa els enviaments nacionals segons el seu pes $x$ (en quilograms) mitjançant la funció de cost $P(x)$ (en euros):

1. a) Sense fer càlculs numèrics exactes, observa amb atenció les dues branques: la quota fixa passa de $4$ € a $8$ €, però el cost per quilogram baixa d'$1,5$ € a $0,7$ €. Estima raonadament si un client que envia un paquet de $5,1\text{ kg}$ pagarà molt més, molt menys o una quantitat pràcticament idèntica a la d'un altre que envia un paquet de $4,9\text{ kg}$.
2. b) Comprova la teva estimació calculant els costos exactes $P(4,9)$ i $P(5,1)$. A continuació, calcula els límits laterals $\lim_{x \to 5^-} P(x)$ i $\lim_{x \to 5^+} P(x)$ per determinar si en el llindar dels $5\text{ kg}$ es produeix un salt brusc o si la gràfica empalma de manera contínua. És raonable aquest resultat per al client?

Una companyia de telefonia mòbil ofereix una tarifa de dades que funciona de la manera següent: es paga una quota fixa mensual de $15$ € que inclou els primers $5$ GB de descàrrega. Si es supera aquest límit, cada gigabyte addicional (o fracció proporcional) es cobra a $2$ €.

Escriu la funció $C(x)$ que representa el cost mensual en funció dels gigabytes $x$ consumits, i calcula quant pagarà un client que ha consumit $3$ GB i un altre que ha consumit $8,5$ GB.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la funció definida a trossos següent sigui contínua en tot el seu domini:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Expressa la funció $f(x) = |x - 2| + 3x$ com una funció definida a trossos sense utilitzar el valor absolut i calcula els valors de $f(0)$ i $f(5)$.

Un tren de rodalies arrenca des d'una estació i accelera de manera constant fins a assolir una velocitat de $20$ m/s en $10$ segons. Manté aquesta velocitat de creuer durant $30$ segons i, finalment, frena de manera uniforme fins a aturar-se per complet a la següent estació en $5$ segons. Escriu la funció a trossos $v(t)$ que descriu la velocitat del tren en funció del temps transcorregut des de l'arrencada.

A partir de la gràfica de la funció $h(x)$, que està composta per un arc de paràbola i una semirrecta, troba la seva expressió analítica.

El rebut de la llum d'un habitatge té un terme fix de $10$ € mensuals. A més, els primers $100$ kWh consumits es facturen a $0,12$ €/kWh. Si es superen els $100$ kWh, l'excés de consum es cobra a $0,15$ €/kWh. Escriu la funció $F(x)$ que dona l'import total del rebut en funció dels kWh $x$ consumits.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Representa-la gràficament i determina els seus màxims i mínims relatius, si en té.

En un país fictici, l'impost sobre la renda es calcula de la manera següent: pels primers $10\,000$ € d'ingressos no es paguen impostos ($0$%). Per la quantitat que excedeixi de $10\,000$ € i fins a $20\,000$ €, es paga un $10$%. Per la quantitat que excedeixi de $20\,000$ €, es paga un $20$%.

Escriu la funció definida a trossos $I(x)$ que calcula l'impost a pagar en funció dels ingressos $x$.

En una localitat espanyola, la factura bimensual de l'aigua per a ús domèstic es divideix en tres trams de consum per incentivar l'estalvi d'aigua:

• Tram 1 (consum bàsic): fins a $15\text{ m}^3$, es cobra una quota fixa de servei de $6$ € més $0,50$ € per cada metre cúbic consumit.

• Tram 2 (consum mitjà): entre $15\text{ m}^3$ i $30\text{ m}^3$, els primers $15\text{ m}^3$ s'abonen segons el tram 1 i el volum restant que excedeixi de $15\text{ m}^3$ es factura a $1,20$ € per cada metre cúbic addicional.

• Tram 3 (consum elevat): per a consums superiors a $30\text{ m}^3$, els primers $30\text{ m}^3$ es paguen segons els trams anteriors i cada metre cúbic addicional per sobre de $30\text{ m}^3$ costa $2,50$ €.

1. a) Modela la factura escrivint la funció $C(x)$ (cost en euros) en funció del volum $x$ d'aigua consumit (en $\text{m}^3$), detallant l'expressió algebraica simplificada per a cadascun dels tres trams: $[0, 15]$, $(15, 30]$ i $(30, +\infty)$.
2. b) Comprova analíticament mitjançant els límits laterals corresponents si la funció $C(x)$ és contínua en els punts de canvi de tram ($x = 15$ i $x = 30$).
3. c) Quin problema d'equitat es produiria per als usuaris si l'empresa cobrés directament tot el volum a $1,20$ €/$\text{m}^3$ així que el consum superés els $15\text{ m}^3$?

Es vol dissenyar el perfil vertical d'una rampa per a monopatí formada per dos trams que empalmen en la coordenada horitzontal $x = 2$:

La rampa ha de complir rigorosament les condicions de disseny següents:

1. Per a $x < 2$, el tram $f_1(x)$ és una funció afí (recta) la gràfica de la qual passa pel punt $(-1, 0)$.

2. Per a $x \ge 2$, el tram $f_2(x)$ és una funció quadràtica (paràbola) el vèrtex de la qual se situa en el punt $(4, 1)$.

3. La pista no pot tenir esglaons: la funció ha de ser contínua a $x = 2$, i l'altura en aquest punt d'unió ha de ser exactament $f(2) = 5$.

1. a) Troba l'expressió algebraica de la paràbola $f_2(x)$ a partir de la forma del seu vèrtex, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, i del punt d'unió $(2, 5)$.
2. b) Troba l'expressió algebraica de la recta $f_1(x)$ determinant el seu pendent a partir dels punts pels quals ha de passar.
3. c) Escriu la funció $f(x)$ completa amb els seus dominis i comprova formalment, calculant $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, que no hi ha cap discontinuïtat a $x = 2$.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ sigui contínua en $x=1$ i passi pel punt $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una vegada trobats $a$ i $b$, comprova matemàticament si la funció resulta ser contínua també en $x=3$.

Expressa la funció $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ com una funció definida a trossos, eliminant els valors absoluts, i simplifica l'expressió de cadascun dels trams resultants.

Una sala de teatre ofereix un preu d'entrada de $10$ € si hi assisteixen fins a un màxim de $50$ persones. Per fomentar l'assistència de grups grans, per cada persona que excedeixi de $50$, el preu de l'entrada per a tots els assistents es redueix en $0,10$ €.

Escriu la funció d'ingressos totals del teatre $I(x)$ en funció del nombre d'assistents $x$ (com a funció a trossos) i determina quantes persones han d'assistir perquè el teatre obtingui el màxim ingrés possible.

Observa la gràfica següent de la funció $p(x)$ i determina la seva expressió analítica completa. A partir d'aquesta, indica el seu domini, el seu recorregut i classifica les discontinuïtats que presenta.

Un coet de prova s'enlaira verticalment. Durant els primers $10$ segons, la seva alçària en metres es modelitza mitjançant la funció lineal $h(t) = 5t$. Als $10$ segons s'apaga el motor i el coet segueix una trajectòria parabòlica de caiguda lliure $h(t) = at^2 + bt + c$, de manera que la transició és contínua. Sabent que el coet aconsegueix la seva alçària màxima als $25$ segons i impacta contra el terra als $50$ segons, troba l'expressió de la paràbola i determina l'alçària màxima assolida pel coet.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè l'àrea total de la figura geomètrica enclosa entre la gràfica de la funció i l'eix d'abscisses (eix $X$) sigui exactament de $24$ unitats quadrades.

Un dipòsit d'aigua de $6000$ litres de capacitat està inicialment buit. S'encén una bomba que introdueix aigua a un ritme constant de $50$ litres per minut. Passats $60$ minuts, s'encén una segona bomba auxiliar que afegeix un cabal addicional de $30$ litres per minut. Escriu la funció a trossos $V(t)$ que representa el volum d'aigua al dipòsit en funció del temps, i calcula quant de temps en total es trigarà a omplir el dipòsit per complet.

Troba analíticament els punts d'intersecció entre la funció definida a trossos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ i la recta $y = x + 2$.

Per resoldre l'equació $|x - 1| + |x - 3| = 4$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode A (Analític mitjançant funció a trossos): Definir $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ a trossos. Per a fer-ho, s'estudia el signe d'$x - 1$ i d'$x - 3$ dividint la recta real en tres intervals ($x < 1$, $1 \le x \le 3$ i $x > 3$), s'eliminen les barres segons correspongui i es resol una equació de primer grau en cada tram, comprovant si cada solució trobada pertany al seu interval.

• Mètode B (Geomètric per distàncies): Interpretar $|x - a|$ com la distància en la recta real entre el valor $x$ i el punt fix $a$. D'aquesta manera, $|x - 1| + |x - 3|$ representa la suma de les distàncies des d'un punt $x$ fins a l'$1$ i fins al $3$.

1. a) Aplica el Mètode A: escriu $f(x)$ desglossada en tres trams simplificats i resol l'equació comprovant la validesa de les solucions en cada interval.
2. b) Aplica el Mètode B: raona sobre la recta numèrica quina és la distància mínima possible entre $x$ i els punts $1$ i $3$ (i en quin interval de $x$ s'assoleix). A partir d'aquesta anàlisi geomètrica, dedueix les solucions de $|x - 1| + |x - 3| = 4$ sense recórrer a l'àlgebra de trams.
3. c) Compara ambdós mètodes i justifica quin dels dos triaries si l'equació fos $|2x - 1| + 3|x - 3| = 8$, i quin triaries si et demanessin justificar ràpidament per què l'equació $|x - 1| + |x - 3| = 1,5$ no té cap solució real.

El parlament d'una comunitat autònoma aprova una reforma del tram autonòmic de l'IRPF per a rendes del treball $x$ (expressades en milers d'euros anuals). L'impost total $T(x)$ (també en milers d'euros) es modelitza mitjançant una funció a trossos:

Per garantir la progressivitat i evitar el «salt impositiu» (que un contribuent acabi amb menys diners nets en guanyar una mica més de sou brut), la llei imposa dos requisits:

1. La funció $T(x)$ ha de ser contínua en tot el seu domini, en particular a $x = 20$.

2. A partir de $20$ mil euros, el tipus marginal és del $28\,\%$ (és a dir, per cada mil euros addicionals sobre els $20$, l'impost augmenta en $0,28$ mil euros, la qual cosa determina el valor del pendent $a$).

1. a) Determina raonadament els valors d'$a$ i de $b$ perquè es compleixin les dues condicions legals.
2. b) Defineix a trossos la funció del sou net restant, $S(x) = x - T(x)$, i calcula el sou net d'una persona que guanya $20\,000$ € anuals ($x = 20$) i el d'una altra que guanya $20\,500$ € anuals ($x = 20,5$). Comprova si qui té més salari brut conserva efectivament més salari net.
3. c) Un diputat va proposar una fórmula alternativa sense paràmetre corrector: $T_{\text{alt}}(x) = 0,18x$ si $0 \le x \le 20$, i $T_{\text{alt}}(x) = 0,28x$ si $x > 20$ (aplicar el $28\,\%$ íntegre a tot el sou així que se superin els $20$ mil euros). Calcula el salt $\lim_{x \to 20^+} T_{\text{alt}}(x) - \lim_{x \to 20^-} T_{\text{alt}}(x)$ i explica quina situació econòmicament absurda patiria un treballador que rebés un augment de sou de $20\,000$ € a $20\,100$ €.