Exercicis: Funcions radicals

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{x - 8}$.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de les seves imatges per a $x = 5$ i $x = 13$.

Troba el domini de la funció $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.

Observa les tres funcions representades en la gràfica següent. Identifica quina d'elles correspon a l'expressió $f(x) = \sqrt{x - 2}$ i justifica la teva resposta indicant el seu domini.

Calcula el valor de $x$ per al qual la funció $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ pren el valor $4$.

Determina el domini de la funció $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.

El temps $t$ (en segons) que triga un objecte a caure des d'una altura $h$ (en metres) es pot aproximar mitjançant la funció $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. Quant de temps trigarà a arribar a terra una pilota que es deixa caure des d'un pont de $45$ metres d'altura?

La Lucía intenta calcular el punt de tall amb l'eix d'ordenades ($Y$) de la funció $f(x) = \sqrt{x - 4} + 1$. Per fer-ho, escriu al seu quadern: «Com que el tall amb l'eix $Y$ té lloc quan $x = 0$, calculo $f(0) = \sqrt{0 - 4} + 1 = \sqrt{-4} + 1 = -2 + 1 = -1$, per tant la corba talla en el punt $(0, -1)$». Identifica els dos errors conceptuals comesos per la Lucía, explica per què el seu procediment contradiu la definició de domini d'una funció radical en els nombres reals i determina justificadament si la gràfica de $f$ talla o no l'eix $Y$.

Una funció radical elemental té l'expressió $f(x) = \sqrt{x - h} + v$. Se sap que la seva representació gràfica neix exactament en el punt $(-3, 2)$ del pla cartesià i que, a més, passa pel punt $(1, 4)$. Determina de manera raonada els valors numèrics dels paràmetres $h$ i $v$. A partir d'aquests, dedueix el domini i el recorregut de la funció basant-te en el significat de les translacions horitzontal i vertical respecte a la funció bàsica $y = \sqrt{x}$.

El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple ve donat per la funció $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, on $L$ és la longitud del fil en metres. Si volem construir un pèndol que tingui un període d'exactament $2$ segons, quina longitud ha de tenir el fil? (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Troba el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x}$, escriu l'expressió analítica de la funció $g(x)$ que resulta en desplaçar la gràfica de $f(x)$ tres unitats cap a la dreta i dues unitats cap amunt.

La velocitat $v$ (en km/h) a la qual es propaga un tsunami a l'oceà depèn de la profunditat $d$ (en metres) de l'aigua, segons la funció $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si s'ha detectat que un tsunami avança a una velocitat de $336$ km/h, a quina profunditat es troba l'oceà en aquest punt?

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.

El radi $r$ d'un cercle en funció de la seva àrea $A$ ve donat per $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la taxa de variació mitjana del radi quan l'àrea passa de $100\pi$ a $400\pi$ unitats quadrades.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tingui com a domini l'interval $[-2, +\infty)$ i passi pel punt $(2, 4)$.

Observa les gràfiques de les funcions $f(x) = \sqrt{x + 1}$ i $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el domini de cadascuna d'elles i calcula el punt exacte on s'intersequen.

Des del far de Cabo Vilán (Galícia), la distància màxima teòrica $D$ (en quilòmetres) a la qual s'albira la línia de l'horitzó sobre el mar depèn de l'altura $h$ (en metres) a la qual se situen els ulls de l'observador, segons el model $D(h) = 3,57 \cdot \sqrt{h}$.

1. a) Abans de calcular el valor exacte, estima raonadament entre quins dos nombres enters consecutius de quilòmetres estarà la distància de visió per a un visitant situat a $h = 40\text{ m}$ d'altura sobre el nivell del mar, justificant la teva aproximació a partir dels quadrats perfectes més propers a $40$.
2. b) Calcula ara el valor numèric de $D(40)$ arrodonint a dues xifres decimals i comprova si la teva estimació inicial era encertada.
3. c) Si un mariner afirma que per veure el doble de lluny ($2 \cdot D$) n'hi ha prou amb situar-se al doble d'altura ($2 \cdot h$), justifica matemàticament si la seva afirmació és vertadera o falsa analitzant com es comporta l'arrel quadrada davant d'una duplicació de la variable.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra la velocitat del vent $v$ (en $\text{m/s}$) a les proximitats d'un parc eòlic a Aragó en funció de l'altura $z$ (en metres) sobre el terreny mitjançant l'expressió $v(z) = 3 + 2\sqrt{z - 4}$, aplicable a partir de la cota mínima dels anemòmetres.

1. a) Interpreta el significat matemàtic i físic del radicand i dedueix el domini de definició de la funció en aquest context real. Per què no té sentit avaluar $v(2)$?
2. b) Planteja l'equació corresponent per esbrinar a quina altura la velocitat del vent arriba als $11\text{ m/s}$, resol-la pas a pas i comprova explícitament si la solució obtinguda pertany al domini de la funció.
3. c) Sense resoldre cap equació algebraica llarga, dedueix raonadament a partir del recorregut (imatge) de la funció si és possible que en algun punt per sobre de la cota mínima el vent estigui en calma total ($v = 0\text{ m/s}$).

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.

Troba els punts d'intersecció entre la recta $y = x - 2$ i la funció radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprova que la solució obtinguda pertany al domini de totes dues funcions i satisfà l'equació original.

La distància $d$ (en km) a la qual es troba l'horitzó per a un observador situat a una altura $h$ (en metres) sobre el nivell del mar es pot aproximar mitjançant la funció $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Si et trobes a la part superior d'un far a $10$ metres d'altura, quants metres addicionals hauries de pujar perquè la distància a l'horitzó visible es dupliqui?

Determina el domini i el recorregut de la funció $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica la teva resposta analitzant les característiques de la funció radical.

El cost de producció $C$ (en euros) d'una fàbrica de components electrònics depèn del nombre d'unitats produïdes $x$ segons la funció $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$. Determina el domini de la funció en aquest context. Si el cost d'un lot ha sigut de $350$ euros, quantes unitats s'han produït?

La relació entre el volum $V$ d'un cub i la seva arista $a$ és $V = a^3$. No obstant això, si considerem l'àrea d'una de les seves cares $A = a^2$, expressa l'arista $a$ en funció de l'àrea $A$. Després, expressa el volum $V$ en funció de l'àrea $A$ fent servir una funció radical i calcula el volum si l'àrea d'una cara és $25 \text{ cm}^2$.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determina els valors de $x$ per als quals la funció està definida. A continuació, calcula els punts exactes on la funció pren el valor $\sqrt{5}$.

Observa la funció definida a trossos següent i la seva representació gràfica:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia el seu domini, raona si és una funció contínua a $x=0$ i demostra algebraicament si té cap tipus de simetria (parell o senar).

Per trobar els punts de tall entre la funció radical $f(x) = \sqrt{2x + 10}$ i la recta $g(x) = x - 1$, s'ha de resoldre l'equació $\sqrt{2x + 10} = x - 1$. Dos estudiants proposen estratègies diferents abans d'operar:

• Mètode d'en Marcos: Aïllar l'arrel, elevar tots dos membres al quadrat, resoldre l'equació de segon grau resultant i, al final, substituir cada solució a la igualtat de partida per descartar possibles solucions falses.

• Mètode de la Sara: Abans d'elevar al quadrat, analitzar el domini del radicand ($2x + 10 \ge 0$) i la condició de signe del segon membre ($x - 1 \ge 0$), deduint que qualsevol solució vàlida ha de pertànyer forçosament a l'interval $[1, +\infty)$.

1. a) Aplica el mètode d'en Marcos resolent l'equació pas a pas. Mostra quina solució falsa sorgeix i explica algebraicament per què apareix en elevar al quadrat.
2. b) Explica per què el mètode de la Sara permet descartar immediatament la solució falsa sense necessitat de substituir-la a l'equació original.
3. c) Justifica quin perill té elevar directament al quadrat si l'equació inicial es presentés no aïllada com a $\sqrt{2x + 10} - x = -1$ i s'apliqués el quadrat a cada terme per separat.

Dissenya raonadament l'expressió analítica d'una funció radical de la forma $f(x) = a\sqrt{x - h} + v$ que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:

1. El seu domini de definició és l'interval $[4, +\infty)$.

2. La seva gràfica talla l'eix d'abscisses ($X$) en el punt $(13, 0)$.

3. La funció és estrictament decreixent en tot el seu domini.

4. El valor màxim que assoleix la funció és $6$ (és a dir, el seu recorregut és $(-\infty, 6]$).

Respon de manera justificada a les qüestions següents:

1. a) Dedueix pas a pas el valor de cadascun dels paràmetres $h$, $v$ i $a$, explicant quina condició et permet fixar cadascun.
2. b) Determina analíticament si la gràfica de la teva funció talla o no l'eix d'ordenades ($Y$).
3. c) Si canviem únicament el signe del coeficient $a$ obtingut (deixant $h$ i $v$ intactes), quin seria el nou recorregut de la funció i què passaria amb el punt de tall amb l'eix $X$? Justifica la teva resposta sense limitar-te a donar només el resultat.