Exercicis: Polinomi de segon grau: Paràboles

Donada la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina les coordenades exactes del seu vèrtex i l'equació del seu eix de simetria.

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades (tant amb l'eix d'abscisses com amb l'eix d'ordenades) de la paràbola $y = -x^2 + 2x + 8$.

Observa les tres paràboles representades en la figura següent. Associa cadascuna de les expressions analítiques amb la seva gràfica corresponent (A, B o C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Sabent que la gràfica de la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + c$ passa pels punts $(0, 3)$ i $(2, 11)$, planteja un sistema d'equacions i calcula els valors dels paràmetres $a$ i $c$.

Indica cap on s'obren les branques de la paràbola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificant la teva resposta, i esbrina si el vèrtex d'aquesta funció correspon a un màxim o a un mínim absolut. Calcula les seves coordenades.

La funció $d(t) = 5t^2$ descriu la distància en centímetres que recorre una canica en caure per un carril inclinat en funció del temps $t$ en segons. Quina distància haurà recorregut als $4$ segons? Quant de temps trigarà a recórrer exactament $125$ cm?

Expressa la funció $y = (x + 3)^2 - 2$ com el resultat d'aplicar una traslació a la paràbola elemental $y = x^2$. Indica clarament la direcció i el nombre d'unitats desplaçades tant en l'eix horitzontal com en el vertical.

Determina, substituint en l'equació, si el punt $(-1, 4)$ i el punt $(2, 1)$ pertanyen a la gràfica de la paràbola $y = 2x^2 - 3x - 1$.

En Marcos ha de trobar l'eix de simetria i el recorregut de la paràbola $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. En el seu examen escriu el següent:

«Com que $a = -1$ i $b = 6$, la coordenada $x$ del vèrtex és $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Per tant, l'eix de simetria és la recta horitzontal $y = 3$. Tot seguit, calculo l'ordenada del vèrtex: $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4$, de manera que el vèrtex és $V(3, 4)$. Com que $a < 0$, les branques van cap avall i la paràbola té un màxim, per la qual cosa el seu recorregut és $[4, +\infty)$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos en la seva resposta.
2. b) Explica raonadament per què són incorrectes, acudint a la relació entre l'eix de simetria i les rectes verticals, i al significat gràfic de recorregut quan les branques van cap avall.
3. c) Escriu la solució corregida: l'equació correcta de l'eix de simetria i l'interval que defineix el recorregut de $f(x)$.

El disseny de l'arc parabòlic d'una font ornamental segueix la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$. El raig d'aigua surt del nivell de terra al punt $(0, 0)$ i torna a tocar terra exactament a $6\text{ metres}$ de distància horitzontal, al punt $(6, 0)$. A més, es mesura que l'alçària màxima que assoleix el raig és de $4,5\text{ metres}$.

1. a) Sense calcular prèviament els coeficients algebraics, dedueix de manera raonada l'equació de la recta vertical que actua com a eix de simetria i les coordenades exactes del seu vèrtex $V(h, k)$.
2. b) Utilitza la forma canònica $f(x) = a(x-h)^2 + k$ o la forma factoritzada $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ per determinar el valor numèric del paràmetre $a$.
3. c) Escriu l'equació desenvolupada $f(x) = ax^2 + bx + c$ i comprova que es verifiquen tant els punts de suport a terra com l'alçària màxima assolida.

Durant un entrenament, una jugadora de voleibol llança la pilota cap amunt. L'altura $h$ (en metres) que assoleix la pilota en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. Quina és l'altura màxima que assoleix la pilota i en quin instant exacte es produeix?

L'AFA de l'institut ven paperetes d'una rifa per finançar el viatge de fi de curs. Si cada papereta es ven a $x$ euros, els ingressos estimats (en desenes d'euros) venen donats per la funció quadràtica $I(x) = -2x^2 + 48x$. A quin preu han de vendre les paperetes per maximitzar els ingressos? A quant ascendeixen aquests ingressos màxims?

Troba analíticament els punts d'intersecció entre la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$ i la recta $y = -x + 3$.

Determina l'expressió algebraica desenvolupada d'una funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que el seu vèrtex és el punt $V(2, -1)$ i que passa pel punt $P(4, 3)$.

Observa la gràfica de la paràbola. Determina les coordenades del seu vèrtex i utilitza un punt addicional de la gràfica per deduir la seva expressió algebraica en la forma $y = a(x-h)^2 + k$. Finalment, desenvolupa-la a la forma $y = ax^2 + bx + c$.

Disposem de $40$ metres de corda per delimitar una zona rectangular de jocs en un campament. Si anomenem $x$ a la longitud de la base del rectangle, escriu la funció que determina l'àrea del recinte en funció de $x$. Quines han de ser les dimensions del rectangle perquè l'àrea enclosa sigui la màxima possible?

Un arc d'un pont de pedra té forma de paràbola. La base de l'arc (al nivell de l'aigua) fa $12$ metres d'amplada i l'altura màxima al centre és de $6$ metres. Si situem l'origen de coordenades al centre de la base de l'arc, troba l'equació de la paràbola que en descriu el perfil.

Calcula els coeficients $a$, $b$ i $c$ de la funció quadràtica $y = ax^2 + bx + c$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(0, -5)$, $(1, -6)$ i $(-1, -2)$.

Per representar la paràbola $g(x) = 2x^2 - 12x + 10$, dos companys de classe debaten sobre quina estratègia és més ràpida i segura per determinar el seu vèrtex i els seus punts de tall amb els eixos:

• En Sergio proposa treure factor comú del coeficient principal per escriure $g(x) = 2(x^2 - 6x + 5)$, factoritzar el polinomi del parèntesi buscant dos enters de producte $5$ i suma $-6$, i obtenir el vèrtex aprofitant que l'eix de simetria dista el mateix d'ambdues arrels reals.

• L'Elena sosté que és més directe transformar la funció a la seva forma canònica $g(x) = a(x-h)^2 + k$ completant el quadrat a partir de $2(x^2 - 6x) + 10$.

1. a) Desenvolupa completament tots dos procediments pas a pas fins a trobar les coordenades del vèrtex $V(h, k)$ i confirma que tots dos condueixen a la mateixa solució.
2. b) Compara tots dos mètodes i justifica quin resulta més avantatjós en aquest cas concret. En quina situació el mètode proposat per en Sergio resultaria inviable o summament feixuc enfront del mètode de l'Elena o de la fórmula general $x_v = \frac{-b}{2a}$? Basa el teu raonament en el paper del discriminant $\Delta$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) modelitza la temperatura ambiental $T(t)$, en graus Celsius ($^\circ\text{C}$), durant les hores centrals d'un dia d'estiu a Sevilla en funció de l'hora del dia $t$ (amb $t \in [8, 24]$, on $t=8$ correspon a les 8:00 h i $t=24$ a les 24:00 h) mitjançant la funció quadràtica:

1. a) Determina raonadament a quina hora del dia es registra la temperatura màxima i quin és aquest valor extrem.
2. b) Planteja i resol la inequació necessària per calcular en quin interval horari la temperatura va ser igual o superior a $40\ ^\circ\text{C}$.
3. c) Justifica analíticament mitjançant el càlcul del discriminant $\Delta$ de l'equació $T(t) = 48$ si el model preveu que s'assoleixin o se superin els $48\ ^\circ\text{C}$ en algun moment del dia.

Un agricultor vol construir un corral rectangular per a les seves gallines aprofitant un mur llarg de pedra ja existent, de manera que només necessita tancar tres dels quatre costats del rectangle. Disposa de $100$ metres de tanca metàl·lica. Determina les dimensions del corral perquè la seva àrea sigui la més gran possible i calcula aquesta àrea màxima.

Dibuixa un esbós de la gràfica de la funció $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Per fer-ho, troba primer el vèrtex i els punts de tall amb els eixos de la paràbola interior sense el valor absolut, i explica analíticament com afecta el valor absolut a la representació final.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donades les paràboles $y = x^2 - 2x - 3$ i $y = -x^2 + 4x + 5$, troba analíticament els punts exactes on es tallen. Calcula després la distància en línia recta entre els vèrtexs de totes dues paràboles.

Considera la família de paràboles donades per l'equació $y = x^2 - kx + 9$. Determina els valors del paràmetre $k$ per als quals la paràbola és tangent a l'eix d'abscisses (és a dir, té un únic punt de tall amb l'eix X).

El club de robòtica de l'institut ven kits de sensors per finançar els seus materials. Té unes despeses fixes mensuals de $2000$ euros i muntar cada kit costa $15$ euros addicionals. Els ingressos mensuals obtinguts per la venda de $x$ kits venen donats per la funció $I(x) = -0,1x^2 + 65x$. Escriu la funció que representa el benefici mensual $B(x)$. Quants kits han de muntar i vendre per obtenir el benefici màxim?

Un jugador de bàsquet llança a cistella des d'una altura de $2$ metres. La pilota segueix una trajectòria parabòlica, i arriba a la seva altura màxima de $4$ metres a una distància horitzontal de $2$ metres des del punt de llançament. Sabent que l'anella de la cistella es troba a $3$ metres d'altura i a una distància horitzontal de $4,5$ metres, dedueix l'equació de la trajectòria i demostra analíticament si la pilota entrarà o no per l'anella.

Troba l'expressió analítica de la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que talla l'eix d'abscisses en els punts $x = -1$ i $x = 5$, i que el valor màxim que aconsegueix la funció és $18$.

Donada la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Determina els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè la funció sigui contínua en el punt de ruptura $x = 3$ i, a més, la semirrecta passi pel punt $(5, -1)$.

L'empresa municipal de transports d'una ciutat espanyola analitza les seves tarifes basant-se en dades de mobilitat urbana. Amb el preu actual del bitllet a $1,20\text{ €}$, viatgen una mitjana de $6000$ persones diàries. Un estudi tècnic estima que per cada pujada de $0,10\text{ €}$ a la tarifa es perdran $250$ viatgers al dia (i a la inversa si s'abaixa). La funció d'ingressos diaris s'expressa com a $I(x) = (1,20 + 0,10x)(6000 - 250x)$, on $x$ és el nombre d'increments de $0,10\text{ €}$.

1. a) Estima abans de calcular: Si es decideix duplicar el preu del bitllet (passant a costar $2,40\text{ €}$, cosa que suposa $x = 12$), esperes que els ingressos diaris siguin més grans, més petits o iguals als $7200\text{ €}$ inicials? Justifica qualitativament la teva predicció sospesant l'augment de preu enfront de la pèrdua d'usuaris.
2. b) Calcula: Desenvolupa l'expressió algebraica d'$I(x)$ en la forma estàndard $I(x) = ax^2 + bx + c$, troba les coordenades del seu vèrtex i dedueix el nombre d'increments $x$ que maximitza la recaptació, el preu òptim resultant del bitllet i l'ingrés diari màxim.
3. c) Comprova i reflexiona: Calcula el valor exacte d'$I(12)$ per comprovar quantitativament la teva estimació de l'apartat a) i interpreta el resultat a partir de l'eix de simetria de la paràbola. Finalment, reflexiona críticament: des de la perspectiva del servei públic i la sostenibilitat urbana, per què no sempre és aconsellable fixar la tarifa en el vèrtex òptim de la paràbola si aquest implica una pujada de preu?

Es considera la família de funcions quadràtiques donada per $f_m(x) = (m-1)x^2 + 2mx + (m+3)$, on $m$ és un paràmetre real amb $m \neq 1$.

1. a) Determina raonadament per a quins valors de $m$ la gràfica de $f_m(x)$ té branques obertes cap amunt (assolint un mínim absolut) i, alhora, no talla en cap punt l'eix horitzontal $X$. Expressa el conjunt de solucions mitjançant un interval.
2. b) Sabent que una de les paràboles d'aquesta família té per eix de simetria la recta vertical $x = 2$, troba el valor concret de $m$, escriu l'equació desenvolupada d'aquesta paràbola i dedueix el seu recorregut exacte justificant si la funció està fitada superiorment o inferiorment.
3. c) Demostra algebraicament si existeix algun valor de $m$ per al qual el vèrtex de la paràbola es trobi situat exactament sobre l'eix $X$. En cas afirmatiu, calcula les coordenades completes d'aquest vèrtex; en cas negatiu, raona per què és impossible.