Exercicis: Funcions exponencials

Dada la funció exponencial $f(x) = 2^x$, calcula les imatges per als valors $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.

Indica, raonant la teva resposta, quines de les funcions exponencials següents són creixents i quines són decreixents:

• a) $f(x) = 1,2^x$

• b) $g(x) = 0,7^x$

• c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$

• d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Observa les gràfiques A i B representades a la figura següent. Associa cadascuna d'elles amb la seva expressió analítica corresponent: $y = 3^x$ o $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Una família ingressa $2000$ € en un compte bancari que ofereix un interès compost del $4 \%$ anual. Quin capital tindran al cap de $2$ anys si no retiren cap diner del compte?

El nombre de seguidors d'un compte que s'acaba de fer viral es triplica cada dia. Si inicialment té $100$ seguidors, escriu la funció que relaciona el nombre de seguidors amb el temps transcorregut en dies, i calcula quants seguidors hi haurà al cap de $3$ dies.

Troba el valor de $x$ en les igualtats exponencials elementals següents:

• a) $2^x = 64$

• b) $3^x = \frac{1}{9}$

La gràfica d'una funció exponencial del tipus $f(x) = a^x$ passa pel punt $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.

Determina el domini, el recorregut i el punt de tall amb l'eix d'ordenades de la funció exponencial $f(x) = 0,5^x$.

En Marcos està analitzant la funció $f(x) = 2^{x+1} - 8$. Al seu examen ha escrit la conclusió següent: «Com que és una funció exponencial, la seva asímptota horitzontal és sempre la recta $y = 0$, el seu recorregut és $(0, +\infty)$ i, per tant, la gràfica mai no talla l'eix d'abscisses ($X$) ni pren valors negatius».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos respecte als desplaçaments d'una funció exponencial.
2. b) Explica raonadament per què es produeixen aquests errors i corregeix-los, indicant l'equació correcta de l'asímptota horitzontal i el recorregut real de $f(x)$.
3. c) Demostra que la funció sí que talla l'eix $X$ calculant les coordenades exactes d'aquest punt de tall.

Determina l'expressió analítica d'una funció exponencial de la forma $f(x) = a^x + q$ a partir de la informació següent:

1. La seva gràfica s'aproxima indefinidament a la recta horitzontal $y = -3$ quan els valors de $x$ són molt negatius, sense arribar mai a tocar-la.

2. La gràfica passa pel punt $P(2, 13)$.

Un cop calculats els paràmetres $a$ i $q$, indica de manera raonada si la funció és creixent o decreixent observant el valor de la base obtinguda i troba les coordenades del seu punt de tall amb l'eix d'ordenades ($Y$).

Representa gràficament la funció $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborant prèviament una taula de valors. Indica quina és l'equació de la seva asímptota horitzontal i calcula les coordenades del seu punt de tall amb l'eix d'ordenades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Resol les equacions exponencials següents igualant les bases a tots dos costats de la igualtat:

• a) $5^{2x-1} = 125$

• b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$

Un inversor desitja obtenir un capital final de $5000$ € d'aquí a $5$ anys. Si el seu banc li ofereix un dipòsit amb un interès compost del $3 \%$ anual, quin capital inicial ha d'invertir avui per aconseguir el seu objectiu? (Arrodoneix el resultat als cèntims).

Una mostra d'un isòtop radioactiu té una massa inicial de $200$ grams. Se sap que la seva massa es redueix a la meitat cada $10$ anys. Escriu l'expressió analítica de la funció que dóna la massa restant en funció del temps (en anys) i calcula quants grams quedaran exactament al cap de $30$ anys.

La gràfica següent correspon a una funció exponencial de la forma $f(x) = a^x + b$. Observa els seus elements característics, com l'asímptota horitzontal i els punts per on passa, i determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

Resol la següent equació exponencial treient factor comú prèviament:

$3^x + 3^{x+1} = 36$

Troba, de forma analítica, les coordenades exactes dels punts de tall amb l'eix d'abscisses i amb l'eix d'ordenades de la funció exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.

El preu d'un telèfon mòbil d'alta gamma acabat de sortir al mercat és de $800$ €. A causa de l'obsolescència tecnològica, el seu valor es deprecia un $20 \%$ cada any. Escriu la funció que modelitza el preu del mòbil en funció dels anys transcorreguts i calcula quin serà el seu valor al cap de $4$ anys.

En un hospital s'administra a un pacient una dosi de $80\text{ mg}$ d'un fàrmac. La massa $M(t)$ del medicament que roman al seu organisme (en mil·ligrams) després de $t$ hores es descriu mitjançant la funció exponencial $M(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}$.

1. a) Sense calcular el valor exacte amb la fórmula, estima de manera raonada entre quines dues desenes consecutives de mil·ligrams estarà la quantitat de medicament quan hagin transcorregut 10 hores (suggeriment: calcula mentalment la quantitat exacta que queda al cap de 8 i 12 hores).
2. b) Calcula ara el valor numèric exacte de $M(10)$ arrodonint a les centèsimes i comprova si la teva estimació de l'apartat anterior era encertada.
3. c) Basant-te en les propietats de la funció exponencial (la seva asímptota horitzontal i el seu recorregut), raona si arribarà algun moment en què l'organisme del pacient quedi matemàticament amb exactament $0\text{ mg}$ del fàrmac segons aquest model.

Segons dades demogràfiques inspirades en els censos de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), un municipi del medi rural comptava amb $1200$ habitants a començaments de 2015. A causa de l'envelliment i l'emigració, la seva població decreix a un ritme constant d'un $5\,\%$ cada any.

1. a) Escriu la fórmula de la funció $P(t)$ que expressa el nombre d'habitants en funció del temps $t$ transcorregut en anys des de 2015. Justifica si la funció és creixent o decreixent analitzant el valor de la seva base.
2. b) Calcula la població projectada per a aquest municipi a començaments de l'any 2023 arrodonint al nombre enter de persones més proper.
3. c) Un portaveu municipal afirma a la premsa: «Com que es perd un $5\,\%$ cada any, en 20 anys haurem perdut el $100\,\%$ de la població i el poble quedarà amb $0$ habitants». Justifica matemàticament per què aquest raonament lineal és erroni i calcula quin percentatge de la població inicial de 2015 quedarà realment al cap d'aquests 20 anys.

L'evolució d'una determinada plaga d'insectes segueix un model exponencial de la forma $N(t) = k \cdot a^t$, on $N(t)$ és el nombre d'insectes i $t$ és el temps en setmanes. Sabent que en l'instant inicial ($t=0$) hi havia $5$ insectes i que a les $2$ setmanes hi havia $45$ insectes, calcula els valors de les constants $k$ i $a$. A continuació, determina quants insectes hi haurà a les $4$ setmanes.

Dos germans reben una herència de $10000$ € cadascun. El primer decideix invertir els seus diners a un interès simple del $5 \%$ anual, mentre que el segon els inverteix a un interès compost del $4 \%$ anual. Escriu les funcions que descriuen el capital de cada germà al llarg del temps. Qui tindrà més diners al cap de $10$ anys? I al cap de $20$ anys?

La població d'una ciutat A és actualment de $100000$ habitants i creix a un ritme constant del $4 \%$ anual. La població d'una ciutat B és de $150000$ habitants i decreix a un ritme del $2 \%$ anual. Escriu les funcions de població de totes dues ciutats. Comprova, fent servir la calculadora mitjançant assaig i error (o aplicant logaritmes), en quin any exacte la ciutat A superarà en població la ciutat B.

Dada la funció amb valor absolut $f(x) = |3^x - 9|$:

• a) Escriu-la com una funció definida a trossos, calculant prèviament en quin punt l'expressió interior canvia de signe.

• b) Determina els seus punts de tall amb els eixos de coordenades.

• c) Indica en quins intervals la funció és creixent i en quins és decreixent.

Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d'una tassa de te en una habitació es modelitza mitjançant la funció $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, on $T(t)$ és la temperatura en graus Celsius i $t$ és el temps en minuts transcorregut des que es va servir.

• a) Quina era la temperatura inicial del te?

• b) Quina és la temperatura ambient de l'habitació? (Raona què passa quan el temps $t$ es fa molt gran).

• c) Planteja l'equació per calcular en quin minut la temperatura del te serà exactament de $55$ ºC i resol-la.

La farmacocinètica estudia com s'elimina un medicament del cos humà. A un pacient se li administra una dosi inicial de $50$ mg d'un fàrmac. La quantitat en sang disminueix exponencialment de manera que cada $6$ hores la quantitat es redueix a la meitat.

• a) Escriu la funció $C(t)$ que expressa els mil·ligrams de fàrmac en sang en funció del temps $t$ mesurat en hores.

• b) Quina quantitat de fàrmac quedarà a la sang del pacient al cap d'un dia sencer ($24$ hores)?

Un banc ofereix un producte d'inversió amb un interès nominal anual del $6 \%$.

• a) Escriu la funció que modelitza el capital final si s'inverteixen $3000$ € i els interessos s'abonen anualment (interès compost anual).

• b) Escriu la funció si els interessos s'abonen mensualment (interès compost mensual).

• c) Calcula la diferència exacta de capital obtingut entre totes dues modalitats al cap de $5$ anys.

Resol la següent equació exponencial aplicant les propietats de les potències i treient factor comú:

$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$

Per resoldre l'equació exponencial $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$, es proposen tres estratègies de resolució diferents:

• Estratègia A: Intentar treure directament factor comú $2^x$ dels tres termes tal com estan escrits.

• Estratègia B: Intentar igualar directament les bases sense transformar l'estructura de la igualtat.

• Estratègia C: Expressar totes les potències en base 2, simplificar els coeficients i aplicar el canvi de variable $t = 2^x$ per transformar l'expressió en una equació de segon grau.

1. a) Explica detalladament per què les Estratègies A i B no resulten viables en aquesta equació.
2. b) Aplica l'Estratègia C per resoldre l'equació pas a pas. Durant el procés obtindràs dos possibles valors per a $t$; justifica raonadament quin d'ells has de descartar recolzant-te en el recorregut de la funció exponencial $y = 2^x$.
3. c) Troba el valor final de $x$ i comprova que satisfà l'equació original substituint-lo en ella.

En un laboratori de microbiologia s'analitza el creixement simultani de dues colònies bacterianes diferents, soca A i soca B, en condicions controlades de cultiu:

• La soca A compta inicialment amb 150 bacteris i la seva població es duplica cada 3 hores, seguint el model $N_A(t) = 150 \cdot 2^{t/3}$ ($t$ mesurat en hores).

• La soca B parteix d'una població més gran, amb 1200 bacteris, però es reprodueix més lentament, duplicant-se cada 6 hores: $N_B(t) = 1200 \cdot 2^{t/6}$.

1. a) Escriu cada funció en la forma $N(t) = N_0 \cdot b^t$ determinant la base horària $b$ de cadascuna. A partir del valor d'aquestes bases, justifica quina de les dues soques creix a un ritme percentual per hora més gran.
2. b) Encara que la soca B parteix amb 8 vegades més bacteris que la soca A, arribarà la soca A a atrapar-la? Planteja l'equació $N_A(t) = N_B(t)$ i resol-la aplicant exclusivament propietats de les potències per esbrinar a quina hora exacta tindran idèntic nombre de bacteris.
3. c) Calcula el nombre de bacteris de cada soca un cop transcorregudes 24 hores i troba la diferència entre ambdues. Interpreta si el resultat obtingut concorda amb el que s'ha raonat en els apartats anteriors.