Exercicis: Equació punt-pendent de la recta

Escriu l'equació punt-pendent de la recta que passa pel punt $P(3, -2)$ i té pendent $m = 4$.

Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $A(-1, 5)$ i $B(2, 11)$. A continuació, escriu la seva equació en forma punt-pendent utilitzant el punt $A$.

Donada la recta d'equació $y - 5 = -2(x + 1)$, indica quin és el seu pendent i obtén directament de la fórmula les coordenades d'un punt per on passa.

Transforma l'equació punt-pendent $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a la seva forma explícita $y = mx + n$.

Escriu l'equació punt-pendent de la recta paral·lela a $y = 3x - 7$ que passa pel punt $Q(-4, 1)$.

Un lampista cobra $30$ € pel desplaçament a domicili i $20$ € per cada hora de treball. Si sabem que per un treball de $2$ hores va cobrar un total de $70$ €, escriu l'equació punt-pendent que relaciona el cost total amb les hores treballades, prenent com a referència aquest punt conegut.

A la gràfica d'una recta es destaquen els punts $(0, 0)$ i $P(2, 3)$. A partir dels punts destacats, calcula el pendent de la recta i escriu la seva equació en forma punt-pendent prenent com a referència el punt $P$.

Escriu l'equació punt-pendent de la recta bisectriu del primer i tercer quadrant. Després, escriu l'equació punt-pendent de la recta bisectriu del segon i quart quadrant, utilitzant en tots dos casos l'origen de coordenades.

L'Alejandro ha de trobar l'equació general de la recta perpendicular a $r: 3x - 6y + 2 = 0$ que passa pel punt $A(1, -2)$. Al seu examen escriu el següent:

«Pas 1: El pendent de la recta $r$ és $m_1 = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{3}{-6} = \dfrac{1}{2}$.

Pas 2: Com que les rectes perpendiculars tenen pendents contraris, el pendent de la recta buscada ha de ser $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Pas 3: Aplico la forma punt-pendent: $y - (-2) = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$, que en operar dona $y + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$, i en forma general queda $x + 2y + 3 = 0$».

1. a) Identifica de manera precisa en quin pas comet l'error i explica la fallada conceptual que comet l'Alejandro sobre la condició de perpendicularitat.
2. b) Corregeix l'exercici a partir d'aquest pas i escriu l'equació general ($Ax + By + C = 0$) correcta de la recta perpendicular.

Construeix les equacions generals ($Ax + By + C = 0$) de dues rectes diferents, $r$ i $s$, que compleixin simultàniament les condicions següents:

1. Totes dues han de ser perpendiculars a la recta donada $t: 2x + 5y - 10 = 0$.

2. La recta $r$ ha de tallar l'eix d'ordenades ($Y$) en un punt amb coordenada $y$ negativa (tria tu aquest valor i justifica'l).

3. La recta $s$ ha de passar exactament pel punt $P(4, 1)$.

Mostra raonadament com dedueixes el pendent comú de $r$ i $s$ a partir de la recta $t$, i obtén l'equació general de cadascuna.

Una companyia de lloguer de bicicletes cobra una quantitat fixa pel servei més un preu constant per hora d'ús. Es sap que per un lloguer de $3$ hores es paguen $14$ € i per un lloguer de $5$ hores es paguen $20$ €. Determina el pendent de la funció lineal de cost i escriu la seva equació punt-pendent prenent les dades del primer client.

Troba l'equació punt-pendent de la recta que és perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ i que passa per l'origen de coordenades.

Comprova analíticament si els punts $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ i $C(5, -10)$ estan alineats. Per fer-ho, troba primer l'equació punt-pendent de la recta que passa per $A$ i $B$, i després verifica si les coordenades de $C$ satisfan aquesta equació.

Un cotxe circula per una carretera recta a velocitat constant. A les $10:00$ hores es troba al quilòmetre $45$ i a les $12:30$ hores passa pel quilòmetre $245$. Escriu l'equació punt-pendent que modelitza la posició del cotxe en funció del temps transcorregut des de les $10:00$ hores, expressant el temps en hores.

A partir de l'equació general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, troba un punt d'aquesta la coordenada $x$ del qual sigui entera, calcula el seu pendent i escriu l'equació corresponent en forma punt-pendent.

La gràfica següent mostra el perfil de descens a velocitat constant d'un submarí. A partir dels punts indicats, determina l'equació punt-pendent de la seva trajectòria.

El valor d'un equip informàtic es deprecia linealment amb el temps. Si es va comprar per $1200$ € i al cap de $4$ anys el seu valor comptable és de $400$ €, escriu l'equació punt-pendent que relaciona el valor de l'equip amb els anys transcorreguts, utilitzant el punt corresponent al quart any.

Obtén l'equació punt-pendent de la recta que passa pel punt $P(-3, 5)$ i és paral·lela a la recta que uneix els punts $M(1, -2)$ i $N(4, 7)$.

En una comarca de Castella-la Manxa, dues localitats se situen sobre un mapa cartogràfic en les coordenades $A(1, 2)$ i $B(7, 4)$ (mesurades en quilòmetres). Una companyia de telecomunicacions ha d'instal·lar una antena repetidora que equidisti de tots dos municipis, cosa que exigeix ubicar-la sobre la recta mediatriu del segment $AB$.

1. a) Modela analíticament la situació calculant pas a pas l'equació general d'aquesta recta mediatriu.
2. b) Una carretera autonòmica segueix el traçat rectilini de la recta $r: x - y + 1 = 0$. Si l'empresa decideix instal·lar l'antena just al marge d'aquesta carretera per facilitar-hi l'accés, calcula les coordenades exactes del punt on s'ha de col·locar.
3. c) Analitza els pendents de la carretera $r$ i del segment $AB$ per justificar matemàticament si la carretera creua perpendicularment, de manera obliqua o si discorre paral·lela a la línia recta que uneix directament els dos pobles.

Es consideren els tres punts del pla $P(-3, 8)$, $Q(1, 0)$ i $R(4, -6)$. Per esbrinar si els tres punts estan alineats, es proposen dos procediments diferents:

• Mètode 1: Trobar l'equació explícita de la recta que passa per $P$ i $Q$, i comprovar després si les coordenades de $R$ verifiquen aquesta equació.

• Mètode 2: Calcular directament el pendent del segment $PQ$ ($m_{PQ}$) i el del segment $QR$ ($m_{QR}$), comparant si tots dos valors coincideixen.

1. a) Raona quin dels dos mètodes és més directe i eficient, indicant quins avantatges presenta respecte al nombre d'operacions i al risc d'error algebraic.
2. b) Aplica el mètode triat per justificar si $P$, $Q$ i $R$ estan o no alineats.
3. c) Utilitza el plantejament de pendents per determinar el valor de la coordenada desconeguda $k$ de manera que el punt $S(k, -10)$ també estigui alineat amb ells.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $y - 3 = k(x + 2)$ passi pel punt d'intersecció de les rectes $r: 2x + y - 8 = 0$ i $s: x - 3y + 3 = 0$.

Troba l'equació punt-pendent de la mediatriu del segment d'extrems $A(-4, 2)$ i $B(2, 6)$. Recorda que la mediatriu és la recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà.

Donat el triangle de vèrtexs $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ i $C(3, 7)$, troba l'equació punt-pendent de l'altura corresponent al vèrtex $C$.

Les escales de temperatura Celsius ($^\circ C$) i Fahrenheit ($^\circ F$) tenen una relació lineal. Sabent que l'aigua es congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) i bull a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), dedueix l'equació punt-pendent que permet convertir graus Celsius a Fahrenheit utilitzant el punt de congelació. A continuació, utilitza-la per calcular la temperatura en Fahrenheit equivalent a la temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.

Calcula l'àrea del triangle que forma la recta d'equació $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ amb els eixos de coordenades. Per fer-ho, troba en primer lloc els punts de tall de la recta amb els eixos.

En un model econòmic simple, la quantitat demandada d'un producte disminueix linealment a mesura que augmenta el seu preu. A un preu de $20$ €, es demanden $500$ unitats, i s'ha observat que per cada increment de $2$ € en el preu, la demanda cau en $50$ unitats. Escriu l'equació punt-pendent de la demanda prenent la primera dada com a referència, i calcula a quin preu la demanda serà nul·la.

Un raig de llum segueix una trajectòria en línia recta donada per l'equació $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Quan arriba a l'eix d'abscisses (que actua com un mirall pla perfecte), el raig es reflecteix. Sabent que l'angle d'incidència és igual a l'angle de reflexió, troba l'equació punt-pendent del raig reflectit prenent com a referència el punt d'impacte al mirall.

Escriu l'equació punt-pendent de la recta que passa pel punt $P(2, -1)$ i que, en tallar-se amb els semieixos de coordenades (eix d'abscisses positiu i eix d'ordenades negatiu), forma un triangle rectangle d'àrea $4$ unitats quadrades.

En un operatiu al mar Cantàbric, Salvament Marítim detecta dues embarcacions a la deriva en les posicions $A(-6, -2)$ i $B(2, 4)$ (en milles nàutiques respecte al centre de control a $(0,0)$). Un helicòpter de rescat ha de patrullar al llarg de la recta mediatriu del segment $AB$ per mantenir-se sempre a la mateixa distància de tots dos senyals.

1. a) Abans de fer càlculs analítics, fes una estimació raonada: dedueix quin ha de ser el signe del pendent de la mediatriu i si la seva ordenada a l'origen serà positiva o negativa, justificant la teva predicció a partir de les posicions de $A$, $B$ i del seu punt mitjà en el pla cartesià.
2. b) Calcula l'equació explícita ($y = mx + n$) de la mediatriu i comprova si els valors obtinguts de $m$ i $n$ confirmen amb precisió les teves deduccions de l'apartat anterior.
3. c) La base costanera de l'helicòpter se situa a $C(6, -8)$. Si l'aeronau s'enlaira seguint la trajectòria rectilínia donada per $4x + 3y = 0$, justifica mitjançant l'anàlisi de pendents quina relació geomètrica té aquesta trajectòria de sortida amb la recta que uneix directament les dues embarcacions ($AB$) i amb la línia de patrulla (la mediatriu).

Es considera la recta fixa $s: 4x - 6y + 5 = 0$ i una família de rectes dependents d'un paràmetre real $k$, definides per $r_k: (k - 1)x + 2y - 4 = 0$.

1. a) Determina de manera raonada el valor de $k$ per al qual la recta $r_k$ és paral·lela a $s$.
2. b) Determina el valor de $k$ per al qual la recta $r_k$ és perpendicular a $s$.
3. c) Un company de classe afirma: «Si una tercera recta $t$ qualsevol és perpendicular a $s$, aleshores obligatòriament $t$ serà secant a $r_k$ sense importar el valor que prengui el paràmetre $k$». Raona geomètricament i algebraicament si l'afirmació del teu company és vertadera o falsa, analitzant què passa amb el pendent de $t$ en comparació amb els casos calculats en els apartats a) i b).