Exercicis: Inequacions

Escriu en forma d'interval i representa a la recta real els valors de $x$ que compleixen la desigualtat $-3 \le x < 5$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Resol la següent inequació de primer grau:

$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$

Resol la inequació de segon grau $x^2 - 16 < 0$. Expressa la solució en forma d'interval.

Resol el següent sistema d'inequacions amb una incògnita:

$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$

Tradueix al llenguatge algebraic i resol: "El triple d'un nombre, disminuït en $4$ unitats, és com a màxim $11$".

Comprova si els punts $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ i $C(-1, -2)$ són solucions de la inequació amb dues incògnites $3x - 2y \le 4$.

Resol la inequació amb valor absolut $|x - 3| \le 5$ i expressa la seva solució mitjançant un interval.

Resol la inequació lineal amb denominadors:

$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$

En Marcos ha de resoldre la inequació lineal $-3x + 12 \ge 0$ i a la seva llibreta escriu els passos següents:

$-3x + 12 \ge 0$

$-3x \ge -12$

$x \ge \frac{-12}{-3}$

$x \ge 4$

Conclou afirmant que el conjunt de solucions és l'interval $[4, +\infty)$.

1. a) Sense resoldre encara la inequació, comprova què passa si substitueixes a la inequació original un valor que pertanyi al conjunt d'en Marcos, per exemple $x = 5$. Es compleix la desigualtat?
2. b) Localitza i explica raonadament quina regla de les desigualtats ha oblidat aplicar en Marcos en el pas de la segona a la tercera línia. Per què canvia el sentit d'una desigualtat en multiplicar o dividir per un nombre negatiu?
3. c) Corregeix el procediment i escriu el conjunt de solucions correcte en forma d'interval.

El departament de control de qualitat d'una envasadora d'oli d'oliva a Jaén programa la seva maquinària per omplir ampolles d'$1$ litre. S'accepta una ampolla si el volum real d'oli, $x$ (en litres), es troba dins de l'interval $[0,98;\ 1,02]$.

1. a) Expressa aquesta condició d'acceptació mitjançant una inequació amb valor absolut de la forma $|x - a| \le k$, deduint i indicant raonadament quin nombre representa el centre $a$ i quin és el marge de tolerància $k$.
2. b) Per contra, una ampolla es considera defectuosa i es rebutja si no compleix aquest estàndard. Escriu la inequació amb valor absolut que descriu les ampolles rebutjades i expressa el conjunt de volums defectuosos com la unió de dos intervals disjunts.

Resol la inequació de primer grau amb fraccions i parèntesis:

$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$

Resol la inequació de segon grau $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expressa la solució com un interval.

Troba la solució del següent sistema d'inequacions:

$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$

Escriu el sistema d'inequacions amb dues incògnites la solució del qual correspon a la regió ombrada en la següent figura.

Un agricultor vol envasar la seva producció d'oli. Sabent que disposa d'ampolles de $2$ litres i de $5$ litres, i que té estrictament menys de $100$ litres d'oli, escriu una inequació lineal amb dues incògnites que modeli aquesta situació. Si ja ha omplert $10$ ampolles de $5$ litres, quantes ampolles de $2$ litres pot omplir com a màxim?

La base d'un rectangle fa $5$ cm més que la seva altura. Si el perímetre del rectangle ha de ser més gran que $30$ cm però la seva àrea no pot superar els $150$ cm$^2$, entre quins valors es troba la mesura de l'altura?

Resol la següent inequació racional, estudiant el signe en els intervals corresponents:

$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$

Per aprovar una assignatura, un alumne ha de tenir una nota mitjana de com a mínim $5$ punts en els tres exàmens del trimestre. Si en els dos primers exàmens ha obtingut un $3,5$ i un $4,2$, quina nota haurà de treure en el tercer examen per aprovar? (La nota màxima és $10$).

Per desplaçar-se al seu institut i a les activitats extraescolars durant el mes d'octubre, la Lucía valora dues opcions de transport públic:

• Opció A (Targeta recarregable): paga $2,50$ € per la targeta suport física (pagament únic) i $1,35$ € per cada viatge individual realitzat.

• Opció B (Abonament jove mensual): tarifa plana de $21,40$ € al mes amb viatges il·limitats.

1. a) Estima: sense plantejar equacions, calcula mentalment el cost de 10 i de 20 viatges amb l'Opció A i estima entre quines desenes de viatges es trobarà el moment en què l'Abonament jove comenci a ser més rentable. Explica la teva estimació.
2. b) Calcula: planteja una inequació on la incògnita $x$ sigui el nombre enter de viatges necessaris perquè l'Opció B resulti estrictament més econòmica que l'Opció A. Resol-la pas a pas.
3. c) Comprova: determina el nombre mínim exacte de viatges amb el qual ja compensa adquirir l'abonament i compara aquest resultat amb la teva estimació prèvia. Si la Lucía preveu realitzar només 12 viatges en tot el mes, quina opció li aconsellaries triar?

La Dirección General de Tráfico (DGT) adverteix que sobre asfalt mullat la distància de frenada augmenta notablement. Per a un turisme, la distància de frenada $d$ (en metres) en funció de la velocitat de circulació $v$ (en km/h) es pot modelitzar mitjançant la fórmula aproximada:

$d = 0,005 \cdot v^2 + 0,2 \cdot v$

En un tram escolar urbà amb pluja, la distància màxima disponible per frenar davant d'un imprevist sense depassar el pas de vianants és de $30$ metres (és a dir, $d \le 30$).

1. a) Modela la situació plantejant una inequació de segon grau respecte a la velocitat $v$.
2. b) Transforma la inequació per tenir un zero al segon membre, troba les arrels de l'equació quadràtica associada i construeix la taula de signes corresponent per determinar el seu conjunt solució matemàtic.
3. c) Interpreta l'interval obtingut atenent a la realitat física del problema: quin és el rang de velocitats segures a les quals pot circular el vehicle? Justifica per què l'interval matemàtic s'ha d'acotar per l'esquerra.

Determina els valors del paràmetre $m$ perquè la inequació de segon grau $x^2 - mx + 9 > 0$ es compleixi per a qualsevol nombre real $x$.

Resol la inequació polinòmica de grau superior factoritzant prèviament el polinomi:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$

Resol la inequació racional, parant atenció a operar correctament abans d'estudiar els signes (recorda que no pots eliminar denominadors que continguin la incògnita):

$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$

Una petita empresa fabrica dos tipus d'auriculars sense fil: el model Alfa i el model Beta. El model Alfa requereix $3$ hores de muntatge i $1$ hora de calibratge, mentre que el model Beta requereix $2$ hores de muntatge i $2$ hores de calibratge. L'empresa disposa d'un màxim de $120$ hores per al muntatge i $80$ hores per al calibratge a la setmana. Planteja el sistema d'inequacions que defineix la regió factible i indica si seria possible fabricar $20$ auriculars Alfa i $25$ auriculars Beta en una setmana.

Observa la regió factible delimitada següent (un triangle) i determina el sistema de tres inequacions lineals amb dues incògnites que la defineix.

Es llança un coet de joguina verticalment cap amunt. L'altura $h$ (en metres) assolida pel coet en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = 30t - 5t^2$. Durant quin interval de temps el coet es trobarà a una altura estrictament superior a $25$ metres?

Resol la inequació següent que combina valor absolut i polinomis de segon grau:

$|x^2 - 5x| < 6$

Una dieta equilibrada requereix que la ingesta diària de dos aliments, $A$ i $B$, aporti almenys $60$ g de proteïnes i no superi els $80$ g de greixos. Cada porció de $100$ g de l'aliment $A$ conté $15$ g de proteïnes i $10$ g de greixos. Cada porció de $100$ g de l'aliment $B$ conté $10$ g de proteïnes i $20$ g de greixos. Si anomenem $x$ i $y$ el nombre de porcions de $100$ g dels aliments $A$ i $B$ consumides respectivament, planteja el sistema d'inequacions i esbrina si és possible consumir exactament $3$ porcions de $A$ i $2$ porcions de $B$ complint les restriccions.

Per resoldre la inequació quadràtica $x^2 - 2x - 8 \le 0$, dos companys proposen estratègies diferents:

• Mètode A (Algebraic): calcular les arrels de $x^2 - 2x - 8 = 0$, factoritzar com a $(x - 4)(x + 2) \le 0$, separar la recta real en tres trams i elaborar una taula de signes avaluant punts de prova.

• Mètode B (Geomètric / Funcional): interpretar l'expressió com la funció parabòlica $y = x^2 - 2x - 8$, observar que les seves branques s'obren cap amunt ($a = 1 > 0$) i que talla l'eix $X$ en les seves arrels, deduint visualment el tram on la corba queda per sota o sobre l'eix ($y \le 0$).

1. a) Resol la inequació per ambdós mètodes i comprova que s'obté el mateix conjunt solució.
2. b) Justifica quin dels dos camins consideres més eficient i amb menys risc d'errors de càlcul amb signes en un examen.
3. c) Considera ara la inequació $x^2 - 2x + 5 \le 0$. En calcular les seves arrels es comprova que el discriminant és negatiu (no existeixen arrels reals). Explica com el Mètode B permet deduir la solució de manera pràcticament immediata sense recórrer a taules de signes, i determina raonadament quina és la solució d'aquesta inequació.

Donat el següent sistema d'inequacions lineals amb una incògnita en el qual figura un paràmetre real $k$:

$\begin{cases} 2(x - 1) < x + 3 \\ 3x + k \ge 7 \end{cases}$

1. a) Resol la primera inequació de manera aïllada i expressa la seva solució com un interval obert.
2. b) Aïlla la incògnita $x$ a la segona inequació en funció del paràmetre $k$. A continuació, resol el problema invers: determina quin valor exacte ha de prendre $k$ perquè la solució final del sistema (la intersecció d'ambdues inequacions) sigui exactament l'interval semiobert $[-1, 5)$.
3. c) Analitza què passa si es varia el valor de $k$: per a quins valors de $k$ el sistema resulta incompatible (no té cap solució)? Justifica la teva conclusió recolzant-te en la representació gràfica d'intervals sobre la recta real i en la definició d'intersecció de conjunts.