Exercicis: Equacions de segon grau

Resol la següent equació de segon grau incompleta aïllant directament la incògnita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcula les solucions de la següent equació de segon grau incompleta extreient factor comú:

$3x^2 + 15x = 0$

Aplica la fórmula general per trobar les arrels de la següent equació de segon grau completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Determina si l'equació $2x^2 + 3x + 5 = 0$ té solució en el conjunt dels nombres reals calculant prèviament el valor del seu discriminant $\Delta$.

Troba les solucions de la següent equació que ja es troba factoritzada, sense necessitat de desenvolupar el producte:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Escriu una equació de segon grau en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabent que les seves úniques solucions són $x_1 = 3$ i $x_2 = -8$.

Troba el valor del coeficient $c$ en l'equació $x^2 + 4x + c = 0$ perquè aquesta tingui una única solució real doble.

El quadrat d'un nombre natural menys el seu triple és exactament igual a $18$. Planteja una equació de segon grau i calcula de quin nombre es tracta.

En Lucas està resolent l'equació $2x^2 - 10x = 0$ a la pissarra i fa els passos següents a la seva llibreta:

En consultar el solucionari del llibre, comprova sorprès que l'equació té en realitat dues solucions: $x_1 = 0$ i $x_2 = 5$.

1. a) Explica amb precisió matemàtica quin error conceptual ha comès en Lucas en dividir tots dos membres entre la incògnita $x$ i per què aquesta operació ha eliminat una de les solucions vàlides.
2. b) Resol l'equació correctament traient factor comú i justifica cada pas aplicant la propietat del producte zero.

Es vol construir una equació de segon grau amb coeficients enters de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ les solucions exactes de la qual siguin $x_1 = -\frac{3}{2}$ i $x_2 = 4$.

1. a) Aplica les fórmules de Cardano-Vieta per deduir el valor exacte de la suma ($S = x_1 + x_2$) i del producte ($P = x_1 \cdot x_2$) de les solucions en forma de fracció irreductible.
2. b) Escriu una equació equivalent que tingui coeficients enters ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), sense denominadors, amb $a > 0$ i tals que els coeficients no comparteixin factors comuns (és a dir, que siguin primers entre si).
3. c) És l'equació obtinguda a l'apartat anterior l'única equació de segon grau del món que té exactament aquestes dues solucions? Justifica la teva resposta raonant què passa en multiplicar tots els coeficients per una constant $k \neq 0$.

Per reformar la sala d'estar rectangular d'un habitatge, l'arquitecte indica que la llargada mesura $2\text{ m}$ més que l'amplada. Si la superfície total de la sala és de $35\text{ m}^2$, planteja una equació de segon grau i calcula les dimensions exactes de l'estança.

Un enginyer aeroespacial llança un coet de prova. L'altura $h$ (en metres) assolida pel coet en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina en quins instants de temps el coet es troba exactament a $75\text{ m}$ d'altura.

Desenvolupa els productes notables, agrupa els termes semblants i resol la següent equació:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

La venda d'entrades del musical de l'institut deixa un benefici $B$ (en desenes d'euros) que depèn del nombre d'entrades venudes $x$ (en desenes) segons l'equació $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcula quantes entrades han de vendre exactament perquè el benefici sigui nul (el punt d'equilibri).

Determina el valor numèric del paràmetre $k$ perquè l'equació $3x^2 - kx + 12 = 0$ tingui una única solució real doble.

En una rampa de patinatge amb forma de triangle rectangle, el catet major mesura $7\text{ m}$ més que el catet menor, i la hipotenusa mesura $2\text{ m}$ més que el catet major. Planteja una equació de segon grau utilitzant el teorema de Pitàgores i calcula la longitud dels tres costats de la rampa.

Resol la següent equació operant prèviament amb fraccions algebraiques. Assegura't de comprovar les solucions obtingudes per descartar possibles arrels falses que anul·lin els denominadors:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Sabent que una de les solucions de l'equació $2x^2 + bx - 15 = 0$ és $x_1 = 3$, calcula sense resoldre completament l'equació el valor de l'altra solució $x_2$ i el valor del coeficient $b$.

Per resoldre l'equació $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, l'Alba i en Mateo proposen estratègies diferents:

• L'Alba proposa desenvolupar la identitat notable del binomi, restar $25$, agrupar termes en la forma general canònica $ax^2 + bx + c = 0$ i aplicar la fórmula general amb el discriminant.

• En Mateo proposa aïllar directament la potència, escrivint $(3x - 1)^2 = 25$, i extreure l'arrel quadrada a tots dos membres considerant el doble signe $\pm$.

1. a) Resol l'equació seguint pas a pas el procediment de l'Alba i després el d'en Mateo, comprovant que tots dos condueixen a les mateixes solucions.
2. b) Compara els dos camins i justifica quin és més eficient i presenta menys risc de cometre errors de càlcul (signes, operacions amb nombres grans).
3. c) Seria aplicable de manera directa el mètode abreujat d'en Mateo per resoldre l'equació $(3x - 1)^2 - 6x = 25$? Justifica per què sí o per què no.

Segons els estudis tècnics de la Dirección General de Tráfico (DGT), la distància total d'aturada $d$ (en metres) d'un turisme sobre asfalt sec en funció de la velocitat $v$ (en $\text{km/h}$) a la qual circula s'aproxima mitjançant el model quadràtic:

on $0,3v$ correspon a la distància recorreguda durant el temps de reacció del conductor i $0,005v^2$ a la frenada mecànica. La Policia Local investiga un sinistre en una avinguda urbana el límit genèric de la qual és de $50\text{ km/h}$ i troba una petjada d'aturada total de $36\text{ m}$.

1. a) Estima: Abans de resoldre l'equació, calcula mentalment o fent tempteig ràpid quina distància requeriria aturar-se a $50\text{ km/h}$ i a $70\text{ km/h}$. A partir d'aquests valors, acota entre quines desenes de $\text{km/h}$ s'ha de trobar la velocitat del vehicle.
2. b) Planteja l'equació quadràtica corresponent a $d = 36\text{ m}$ i resol-la mitjançant la fórmula general per obtenir el valor numèric exacte de $v$.
3. c) Comprova: Descarta amb criteri físic una de les solucions matemàtiques obtingudes i determina si el vehicle superava el límit legal de velocitat, contrastant el resultat amb la teva estimació prèvia.

Una fotografia rectangular de dimensions $20\text{ cm}$ de base per $15\text{ cm}$ d'altura es va a emmarcar amb un paspartú d'amplada uniforme $x$. Si l'àrea total del conjunt (fotografia més paspartú) ha de ser exactament de $500\text{ cm}^2$, planteja una equació de segon grau i calcula l'amplada $x$ del paspartú.

En una lliga de voleibol, cada equip juga exactament un partit contra tots els altres. Sabent que el nombre total de partits disputats en un torneig de $n$ equips ve donat per la fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$, i que en finalitzar la temporada s'han disputat un total de $105$ partits, planteja l'equació corresponent i esbrina quants equips van participar en la lliga.

Dues mànegues de diferent gruix omplen juntes un dipòsit d'aigua en $6\text{ hores}$. Si s'utilitzés només una d'elles, la mànega de menor gruix trigaria $5\text{ hores}$ més que la mànega gruixuda a omplir el dipòsit per si sola. Planteja una equació quadràtica sumant les fraccions de dipòsit que omple cada mànega en una hora, i calcula quant de temps trigaria cada mànega treballant individualment.

Discuteix, en funció dels diferents valors del paràmetre $m$, el nombre de solucions reals que té la següent equació de segon grau:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Assegura't d'analitzar què passa quan el discriminant és positiu, nul o negatiu, i no oblidis el cas especial en què el coeficient principal s'anul·la.

Un escultor vol dividir una vareta de llautó de $1\text{ metre}$ de longitud en dos trossos de longituds $x$ i $1-x$ (sent $x$ el tros major, és a dir, $x > 1-x$). Desitja fer-ho de tal manera que la proporció entre la vareta completa i el tros major sigui igual a la proporció entre el tros major i el tros menor. Planteja l'equació corresponent i troba el valor exacte de $x$.

L'àrea d'un rectangle és de $60\text{ cm}^2$ i la longitud de la seva diagonal és de $13\text{ cm}$. Anomenant $x$ la base i $y$ l'altura, expressa $y$ en funció de $x$ fent servir la dada de l'àrea. A continuació, substitueix en el teorema de Pitàgores per a la diagonal i resol l'equació biquadrada resultant per trobar les dimensions exactes del rectangle.

Resol la següent equació en la qual apareix un radical, aïllant primer l'arrel i elevant al quadrat tots dos membres. És obligatori comprovar les solucions obtingudes en l'equació original per descartar possibles arrels falses:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Un grup d'estudiants lloga un autobús per a una excursió per un cost total de $400\text{ €}$. A última hora s'hi apunten $5$ estudiants més al viatge, la qual cosa fa que cadascun dels que anaven a anar inicialment hagi de pagar $4\text{ €}$ menys. Planteja una equació quadràtica per calcular quants estudiants anaven a anar al principi i resol-la.

Una cooperativa olivera de Jaén dedicada a la producció d'Oli d'Oliva Verge Extra (OOVE) gestiona una finca amb una densitat estàndard de $120$ oliveres per hectàrea, i obté una collita mitjana de $50\text{ kg}$ d'oliva per arbre a l'any. Els tècnics agrícoles adverteixen que, per cada olivera addicional $x$ que es planti per hectàrea, la competència per l'aigua i els nutrients del sòl redueix la producció mitjana de cada arbre en $0,25\text{ kg}$.

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la producció total per hectàrea en funció del nombre d'arbres afegits $x$, multiplicant el nombre total d'oliveres pel rendiment d'oliva per arbre.
2. b) La cooperativa planifica la campanya per recol·lectar un total de $6\,375\text{ kg}$ d'oliva per hectàrea. Planteja l'equació de segon grau corresponent, ordena-la en la seva forma canònica $ax^2 + bx + c = 0$ i calcula els dos possibles valors de $x$.
3. c) El model algebraic proporciona dues solucions reals positives. Interpreta el significat pràctic de cadascuna d'elles i justifica raonadament quina de les dues opcions li convé adoptar a la cooperativa si la seva fita és minimitzar costos de poda, recol·lecció i consum d'aigua.

Considera la família d'equacions següent on intervé un paràmetre real $k$:

1. a) Un alumne afirma que si $k = 2$, l'equació no té cap solució perquè en aplicar la fórmula quadràtica el denominador $2a$ s'anul·la ($2 \cdot 0 = 0$). Rebat raonadament la seva afirmació explicant quin tipus d'equació s'obté en realitat en substituir $k = 2$ i calcula la seva solució.
2. b) Per als casos en què $k \neq 2$, calcula l'expressió simplificada del discriminant $\Delta$ en funció de $k$ i determina formalment per a quins valors del paràmetre l'equació té dues solucions reals diferents, una solució real doble o cap solució real.
3. c) Sense necessitat de calcular les solucions de l'equació, utilitza de manera justificada les relacions de Cardano-Vieta per esbrinar si hi ha algun valor de $k$ que faci que les dues arrels siguin simètriques o oposades ($x_1 + x_2 = 0$). En cas afirmatiu, determina aquest valor de $k$, comprova si les seves arrels són reals i troba el valor de totes dues solucions.