Exercicis: Concepte de derivada

La taula següent mostra el nombre d'usuaris registrats en una nova aplicació mòbil durant els seus primers mesos després del llançament:

• Mes 1: $100$ usuaris

• Mes 2: $250$ usuaris

• Mes 3: $500$ usuaris

• Mes 4: $850$ usuaris

• Mes 5: $1300$ usuaris

Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) del nombre d'usuaris entre els mesos $2$ i $4$.

Donada la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 - 2x$, calcula analíticament la seva taxa de variació mitjana en l'interval $[1, 4]$.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i la recta secant traçada entre els punts d'abscissa $x=1$ i $x=3$. Calcula visualment la taxa de variació mitjana (TVM) en l'interval $[1, 3]$ utilitzant els valors projectats en els eixos.

Utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit de la taxa de variació mitjana, $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, calcula la derivada de la funció $f(x) = x^2 + 3$ en el punt $x=2$.

Sabent que la derivada d'una funció $f(x)$ en el punt $x=4$ és $f'(4) = -2$, indica raonadament si la funció és creixent o decreixent en aquest punt. Justifica breument quin significat geomètric té aquest valor respecte a la recta tangent a la corba en aquest punt.

Calcula la derivada de la funció afí $f(x) = 5x - 7$ en el punt $x=10$ aplicant la definició de derivada mitjançant límits. Depèn el resultat del punt triat?

La posició d'un ciclista en una pista recta ve donada per la funció $s(t) = 3t^2 + 2t$ (on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons). Calcula la velocitat mitjana del ciclista en l'interval de temps comprès entre $t=1$ i $t=4$ segons.

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ i la seva recta tangent en el punt d'abscissa $x=2$, determina el valor de la derivada $f'(2)$.

La Lucía vol calcular el pendent de la recta tangent a la corba $f(x) = 2x^2 + 1$ en el punt d'abscissa $x = 1$. En el seu examen escriu el procediment següent:

«Aplico la fórmula de la derivada substituint directament l'increment per zero:

$f'(1) = \frac{f(1+0) - f(1)}{0} = \frac{3 - 3}{0} = 0$.

Com que la derivada val $0$, concloc que la recta tangent és completament horitzontal».

1. a) Assenyala els dos errors conceptuals comesos per la Lucía: un d'algebraic respecte a la divisió entre zero i la idea de límit, i un altre de geomètric en la seva conclusió final.
2. b) Corregeix la seva resolució calculant el valor correcte de $f'(1)$ mitjançant el límit del quocient incremental: $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.
3. c) A partir del valor obtingut, determina raonadament si la funció és creixent o decreixent a $x = 1$ i troba l'equació de la recta tangent en aquest punt.

Donada la funció quadràtica $f(x) = -x^2 + 6x$, la gràfica de la qual és una paràbola amb vèrtex al punt $(3, 9)$:

1. a) Abans de calcular res, estima raonadament el signe que tindran les derivades $f'(2)$ i $f'(4)$, basant-te en si la paràbola puja o baixa a cada costat del seu vèrtex. A més, prediu quin valor numèric exacte hauria de tenir la derivada just al vèrtex, $f'(3)$, justificant la teva predicció a partir de la recta tangent.
2. b) Comprova analíticament la teva estimació calculant $f'(2)$ mitjançant la definició formal de derivada: $f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$.
3. c) Contrasta el resultat del límit amb la teva estimació inicial i redacta una conclusió que relacioni el signe del pendent amb el comportament de la funció en aquest punt.

La distància total recorreguda per un ciclista que baixa un port de muntanya (en metres) en funció del temps ve donada per la funció $e(t) = 150 + 2t + 0,5t^2$ ($t$ en segons). Calcula la taxa de variació mitjana de la distància quan es passa de $t = 20$ a $t = 30$ segons i interpreta el significat físic del resultat obtingut (la velocitat mitjana en aquest tram).

Troba l'equació de la recta secant a la corba $f(x) = -x^2 + 6x$ que passa pels punts d'intersecció d'aquesta corba amb l'eix d'abscisses. (Nota: calcula prèviament aquests punts de tall).

Fent ús estricte de la definició de derivada mitjançant el càlcul del límit, troba el valor de $f'(1)$ per a la funció $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punt d'abscissa $x=3$. Calcula primer el pendent utilitzant la definició de derivada amb límits.

Un objecte es deixa caure des de dalt de tot d'un edifici. La seva altura en metres després de $t$ segons ve donada per l'expressió $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcula la velocitat instantània de l'objecte exactament en l'instant $t=2$ segons utilitzant la definició de derivada.

Donada la funció $f(x) = -2x^2 + 12x - 5$, determina si la funció és creixent o decreixent en $x=4$, calculant prèviament la taxa de variació instantània en aquest punt mitjançant la definició de límit.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i la seva recta tangent traçada en el punt d'abscissa $x=4$. Escriu l'equació de la recta tangent i dedueix el valor de $f'(4)$. Què passa amb el creixement de la funció exactament en aquest punt?

Donada la funció $f(x) = x^2$, calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[3; 3,1]$, $[3; 3,01]$ i $[3; 3,001]$. A la vista dels resultats obtinguts, dedueix a quin valor numèric tendeix la TVM quan l'amplitud de l'interval s'acosta a zero i com es denomina matemàticament aquest valor.

Un tren d'alta velocitat (AVE) arrenca d'una estació. Durant els primers $40$ segons d'acceleració, la distància en metres recorreguda en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per $s(t) = 0,75t^2$.

1. a) Explica la diferència conceptual i física que hi ha entre la Taxa de Variació Mitjana de la distància en l'interval de temps $[0, 20]$ i la Taxa de Variació Instantània en l'instant exacte $t = 20\text{ s}$.
2. b) Calcula la velocitat mitjana del tren durant aquests primers $20$ segons de trajecte.
3. c) Aplica la definició formal de derivada amb límits per calcular la velocitat instantània exacta als $20$ segons: $s'(20) = \lim_{h \to 0} \frac{s(20+h) - s(20)}{h}$.
4. d) Expressa la velocitat instantània obtinguda en quilòmetres per hora ($\text{km/h}$) i interpreta què indica aquest valor sobre el ritme de marxa del tren en aquest instant.

Es considera la funció quadràtica $f(x) = x^2 + bx + 1$, on $b$ és un paràmetre real desconegut. Se sap que la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 3$ té per equació $y = 2x - 8$.

1. a) Sense calcular límits, dedueix directament de l'equació de la recta tangent el valor numèric del punt de tangència $f(3)$ i el valor de la derivada $f'(3)$. Justifica en quines propietats et bases.
2. b) Planteja la definició formal de derivada $f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$ deixant el paràmetre $b$ indicat, resol el límit algebraicament i iguala el resultat al valor obtingut en l'apartat anterior per aïllar $b$.
3. c) Comprova si el valor de $b$ que has obtingut fa que el valor de $f(3)$ coincideixi efectivament amb l'ordenada calculada a l'apartat a).

El nombre de seguidors d'un canal de vídeos ve donat per l'expressió $S(x) = -0,1x^2 + 50x - 1000$, on $x$ són els dies transcorreguts des del seu llançament. Calcula $S'(200)$ usant estrictament la definició de derivada mitjançant límits, i interpreta què indica aquest valor sobre el ritme de creixement del canal en aquest moment.

Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \frac{6}{x}$ en el punt d'abscissa $x=3$. Per a fer-ho, calcula prèviament el pendent aplicant la definició de derivada com el límit de la taxa de variació mitjana.

Troba en quin punt exacte de la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 7$ la recta tangent a la corba és paral·lela a la recta d'equació $y = 2x - 5$. Escriu les coordenades completes $(x, y)$ d'aquest punt.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ de la funció polinòmica $f(x) = ax^2 + bx$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $(1, 2)$ i que el pendent de la seva recta tangent a $x=1$ és igual a $3$.

Calcula la derivada de la funció amb radicals $f(x) = \sqrt{x+5}$ en el punt $x=4$ utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit. (Suggeriment: per resoldre el límit resultant, multiplica i divideix per l'expressió conjugada).

El vèrtex d'una paràbola correspon al punt on la seva recta tangent és estrictament horitzontal (pendent igual a zero). Utilitzant la definició de derivada mitjançant límits, troba la coordenada $x$ del vèrtex de la paràbola $f(x) = -2x^2 + 12x - 9$ igualant la seva derivada a zero.

El volum d'un cub en funció de la longitud de la seva arista $x$ ve donat per $V(x) = x^3$. Calcula la taxa de variació instantània del volum respecte a l'arista quan $x=5$ cm, utilitzant la definició de límit. Si l'error en mesurar l'arista és molt petit, com afecta proporcionalment al càlcul del volum?

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ i les tres rectes tangents dibuixades en els punts $A$, $B$ i $C$, ordena els valors de les derivades $f'(x_A)$, $f'(x_B)$ i $f'(x_C)$ de menor a major. Justifica la resposta basant-te en el pendent geomètric de cada recta tangent.

En un assaig clínic, la concentració d'un fàrmac al torrent sanguini (en $\text{mg/l}$) varia amb el temps $t$ (en hores) segons el model $C(t) = 6t - t^2$ ($0 \le t \le 6$). L'equip mèdic necessita saber amb exactitud a quin ritme està variant la concentració al cap de $4$ hores de l'administració ($t = 4$). Per a això, dos analistes proposen mètodes de treball diferents:

• Mètode A (Aproximació numèrica): Calcular la Taxa de Variació Mitjana en tres intervals progressivament més petits: $[4; 4,1]$, $[4; 4,01]$ i $[4; 4,001]$, per observar cap a quin valor s'estabilitza la taxa.

• Mètode B (Límit algebraic formal): Calcular la derivada exacta mitjançant la definició: $C'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{C(4+h) - C(4)}{h}$.

1. a) Aplica el Mètode A calculant les tres taxes de variació mitjana i indica a quin valor semblen aproximar-se.
2. b) Aplica el Mètode B desenvolupant i simplificant el límit algebraic per trobar el valor exacte de $C'(4)$.
3. c) Compara ambdós mètodes: analitza els avantatges i inconvenients de cadascun (exactitud, temps de càlcul i riscos d'error per arrodoniment) i justifica quin és matemàticament rigorós. Explica, a més, quin significat clínic té el signe del resultat per al seguiment del pacient.

Un dron de vigilància forestal descendeix seguint una trajectòria vertical modelitzada per la funció $h(x) = 0,25x^2 - 3x + 11$, on $x$ és la distància horitzontal recorreguda en metres ($0 \le x \le 8$) i $h(x)$ és l'altura en metres. En un punt d'abscissa $x = a$, el dron activa un sensor làser que emet en la direcció exacta del seu moviment instantani (és a dir, seguint la recta tangent a la seva trajectòria). Per calibrar la lectura, cal que el sensor s'activi en l'instant en què aquesta recta tangent tingui un pendent exactament igual a $-1$.

1. a) Aplica la definició formal de derivada amb límits per deduir una expressió del pendent $h'(a) = \lim_{t \to 0} \frac{h(a+t) - h(a)}{t}$ en funció de l'abscissa genèrica $a$.
2. b) Planteja una equació a partir de l'expressió obtinguda per determinar les coordenades exactes $(a, h(a))$ on s'ha d'encendre el sensor.
3. c) Escriu l'equació de la recta que segueix el feix de llum del sensor.
4. d) Si el terra es troba a nivell $h = 0$, calcula a quina distància horitzontal $x$ tocarà el feix lluminós la superfície terrestre i raona si el dron es troba en aquest punt en fase de descens o si ja ha començat a remuntar el vol.