Exercicis: Proporcionalitat directa

Indica quins dels parells de magnituds següents són directament proporcionals, justificant la teva resposta en cada cas:

• El temps que funciona una aixeta a cabal constant i els litres d'aigua que raja.

• L'edat d'una persona i la seva alçada en centímetres.

• El nombre d'obrers que pinten una tanca i el temps que triguen a acabar-la.

• Els quilograms de taronges comprats a la fruiteria i el preu total a pagar.

Les magnituds $A$ i $B$ són directament proporcionals. Sabent que quan $A = 5$, el valor de $B = 15$:

• Calcula la constant de proporcionalitat directa $k = \frac{B}{A}$.

• Si $A = 2$, quant val $B$?

• Si $B = 24$, quant val $A$?

• Si $A = 12$, quant val $B$?

Per preparar una recepta de pa de pessic per a 4 persones es necessiten 200 grams de farina, 150 grams de sucre i 2 ous. Calcula les quantitats exactes necessàries de cadascun d'aquests ingredients si volem preparar el pa de pessic per a 10 persones.

En una papereria, un paquet tancat amb 8 quaderns idèntics costa 14,40 €. Utilitza el mètode de reducció a la unitat per calcular quant costaria comprar exactament 5 d'aquests quaderns.

Calcula el valor de la incògnita $x$ en la proporció següent perquè les fraccions siguin equivalents:

$\frac{18}{x} = \frac{45}{20}$

Dos amics, l'Alba i el Bruno, decideixen comprar un dècim de loteria que costa 20 €. L'Alba hi aporta 8 € i el Bruno hi aporta 12 €. Si el dècim resulta premiat amb 50.000 €, com han de repartir el premi perquè les quantitats rebudes siguin directament proporcionals al que va aportar cadascun?

En un mapa dissenyat a escala 1:50.000, la distància mesurada en línia recta entre dos pobles és de 8 cm. Quina és la distància real entre tots dos pobles expressada en quilòmetres?

En una oficina de canvi de divises de l'aeroport, ens informen que per 50 euros ens lliuren 55 dòlars americans. Quants dòlars ens donaran si decidim canviar 320 euros?

Unes sabatilles que mecosten $60\ \text{€}$ tenen una rebaixa del $25\%$ i, sobre el preu ja rebaixat, s'aplica un cupó addicional del $10\%$ de descompte. Calcula el preu final que es paga per les sabatilles.

La quota mensual d'un gimnàs era de $40\ \text{€}$. Al gener va pujar un $10\%$ i al juny va tornar a pujar un altre $10\%$ sobre la quota vigent. Calcula la quota actual i raona si les dues pujades equivalen a una única pujada del $20\%$.

Durant la campanya del Black Friday, una botiga de tecnologia anuncia que un ordinador portàtil que costava 800 € patirà primer un increment del 10 % a causa de l'escassetat de components i, una setmana després, se li aplicarà un descompte del 10 % com a oferta promocional. En Lucas afirma: «Com que primer puja un 10 % i després baixa un 10 %, el preu final tornarà a ser exactament de 800 €, ja que $+10\, - 10\, = 0\,\%$». Identifica raonadament l'error conceptual en l'afirmació d'en Lucas basant-te en els índexs de variació, calcula el preu final real del portàtil i indica si al client el beneficia o el perjudica aquesta seqüència de canvis respecte al preu inicial.

Un vehicle elèctric consumeix energia de manera directament proporcional a la distància recorreguda. En un circuit de proves, ha consumit 12,6 kWh després de recórrer 70 km. Has de calcular el consum que registrarà en tres trajectes diferents: trajecte A (45 km), trajecte B (110 km) i trajecte C (230 km).

Es plantegen dos procediments:

• Mètode 1: Plantejar tres regles de tres directes independents (una per a cada trajecte).

• Mètode 2: Reduir a la unitat calculant la constant de proporcionalitat $k$ (consum per quilòmetre) i aplicar la funció $y = k \cdot x$.

1. a) Compara ambdós mètodes i justifica quin resulta més eficient en aquesta situació.
2. b) Calcula el consum exacte en cadascun dels tres trajectes emprant el mètode que has seleccionat.

Tres socis decideixen obrir un negoci d'hostaleria i aporten un capital inicial de 15.000 €, 25.000 € i 40.000 € respectivament. Al cap d'un any, el negoci ha generat uns beneficis nets de 12.800 €. Si acorden repartir els beneficis de manera directament proporcional al capital aportat per cadascú, quants diners corresponen a cada soci?

La gràfica següent mostra la relació entre la distància recorreguda per un cotxe a velocitat constant i els litres de combustible consumits.

A partir de la gràfica, determina la constant de proporcionalitat que representa el consum del vehicle (litres consumits per cada 100 km). Després, calcula matemàticament quants litres consumirà el cotxe en un viatge llarg de 425 km.

Una aixeta industrial raja amb un cabal constant d'aigua. S'ha cronometrat que en 15 minuts aboca 45 litres exactes. Quant de temps trigarà a omplir per complet una piscina buida la capacitat de la qual és de 13,5 m³? Expressa el resultat final en hores i minuts. (Dada: 1 m³ equival a 1000 litres).

En el plànol d'un arquitecte, dibuixat a escala 1:150, la sala d'estar d'un habitatge té forma rectangular i fa 4 cm d'amplada per 6 cm de llargada. Calcula primer l'àrea de la sala d'estar en el plànol i després dedueix quina és la seva àrea real expressada en metres quadrats.

Un sistema mecànic està compost per tres rodes dentades connectades: A, B i C. Es sap que el nombre de voltes que fan manté una relació de proporcionalitat directa. Per cada 4 voltes completes que fa la roda A, la roda B fa 3 voltes. A més, per cada 5 voltes de la roda B, la roda C fa 2 voltes. Si el motor fa que la roda A giri 600 voltes, quantes voltes haurà fet la roda C?

Un avi decideix repartir 25.200 € entre els seus tres nets de manera directament proporcional a les seves edats, que són 12, 15 i 18 anys. No obstant això, abans de fer el repartiment oficial, calcula quant li tocaria a cadascun i s'adona que el net mitjà rebria una quantitat concreta. Quina és aquesta quantitat? Calcula també els diners que reben els altres dos nets.

Un orfebre fong dos metalls per crear un aliatge especial. La proporció de plata i coure en l'aliatge és de 9 a 2. Si per a una peça ha utilitzat exactament 45 grams de coure, quants grams de plata ha necessitat fondre? Quin és el pes total de l'aliatge creat?

A una certa hora del matí, els raigs de sol incideixen amb el mateix angle, creant ombres proporcionals a les altures dels objectes. Un pal vertical de 3,2 metres d'altura projecta una ombra de 2,4 metres. En aquest mateix instant, un edifici proper projecta una ombra que fa 18 metres. Aplicant la proporcionalitat directa, quina és l'altura real de l'edifici?

El preu d'un telèfon mòbil sense IVA és de $350\ \text{€}$. S'hi aplica primer l'IVA del $21\%$ i, sobre el preu resultant, un descompte del $15\%$ per pagament al comptat.

• Calcula el preu final que es paga pel mòbil.

• Quin tant per cent d'augment suposa el preu final respecte del preu sense IVA?

Indica si l'afirmació següent és veritable o falsa, raonant la teva resposta: «si el preu del lloguer d'un pis puja un $5\%$ un any i l'any següent baixa un $5\%$, el lloguer torna a costar exactament el mateix que al principi». Comprova-ho amb un lloguer inicial de $800\ \text{€}$ i justifica-ho també fent servir els índexs de variació.

Una comunitat de regants de l'horta murciana ha de repartir una despesa comuna de manteniment de séquies de 15.600 € entre tres parcel·les (A, B i C) de manera directament proporcional a la seva superfície de regadiu. La parcel·la A compta amb 4 hectàrees, la parcel·la B amb 9 hectàrees i la parcel·la C amb 13 hectàrees.

1. a) Abans de calcular les quantitats exactes, fes una estimació raonada: abonarà la parcel·la C més de la meitat del total de la factura? Aproximadament quina fracció del total li correspon assumir a la parcel·la B? Justifica les teves estimacions analitzant la proporció de les hectàrees sobre el total.
2. b) Calcula la constant de repartiment $k$ i determina l'import exacte en euros que ha de pagar cadascuna de les tres parcel·les.
3. c) Compara els imports calculats amb la teva estimació prèvia i explica com aquesta anàlisi prèvia permet detectar possibles errades en la resolució de problemes de repartiment proporcional.

Segons dades tècniques sobre energia solar fotovoltaica a Espanya, una instal·lació domèstica genera una quantitat d'energia elèctrica directament proporcional a les Hores de Sol Pic (HSP) registrades. Un habitatge amb 6 panells solars idèntics produeix $13,5\text{ kWh}$ en un dia clar de primavera amb 5 HSP.

1. a) Modelitza la situació mitjançant una funció lineal $E(h)$ que expressi l'energia帮 produïda $E$ (en kWh) en funció de les hores de sol pic $h$. Indica la constant de proporcionalitat amb les seves unitats i interpreta el seu significat pràctic.
2. b) En una jornada de juliol s'assoleixen 7,2 HSP. Si el consum elèctric previst de l'habitatge per a aquest dia és de $18\text{ kWh}$, utilitza el teu model per determinar si la producció cobrirà la demanda i calcula l'excedent o dèficit energètic resultant.
3. c) Si la família decideix ampliar la instal·lació afegint 2 panells més de característiques idèntiques, quina serà la nova constant de proporcionalitat de la funció? Justifica la teva resposta sense necessitat de fer una nova presa de mesures de camp.

Tres amics decideixen invertir els seus estalvis en un fons comú per a un projecte. El primer aporta $\frac{1}{4}$ del capital total, el segon aporta $\frac{2}{5}$ del total i el tercer aporta la resta dels diners necessaris. En acabar la inversió, obtenen uns beneficis nets de 8.400 €. Si el repartiment ha de ser directament proporcional a la fracció del capital aportat, quants diners en euros rep cadascun dels amics?

Una empresa fabrica maquetes de cotxes esportius a escala 1:24. El maleter de la maqueta té un volum interior de 15 cm³. Calcula el volum real del maleter del cotxe expressat en litres. A més, si la maqueta pesa 1,2 kg i està fabricada exactament amb els mateixos materials i densitats que el cotxe real, quin seria el pes del cotxe real expressat en tones?

Resol la següent equació basada en una proporció directa, trobant el valor de $x$ que fa que les dues raons siguin equivalents:

$\frac{3x - 1}{4} = \frac{2x + 5}{3}$

La gràfica següent representa la distància recorreguda per dos trens, A i B, en funció del temps, viatjant a velocitat constant des de la mateixa estació d'origen.

Observant la gràfica, determina la velocitat constant de cada tren. Si tots dos mantenen el seu ritme, a quina distància exacta es trobarà el tren A del seu origen en el moment en què el tren B hagi recorregut 400 km?

En una competició esportiva local, es reparteix un premi econòmic de manera directament proporcional als punts obtinguts pels tres primers classificats a la final. Els punts han estat $180$, $150$ i $120$, respectivament. Si se sap que el primer classificat va rebre $900$ € més que el tercer classificat, quina va ser la quantitat total de diners repartida en els premis?

Per preparar una mescla de ciment i sorra d'alta resistència, la proporció tècnica ha de ser de 2 parts de ciment per cada 5 parts de sorra. Un paleta necessita preparar 350 kg de mescla en total. Calcula quants quilos de ciment i quants de sorra ha d'utilitzar inicialment. Si per un error de càlcul posa 120 kg de ciment a la formigonera, quanta sorra en total haurà d'haver-hi en la mescla final per mantenir la proporció correcta sense malbaratar el ciment?

Les magnituds $M$ i $N$ són directament proporcionals, amb constant de proporcionalitat $k$. Demostra matemàticament que si el valor de la magnitud $M$ s'incrementa en un $25\%$, el valor corresponent de la magnitud $N$ també s'incrementarà exactament en un $25\%$.

Les variables $X$ i $Y$ són directament proporcionals. S'ha registrat en un experiment que quan $X = m + 2$, el valor de la variable dependent és $Y = 15$. D'altra banda, sota les mateixes condicions, quan $X = m - 2$, el valor és $Y = 9$. Planteja una proporció algebraica per calcular el valor numèric del paràmetre $m$ i, a continuació, determina la constant de proporcionalitat $k = \frac{Y}{X}$.

Una botiga de bicicletes aplica a un model una rebaixa del $20\%$ i, després, hi afegeix l'IVA del $21\%$. El preu final a la caixa és de $484\ \text{€}$. Quin era el preu de la bicicleta abans de la rebaixa, sense IVA?

Dues botigues venen la mateixa consola a $300\ \text{€}$. La botiga A la rebaixa un $30\%$ i ofereix un $10\%$ addicional sobre el preu rebaixat si es paga amb la seva targeta. La botiga B la rebaixa directament un $40\%$.

• Calcula el preu final a cada botiga.

• Calcula el tant per cent de descompte únic equivalent als dos descomptes encadenats de la botiga A i explica per què no coincideix amb el $40\%$ de la botiga B.

Tres centres de recerca universitaris reben una partida pressupostària extraordinària de 240.000 € que es distribueix de manera directament proporcional al nombre d'investigadors contractats a temps complet a cada centre.

Per motius de privacitat de dades, no es revela inicialment la plantilla de cada centre, però es coneixen les condicions següents del repartiment:

• El Centre 2 compta exactament amb el doble d'investigadors que el Centre 1.

• El Centre 3 rep 40.000 € més que el Centre 2.

• Al Centre 1 li corresponen exactament 40.000 €.

1. a) Utilitzant les propietats de la proporcionalitat directa, dedueix la quantitat exacta de diners assignada a cadascun dels tres centres.
2. b) Sabent que entre els tres centres sumen un total de 60 investigadors, calcula el valor de la constant de proporcionalitat del repartiment (especificant les seves unitats) i reconstrueix la plantilla exacta d'investigadors que treballa a cadascun dels centres. Explica el raonament que et permet deduir aquests valors inicials a partir de les dades finals.

En la factura de l'aigua d'una localitat espanyola, l'import bimestral es compon d'una quota fixa de servei de 15 € més un terme variable d'$1,40\text{ \euro{}/m}^3$ d'aigua consumida.

L'Alba afirma: «El cost de l'aigua és directament proporcional al volum consumit, perquè com més volum gastes, més pagues a la factura».

Per a l'any que ve, el consistori aprova dues modificacions en les tarifes: la quota fixa puja un 10 %, mentre que el preu per metre cúbic baixa un 5 %.

1. a) Aplica amb rigor la definició algebraica de magnituds directament proporcionals (analitzant el quocient entre el cost total i el volum consumit) per rebatre o confirmar l'afirmació de l'Alba. Utilitza un contraexemple numèric comparant el cost mitjà per metre cúbic si es consumeixen $10\text{ m}^3$ enfront de si es consumeixen $20\text{ m}^3$.
2. b) Una família que consumeix habitualment $30\text{ m}^3$ al bimestre preveu mantenir exactament aquest consum l'any que ve. Demostra formalment per què no és correcte calcular la variació percentual de la seva factura sumant o restant els percentatges de canvi de les tarifes ($+10\, % - 5\, % = +5\, %$), i determina el percentatge de variació real que experimentarà el cost total de la seva factura.