Semblança de triangles

Dos triangles són semblants si tenen els seus angles iguals. Comprova si els dos triangles següents són semblants calculant l'angle que falta en cadascun:

• El triangle A té dos angles que mesuren $45^\circ$ i $75^\circ$.

• El triangle B té dos angles que mesuren $75^\circ$ i $60^\circ$.

Recorda que la suma dels angles interiors de qualsevol triangle sempre és $180^\circ$.

Dos alumnes de 2n d'ESO, Lucía i Marcos, estan comprovant si dues veles triangulars dels seus vaixells de vela lleugera són semblants. La vela de Lucía té dos angles que mesuren $65^\circ$ i $45^\circ$. La vela de Marcos té un angle de $45^\circ$ i un altre de $70^\circ$.

a) Calcula el tercer angle de cadascuna de les veles.

b) Raona, utilitzant els criteris de semblança, si les dues veles tenen la mateixa forma (són semblants).

Disposem de dos triangles isòsceles. El primer té un angle desigual de $40^\circ$ i els seus costats iguals mesuren $10\text{ cm}$ cadascun. El segon té també un angle desigual de $40^\circ$ però els seus costats iguals mesuren $15\text{ cm}$.

a) Són semblants aquests dos triangles? Justifica la teva resposta citant el criteri de semblança aplicat.

b) Quina és la raó de semblança entre el segon i el primer?

c) Si la base del primer triangle fa $6,84\text{ cm}$, quant mesurarà la base del segon?

Calcula la raó de semblança $k$ que converteix el triangle petit en el triangle gran, sabent que són semblants. Un cop trobada la $k$, indica quant ha de mesurar el costat marcat amb la lletra $x$.

Calcula la distància entre els punts $B$ i $D$ de la figura següent, sabent que els segments $BC$ i $DE$ són paral·lels i que els punts $A$, $B$ i $D$ estan alineats, igual que $A$, $C$ i $E$. Les dades conegudes són: $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$ i $DE = 12,5\text{ cm}$.

En el disseny d'una estructura metàl·lica per a una teulada, s'utilitzen dues bigues paral·leles per reforçar l'armadura principal. Sabent que els triangles que es formen estan en posició de Tales, calcula la longitud dels segments marcats com a $x$ i $y$ en el següent esquema:

(Nota: A la base, el segment petit mesura $4\text{ m}$ i el total $10\text{ m}$. Al vessant inclinat, el segment petit mesura $5\text{ m}$. Troba $x$, la base restant, i $y$, el segment restant del vessant inclinat).

Per a calcular l'amplada d'un riu sense creuar-lo, un topògraf col·loca diverses estaques com es mostra a la figura. Els triangles formats, $ABC$ i $CDE$, són semblants perquè les voreres són paral·leles i les línies de visió es creuen en el punt $C$. Si les mesures preses són $AB = 24$ m, $BC = 30$ m i $CD = 15$ m, determina l'amplada del riu ($ED$) i explica quin criteri de semblança has aplicat.

Per a mesurar l'altura d'una canasta de bàsquet, un grup d'estudiants utilitza un pal de $1,5$ metres col·locat verticalment. En el mateix instant en què l'ombra del pal fa $1,2$ metres, l'ombra de la canasta projectada a terra fa $2,4$ metres. Calcula l'altura de la canasta aprofitant la semblança dels triangles formats pel sol.

Un grup d'estudiants de 2n d'ESO vol mesurar l'altura de la torre de comunicació de la seva ciutat. Per a fer-ho, utilitzen un pal vertical de $2,5$ metres d'altura. Col·loquen el pal de tal manera que, en un moment determinat, l'extrem de l'ombra de la torre i el del pal coincideixen en el mateix punt de terra. Si la distància entre la base del pal i el punt on acaben les ombres és de $3,2$ metres, i la distància entre la base de la torre i la base del pal és de $18,4$ metres, calcula l'altura de la torre.

Un fuster està dissenyant una estanteria reforçada amb un travesser en forma de triangle rectangle. En el triangle de la base, l'altura sobre la hipotenusa la divideix en dos segments que mesuren $18$ cm i $32$ cm. El fuster necessita saber la longitud dels dos llistons que formen els catets del triangle per a comprar-los. Calcula la mesura de tots dos catets i l'altura del travesser utilitzant les relacions de semblança en triangles rectangles.