Equacions de segon grau
Vols una catifa quadrada de $144$ m² per a la teva habitació. Quant ha de mesurar el costat? Busques un nombre $x$ tal que $x^2 = 144$. És una equació diferent de les que coneixies: la incògnita està elevada al quadrat. Es diuen equacions de segon grau, i avui aprendràs a resoldre-les totes, fins i tot les que no es poden "veure" a simple vista.
Forma general
Gràficament, $y = ax^2 + bx + c$ és una paràbola. Les solucions de l'equació són els punts on la paràbola talla l'eix X. Mou $a$, $b$ i $c$ i observa:
Identifica quines de les equacions següents són de segon grau. Per a aquelles que ho siguin, escriu-les en la seva forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) i indica el valor…
Identifica quines de les equacions següents són de segon grau. Per a aquelles que ho siguin, escriu-les en la seva forma general ($ax^2 + bx + c = 0$) i indica el valor dels seus coeficients $a$, $b$ i $c$:
- a) $3x^2 - 5 = x + 2$
- b) $x^2 + 3x - x^2 = 10$
- c) $5x - 3 = 0$
- d) $(x + 2) \cdot (x - 2) = 0$
Equacions incompletes
Quan falta un terme, es resolen sense fórmula i més ràpid:
Calcula la solució d'aquestes equacions de segon grau incompletes del tipus $ax^2 + c = 0$ (recorda que poden tenir dues solucions, una o cap): a) $x^2 - 49 = 0$ b)…
Calcula la solució d'aquestes equacions de segon grau incompletes del tipus $ax^2 + c = 0$ (recorda que poden tenir dues solucions, una o cap):
- a) $x^2 - 49 = 0$
- b) $2x^2 - 32 = 0$
- c) $x^2 + 25 = 0$
- d) $5x^2 = 0$
Resol les equacions de segon grau incompletes següents extreient factor comú. No oblidis que una de les solucions sempre és $x = 0$: a) $x^2 - 7x = 0$ b)…
Resol les equacions de segon grau incompletes següents extreient factor comú. No oblidis que una de les solucions sempre és $x = 0$:
- a) $x^2 - 7x = 0$
- b) $3x^2 + 12x = 0$
- c) $x^2 = 5x$
- d) $4x^2 - 2x = 0$
Volem dissenyar una catifa quadrada per a una habitació. Si sabem que l'àrea total que ha d'ocupar és de $144$ $m^2$, quant ha de mesurar el costat de la catifa? Escriu…
Volem dissenyar una catifa quadrada per a una habitació. Si sabem que l'àrea total que ha d'ocupar és de $144$ $m^2$, quant ha de mesurar el costat de la catifa? Escriu l'equació de segon grau corresponent i resol-la.
La fórmula general
Per a una equació completa (amb $b$ i $c$ diferents de zero), hi ha una fórmula que funciona sempre:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$El símbol $\pm$ dona dues solucions: una sumant l'arrel i una altra restant-la.
Sense resoldre les equacions, calcula el valor del discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) i indica si tenen dues solucions, una solució doble o cap solució real: a)…
Sense resoldre les equacions, calcula el valor del discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) i indica si tenen dues solucions, una solució doble o cap solució real:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $x^2 - 5x + 4 = 0$
- c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
L'ajuntament d'un poble vol instal·lar una lona publicitària quadrada a la façana d'un poliesportiu per anunciar un esdeveniment d'eSports. Si la superfície total que…
L'ajuntament d'un poble vol instal·lar una lona publicitària quadrada a la façana d'un poliesportiu per anunciar un esdeveniment d'eSports. Si la superfície total que ocupa la lona és de $144 m^2$, planteja una equació de segon grau i calcula quant mesura el costat d'aquesta lona.
El discriminant: quantes solucions?
Allò que hi ha dins de l'arrel, $\Delta = b^2 - 4ac$, es diu discriminant i permet saber quantes solucions té l'equació sense resoldre-la:
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Solucions |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dues solucions diferents |
| $\Delta = 0$ | Una solució (doble) |
| $\Delta < 0$ | Cap solució real |
Es construirà una rampa parabòlica per a un nou skatepark. La trajectòria de la rampa és $y = x^2 - 10x + k$ i el sòl és l'eix $x$ (és a dir, $y = 0$). Perquè la rampa…
Es construirà una rampa parabòlica per a un nou skatepark. La trajectòria de la rampa és $y = x^2 - 10x + k$ i el sòl és l'eix $x$ (és a dir, $y = 0$). Perquè la rampa siga segura i tinga un únic punt de suport sobre el sòl, el discriminant de l'equació $x^2 - 10x + k = 0$ ha de ser igual a zero.
Quin valor ha de tindre el coeficient $k$ perquè la rampa tinga una única solució (solució doble)? Una vegada trobat $k$, resol l'equació per trobar el punt de suport.
Problemes de segon grau
En resoldre un problema, descarta les solucions que no tinguin sentit: una longitud negativa, un nombre de persones amb decimals…
Al laboratori de matemàtiques, estem analitzant el comportament de diferents projectils. Sense resoldre les equacions següents, utilitza el discriminant (…
Al laboratori de matemàtiques, estem analitzant el comportament de diferents projectils. Sense resoldre les equacions següents, utilitza el discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) per indicar quantes solucions reals té cadascuna:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
- c) $x^2 - 5x + 4 = 0$
El producte de dos nombres enters consecutius és igual al quàdruple del menor més $10$ unitats. Planteja l'equació de segon grau corresponent i troba quins són aquests…
El producte de dos nombres enters consecutius és igual al quàdruple del menor més $10$ unitats. Planteja l'equació de segon grau corresponent i troba quins són aquests dos nombres. Hi ha més d'una parella de nombres que compleixi la condició?
Torna al principi: Per a la catifa de $144$ m², resolies $x^2 = 144 \Rightarrow x = \pm\sqrt{144} = \pm 12$; com que una longitud ha de ser positiva, el costat mesura exactament $12$ m.