Identitats notables

Lucía vol dissenyar una catifa quadrada per a la seva habitació. El costat de la catifa mesura $(x + 4)$ metres.

1. a) Escriu l'expressió de l'àrea de la catifa com el quadrat d'un binomi.
2. b) Desenvolupa el binomi per obtenir el polinomi que representa l'àrea.

Completa els buits en blanc perquè les igualtats següents siguin correctes:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Relaciona a la teva llibreta cada producte notable amb la seva expressió desenvolupada corresponent:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Nadia i Diego estan fent els deures de matemàtiques i han comès alguns errors comuns. Identifica quina de les igualtats següents és incorrecta i corregeix-la a la teva llibreta explicant per què està malament:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Un ajuntament vol dissenyar una nova plaça quadrada. Al centre hi haurà una zona enjardinada, també quadrada, envoltada per un camí de rajoles d'amplada constant.

Si el costat total de la plaça mesura $(3x + 2)$ metres i el costat del jardí central mesura $(3x - 2)$ metres, calcula el polinomi simplificat que representa l'àrea destinada únicament al camí de rajoles.

Les identitats notables també serveixen per realitzar càlculs mentals ràpids amb nombres grans. Utilitza la identitat del producte d'una suma per una diferència $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ per calcular els productes següents de manera enginyosa:

1. a) $52 \cdot 48$ (Pista: considera $50 + 2$ i $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$