Màxim comú divisor

Observa els divisors dels nombres $24$ i $36$:

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

A partir d'aquestes llistes:

1. a) Escriu els divisors comuns de tots dos nombres.
2. b) Identifica quin és el més gran d'aquests divisors comuns. Com anomenem aquest nombre?

En una classe de 2n d'ESO hi ha $24$ alumnes nois i $16$ alumnes noies. El professor d'Educació Física vol formar equips de la mateixa mida, tan grans com sigui possible, de manera que a cada equip només hi hagi nois o només noies.

1. a) Quants alumnes hi haurà a cada equip?
2. b) Quants equips de nois i quants de noies es formaran?

Calcula el màxim comú divisor (m.c.d.) dels nombres següents utilitzant el mètode de descomposició en factors primers (recorda: es prenen els factors comuns elevats al menor exponent):

1. a) $12$ i $18$
2. b) $20$ i $30$
3. c) $15$ i $25$

Calcula el Màxim Comú Divisor dels grups de nombres següents utilitzant el mètode de descomposició en factors primers:

1. a) $m.c.d.(120, 150)$
2. b) $m.c.d.(72, 108, 144)$
3. c) $m.c.d.(45, 60, 105)$

Recorda expressar primer cada nombre com a producte dels seus factors primers i després seleccionar els factors comuns elevats al menor exponent.

Es sap que el producte de dos nombres naturals és $2160$ i que el seu mínim comú múltiple ($m.c.m.$) és $180$. Utilitzant la relació que hi ha entre el producte de dos nombres, el seu $m.c.d.$ i el seu $m.c.m.$, esbrina quin és el Màxim Común Divisor d'aquests nombres.

Utilitza l'Algorisme d'Euclides per a trobar el $m.c.d.(2\,310, 1\,485)$. Un cop trobat, indica si els nombres són primers entre ells i justifica la teva resposta basant-te en els divisors obtinguts durant el procés de l'algorisme.

En un campament d'aventura al Pirineu, els monitors tenen dues cordes d'escalada: una mesura $20$ metres i l'altra $28$ metres. Volen tallar-les en trossos iguals, de la major longitud possible i sense que sobri gens de corda. Quant ha de mesurar cada tros?

Volem decorar una paret de l'aula de música que fa $120$ cm d'alt per $180$ cm d'amplada amb cartolines quadrades. Si volem que les cartolines siguin tan grans com sigui possible i que cobreixin la paret exactament sense haver de tallar-les:

1. a) Quant ha de mesurar el costat de cada cartolina?
2. b) Quantes cartolines necessitarem en total?

Un arquitecte està dissenyant el sòl d'una sala de trofeus d'un club d'e-sports. La sala té una forma rectangular de $12,6$ metres de llarg per $7,2$ metres d'ample. Es vol cobrir el sòl amb rajoles quadrades de la mida més gran possible, de manera que no s'hagi de tallar cap i que el disseny sigui perfectament simètric.

Tanmateix, l'arquitecte vol deixar un petit canal de ventilació de $60$ cm d'ample al llarg de tot el perímetre de la sala, per la qual cosa l'àrea real a enrajolar serà un rectangle interior més petit.

Calcula la mida del costat de la rajola més gran que es pot utilitzar per a cobrir aquest rectangle interior i quantes rajoles es necessitaran en total.