Divisibilitat

En una plataforma de streaming, les sèries s'agrupen en temporades. Si una sèrie té un total de $42$ episodis, indica quines de les afirmacions següents són verdaderes i quines són falses, raonant breument la teva resposta:

1. a) El nombre $6$ és divisor de $42$.
2. b) $42$ és múltiple de $5$.
3. c) $42$ és divisible entre $14$.

Calcula mentalment i escriu a la teva llibreta:

1. a) Els cinc primers múltiples de $12$.
2. b) Tots els divisors del nombre $24$.
3. c) Els múltiples de $7$ compresos entre $30$ i $60$.

Un programador està dissenyant un codi d'accés de quatre xifres. El codi segueix el format $35A2$, on $A$ és una xifra desconeguda. Perquè el codi sigui vàlid, el nombre ha de ser divisible per $3$ i per $4$ simultàniament.

Determina tots els possibles valors que pot prendre la xifra $A$ i escriu els nombres complets resultants.

En una convenció de videojocs, es vol organitzar els participants en equips. Tenim un codi de seguretat per a l'accés que és un nombre de quatre xifres de la forma $4A2B$.

Perquè el codi sigui vàlid, ha de complir dues condicions:

1. a) Ha de ser divisible per $3$.
2. b) Ha de ser divisible per $11$.

Troba tots els valors possibles per a les xifres $A$ i $B$.

Un influencer famós vol protegir l'accés al seu compte d'edició de vídeo amb un codi PIN de quatre xifres de la forma $5X4Y$. Per no oblidar-lo, ha memoritzat les condicions següents basades en la divisibilitat:

• El nombre és divisible per $4$.

• El nombre també és divisible per $9$.

• La xifra de les unitats ($Y$) és més gran que la xifra de les unitats de miler.

Troba tots els possibles codis PIN que compleixen aquestes condicions.

Calcula el nombre de divisors totals que té el nombre $360$ sense necessitat d'escriure'ls tots. Per fer-ho:

1. a) Fes la seva descomposició en factors primers fent servir potències.
2. b) Aplica la propietat del producte dels exponents incrementats en una unitat.
3. c) Indica si el nombre $360$ és un quadrat perfecte raonant la teva resposta a partir dels exponents de la seva descomposició.

Un nombre natural $N$ té la descomposició en factors primers següent: $N = 2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$.

Sabem que el nombre total de divisors de $N$ és exactament $24$.

1. Calcula el valor de l'exponent $a$.

2. Determina el valor numèric de $N$.

3. Escriu tots els divisors de $N$ que siguin múltiples de $15$ però no de $2$.