Conceptes de semblança

La Sara té dues fotografies del seu gos. La primera mesura $10 \text{ cm}$ d'ample i $15 \text{ cm}$ d'alt. La segona és una ampliació que mesura $20 \text{ cm}$ d'ample i $30 \text{ cm}$ d'alt. Són aquestes dues fotografies figures semblants? Justifica la teva resposta comprovant si les dimensions són proporcionals.

Observa els parells de rectangles següents. Indica, sense fer càlculs complexos, quin d'ells no pot ser semblant a l'original i explica per què fixant-te en la seva forma.

Calcula la raó de semblança $k$ que converteix el rectangle $A$ en el rectangle $B$, sabent que el costat menor de $A$ mesura $4 \text{ cm}$ i el costat menor de $B$ mesura $12 \text{ cm}$. Es tracta d'una ampliació o d'una reducció?

Un logotip té forma de pentàgon regular amb un costat de $3 \text{ cm}$. Per a la façana d'una botiga, es fabrica un logotip semblant amb una raó de semblança $k = 15$. Quant mesurarà el costat del nou logotip?

Dibuixa en una quadrícula una lletra "L" que ocupi $2$ quadradets d'ample i $4$ d'alt. A continuació, dibuixa al seu costat una altra lletra "L" que sigui semblant però amb una raó de semblança $k = 0,5$. Quants quadradets d'alt tindrà la nova figura?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A la pantalla del seu mòbil, en Marcos veu un mapa a una escala determinada. Si la raó de semblança entre el mapa de la pantalla i la realitat és $k = \frac{1}{5000}$, indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

• a) El mapa és una reducció de la realitat.

• b) $1 \text{ cm}$ al mapa representa $5000 \text{ cm}$ en la realitat.

• c) Els angles entre els carrers canvien al mapa perquè puguin cabre a la pantalla.

Un il·lustrador està dissenyant dues versions d'un mateix logotip rectangular. El logotip original té unes dimensions de $12\text{ cm}$ de llarg i $8\text{ cm}$ d'amplada. Si vol crear una versió ampliada que sigui semblant i el llarg de la qual mesuri $30\text{ cm}$:

1. Calcula la raó de semblança $k$ de l'ampliació.

2. Determina l'amplada del nou logotip.

3. Si el perímetre del logotip petit és de $40\text{ cm}$, quin serà el perímetre del gran? Utilitza la relació entre perímetres de figures semblants per comprovar-ho.

Si tenim dos polígons semblants amb una raó de semblança $k = 2,5$, i el perímetre del polígon petit és de $20 \text{ cm}$, quin serà el perímetre del polígon major? Recorda la relació que hi ha entre la raó de semblança i els perímetres.

Disposem de dos envasos de suc cilíndrics que són semblants. L'envàs petit té una altura de $10\text{ cm}$ i una capacitat de $250\text{ ml}$. L'envàs gran té una altura de $20\text{ cm}$.

1. Quina és la raó de semblança $k$ entre l'envàs gran i el petit?

2. Calcula la capacitat (volum) de l'envàs gran en litres. Recorda la relació entre la raó de semblança i el volum de cossos semblants.

3. Si l'àrea de la base del petit és de $25\text{ cm}^2$, quina serà l'àrea de la base del gran?

Determina si els parells de triangles següents són semblants i indica quin criteri de semblança has utilitzat en cada cas:

• Cas A: El triangle 1 té angles de $40^\circ$ i $75^\circ$. El triangle 2 té angles de $75^\circ$ i $65^\circ$.

• Cas B: El triangle 1 té costats de $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. El triangle 2 té costats de $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ i $16\text{ cm}$.

• Cas C: Tots dos triangles tenen un angle de $50^\circ$. En el primer, els costats que formen aquest angle mesuren $4\text{ cm}$ i $7\text{ cm}$. En el segon, mesuren $8\text{ cm}$ i $14\text{ cm}$.